Differenz Partialsum. und GW < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] (b_k) [/mm] monoton fallende Nullfolge mit der Eigenschaft [mm] (b_k) [/mm] > 0 und k aus |N und sei weiter s Grenzwert (GW) von der alternierenden Reihe [mm] (-1)^k (b_k).
[/mm]
zz [mm] |s_n [/mm] - s| [mm] \le [/mm] (b_(n+1)) wobei [mm] s_n [/mm] die n-te Partialsumme der Reihe ( [mm] (-1)^k (b_k) [/mm] ) bezeichnet? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Forum,
hallo Mathebegeisterte,
gesundes Neues :)
Ich weiß nicht wie ich bei dieser Aufgabe auf die Lösung kommen soll. :(
Mittlerweile musste ich erkennen, dass Mathemenschen (zumindest bei uns) sehr ungern Auskunft fachlicher Natur erteilen weil ja alles in der Mathematik sehr trivial ist und man eigentlich alles mit einer Handbewegung lösen können sollte.
Leider gehöre ich nicht zu dieser Sorte und suche hier demütig nach Hilfe.
Zur Aufgabe
Da [mm] (b_k) [/mm] monoton (fallende) Nullfolge (NF) ist weiß ich das die alternierende Reihe [mm] (-1)^k (b_k) [/mm] einen GW besitzt und dieser laut Aufgabe s ist.
Ich soll zeigen, dass ein beliebiges Glied der Reihe (eben [mm] s_n) [/mm] um den GW (hier s) verringert stets kleiner gleich als die Folge (b_(n+1)) ist für alle n aus |N.
Da die Folge monoton fällt ist doch das s immer Null, da dies eine notwendige Bedingung ist oder?
Also bleibt zu zeigen dass jedes beliebige Glied (hier [mm] s_n) [/mm] einer beliebigen Reihe immer kleiner ist als eine (andere) beliebige Reihe (hier (b_(n+1)).
Was wäre ein sinnvoller nächster Schritt, bzw an was denke ich nicht? Was übersehe ich?
Vielen Dank für eure Hilfe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:51 Do 03.01.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei [mm](b_k)[/mm] monoton fallende Nullfolge mit der Eigenschaft
> [mm](b_k)[/mm] > 0 und k aus |N und sei weiter s Grenzwert (GW) von
> der alternierenden Reihe [mm](-1)^k (b_k).[/mm]
> zz [mm]|s_n[/mm] - s| [mm]\le[/mm]
> (b_(n+1)) wobei [mm]s_n[/mm] die n-te Partialsumme der Reihe (
> [mm](-1)^k (b_k)[/mm] ) bezeichnet?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo Forum,
> hallo Mathebegeisterte,
>
> gesundes Neues :)
>
> Ich weiß nicht wie ich bei dieser Aufgabe auf die Lösung
> kommen soll. :(
> Mittlerweile musste ich erkennen, dass Mathemenschen
> (zumindest bei uns) sehr ungern Auskunft fachlicher Natur
> erteilen weil ja alles in der Mathematik sehr trivial ist
> und man eigentlich alles mit einer Handbewegung lösen
> können sollte.
>
> Leider gehöre ich nicht zu dieser Sorte und suche hier
> demütig nach Hilfe.
>
> Zur Aufgabe
> Da [mm](b_k)[/mm] monoton (fallende) Nullfolge (NF) ist weiß ich
> das die alternierende Reihe [mm](-1)^k (b_k)[/mm] einen GW besitzt
> und dieser laut Aufgabe s ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich soll zeigen, dass ein beliebiges Glied der Reihe (eben
> [mm]s_n)[/mm] um den GW (hier s) verringert stets kleiner gleich als
> die Folge (b_(n+1)) ist für alle n aus |N.
Genauer: zu zeigen, dass der Betrag der Differenz eines beliebiges Glied
der Reihe (eben [mm]s_n)[/mm] und des GW (hier s) stets kleiner gleich
als das Folgenglied [mm] $b_{n+1}$ [/mm] ist für alle n aus [mm] $\IN$.
[/mm]
>
> Da die Folge monoton fällt ist doch das s immer Null, da
> dies eine notwendige Bedingung ist oder?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
s ist der Grenzwert der Reihe, muss nicht Null sein. [mm] ($s=\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^k*b_k$)
[/mm]
(siehe ![[]](/images/popup.gif) Beispiel)
Aber [mm] $(|s-s_n|)_{n \in \IN}$ [/mm] ist eine Nullfolge, da die Partialsummen der
Reihe gegen den Grenzwert der Reihe konvergieren
>
> Also bleibt zu zeigen dass jedes beliebige Glied (hier [mm]s_n)[/mm]
> einer beliebigen Reihe immer kleiner ist als eine (andere)
> beliebige Reihe (hier (b_(n+1)).
[mm] $(b_n)_{n \in \IN}$ [/mm] ist zwar recht allgemein, aber mit folgenden Eigenschaften:
monoton fallende Nullfolge, mit [mm] $b_k [/mm] > 0 [mm] \quad \forall [/mm] \ k [mm] \in \IN$.
[/mm]
Zwischen den Folgen [mm] $(s_n)_{n \in \IN}$ [/mm] und [mm] $(b_n)_{n \in \IN}$ [/mm] besteht folgender Zusammenhang: [mm] $s_n [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^k*b_k \quad \forall [/mm] \ n [mm] \in \IN$.
[/mm]
>
> Was wäre ein sinnvoller nächster Schritt, bzw an was
> denke ich nicht? Was übersehe ich?
>
> Vielen Dank für eure Hilfe
Gruß
meili
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:55 Do 03.01.2013 | | Autor: | analyser |
Logo...
Gestern wohl zu lange auf das Aufgabenblatt gestarrt. :(
$ [mm] s=\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^k\cdot{}b_k [/mm] $
s ist der Wert der Reihe und nicht immer = 0. Danke schön. :)
Das hier:
"Zwischen den Folgen und besteht folgender Zusammenhang"
verstehe ich im Moment leider nicht.
Du hast mir jetzt zwar [mm] (s_n) [/mm] gezeigt, welches von [mm] (b_k) [/mm] abhängig ist, aber wie man damit die zz Ungleichung beweist erschliesst sich mir nicht.
Was ich machen kann ist für s bzw [mm] (s_n) [/mm] die jeweilige Reihe einzusetzen. Allerdings ist s ja wesentlich größer als [mm] (s_n) [/mm] oder?
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Da ist mir wohl ein Maleur passiert, sry für den DP.
Logo...
Gestern wohl zu lange auf das Aufgabenblatt gestarrt. :(
$ [mm] s=\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^k\cdot{}b_k [/mm] $
s ist der Wert der Reihe und nicht immer = 0. Danke schön. :)
Das hier:
"Zwischen den Folgen und besteht folgender Zusammenhang"
verstehe ich im Moment leider nicht.
Du hast mir jetzt zwar [mm] (s_n) [/mm] gezeigt, welches von [mm] (b_k) [/mm] abhängig ist, aber wie man damit die zz Ungleichung beweist erschliesst sich mir nicht.
Was ich machen kann ist für s bzw [mm] (s_n) [/mm] die jeweilige Reihe einzusetzen. Allerdings ist s ja wesentlich größer als [mm] (s_n) [/mm] oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Mo 07.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:06 Do 03.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Auch hier rein zur Information: Die Aufgabe wurde auch hier (klick!) gestellt.
Vielleicht tauscht man sich ja einfach mal ein wenig untereinander aus, bzw.
die hier Antwortenden können das dann auch bei der anderen Frage tun
(copy und paste kann ja evtl. viel Arbeit ersparen).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Di 08.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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