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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Do 02.02.2006 | | Autor: | toppy |
| Aufgabe | Seien f,g: I [mm] \to \IR [/mm] Funktionen, und sei [mm] x_0 \in [/mm] I. Ferner sei g in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar und f in [mm] x_0 [/mm] stetig. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(i) f(x) = g(x) + o(x - [mm] x_0)
[/mm]
(ii) f ist ebenfalls in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar, und es gelten [mm] f(x_0) [/mm] = [mm] g(x_0), f'(x_0) [/mm] = [mm] g'(x_0) [/mm] |
Hallo,
also kurz etwas zur Erläuterung dieser Aufgabe.
1.) I [mm] \subseteq \IR [/mm] bezeichnet ein Intervall positiver Länge.
2.) f(x) = g(x) + o (x - [mm] x_0)
[/mm]
Das o bezeichnet das ![[]](/images/popup.gif) Landau-Symbol
Es ist zwar nicht meine Art und dies wird auch das einzige Mal bleiben. Ich bitte nämlich um eine schnelle und komplette Lösung, da ich die Aufgabe bis morgen benötige!!!
Es ist sehr wichtig, weil meine Klausurzulassung davon abhängt. Bitte helft mir!!!
Vielen Dank!!!
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[mm]f(x) = g(x) + o(x - x_0)[/mm] bedeutet doch so viel wie
[mm]\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - g(x)}{x - x_0} = 0[/mm]
Und nun gilt
[mm]f(x) - g(x) = \frac{f(x) - g(x)}{x - x_0} \cdot ( x - x_0 )[/mm]
Der Grenzübergang [mm]x \to x_0[/mm] zeigt wegen der Stetigkeit der Funktionen:
[mm]f(x_0) = g(x_0)[/mm]
Daher gilt:
[mm]\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \frac{f(x) - g(x) + g(x) - g(x_0)}{x - x_0}[/mm]
Und wie das nun weitergeht und inwiefern die Schlüsse umkehrbar sind, solltest du jetzt selbst herausbringen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Do 02.02.2006 | | Autor: | toppy |
Könntest du mir das vielleicht auch schnell skizzieren, da ich noch sehr viele weitere Aufgaben dieses kalibers bearbeiten muss.
Vielen Dank.
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Unter Zurückstellung schwerer Bedenken hier der Rest der Aufgabe:
Wir hatten schon [mm]f(x_0) = g(x_0)[/mm]. Daher folgt:
[mm]\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \frac{f(x) - g(x) + g(x) - g(x_0)}{x - x_0} = \frac{f(x) - g(x)}{x - x_0} + \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}[/mm]
Und hier strebt für [mm]x \to x_0[/mm] der erste Bruch nach Voraussetzung gegen 0, der zweite gegen [mm]g'(x_0)[/mm]. Daher existiert auch der Grenzwert des Ausgangsterms, und es gilt:
[mm]f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = g'(x_0)[/mm]
Aber jetzt sage ich nichts mehr, denn sonst komme ich in arge Gewissensnöte.
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