Differenzenquotient < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
heyho 
ich sitze gerade über folgender Aufgabe:
Es sei f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] eine in [mm] x_0 [/mm] differenzierbare Funktion. Jetzt soll ich für a,b [mm] \in \IR [/mm] berechnen:
[mm] limes_{h \to 0}\frac{f(x_{0}+ah)-f(x_{0}+bh)}{h}
[/mm]
Was ist an dieser Stelle gefragt? Muss ich irgendetwas für [mm] x_0 [/mm] einsetzen? Wenn h beliebig klein wird, wird der gesamte Bruch doch groß oder?
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 Mi 19.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> heyho
> ich sitze gerade über folgender Aufgabe:
> Es sei f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] eine in [mm]x_0[/mm] differenzierbare
> Funktion. Jetzt soll ich für a,b [mm]\in \IR[/mm] berechnen:
> [mm]limes_{h \to 0}\frac{f(x_{0}+ah)-f(x_{0}+bh)}{h}[/mm]
>
> Was ist an dieser Stelle gefragt?
Wie der Grenzwert ausfällt.
> Muss ich irgendetwas für
> [mm]x_0[/mm] einsetzen?
Nein.
>Wenn h beliebig klein wird, wird der gesamte
> Bruch doch groß oder?
Was ist "groß" ???
Fall 1: a=0=b. Dann gibts nix zu tun.
Fall 2: a [mm] \ne [/mm] 0, b=0
Dann ist
[mm] $\frac{f(x_{0}+ah)-f(x_{0}+bh)}{h}=a*\frac{f(x_{0}+ah)-f(x_{0})}{ah} \to a*f'(x_0) [/mm] $ (h [mm] \to [/mm] 0)
Fall 3: a=0, b [mm] \ne [/mm] 0. Das machst Du jetzt mal.
Fall 4: a [mm] \ne [/mm] 0, b [mm] \ne [/mm] 0. Tipp:
[mm] f(x_{0}+ah)-f(x_{0}+bh)=f(x_{0}+ah)-f(x_0)+f(x_0)-f(x_{0}+bh)
[/mm]
Nun Fall 2/3.
FRED
>
>
> LG
|
|
|
| |
|
> Fall 1: a=0=b. Dann gibts nix zu tun.
Der Grenzwert ist dann =0 richtig?
>
> Fall 2: a [mm]\ne[/mm] 0, b=0
>
> Dann ist
>
> [mm]\frac{f(x_{0}+ah)-f(x_{0}+bh)}{h}=a*\frac{f(x_{0}+ah)-f(x_{0})}{ah} \to a*f'(x_0)[/mm]
> (h [mm]\to[/mm] 0)
ich kann den Weg nachvollziehen, aber wie erhälst du am Ende den Faktor [mm] f'(x_0)? [/mm] im Nenner müsste dazu doch auch zuvor [mm] x-x_{0} [/mm] stehen oder?
>
> Fall 3: a=0, b [mm]\ne[/mm] 0. Das machst Du jetzt mal.
dann ich erhalte ich dann b* [mm] -f'(x_0) [/mm] ?
wenn das falsch ist ist es leider daran gescheitert dass ich den Fall 2 schon nicht vollständig verstanden habe
>
> Fall 4: a [mm]\ne[/mm] 0, b [mm]\ne[/mm] 0. Tipp:
>
> [mm]f(x_{0}+ah)-f(x_{0}+bh)=f(x_{0}+ah)-f(x_0)+f(x_0)-f(x_{0}+bh)[/mm]
hier stehe ich leider kopmplett auf dem Schlauch
vielen Dank schonmal für deine Hilfe!
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Fr 21.03.2014 | | Autor: | fred97 |
>
> > Fall 1: a=0=b. Dann gibts nix zu tun.
>
> Der Grenzwert ist dann =0 richtig?
>
> >
> > Fall 2: a [mm]\ne[/mm] 0, b=0
> >
> > Dann ist
> >
> >
> [mm]\frac{f(x_{0}+ah)-f(x_{0}+bh)}{h}=a*\frac{f(x_{0}+ah)-f(x_{0})}{ah} \to a*f'(x_0)[/mm]
> > (h [mm]\to[/mm] 0)
>
> ich kann den Weg nachvollziehen, aber wie erhälst du am
> Ende den Faktor [mm]f'(x_0)?[/mm] im Nenner müsste dazu doch auch
> zuvor [mm]x-x_{0}[/mm] stehen oder?
Ist f in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar, so ist doch
[mm] f'(x_0)=\limes_{t \to 0}\bruch{f(x_0+t)-f(x_0)}{t}
[/mm]
>
> >
> > Fall 3: a=0, b [mm]\ne[/mm] 0. Das machst Du jetzt mal.
>
> dann ich erhalte ich dann b* [mm]-f'(x_0)[/mm] ?
Ja, schreibe aber besser [mm] $-b*f'(x_0)$
[/mm]
> wenn das falsch ist ist es leider daran gescheitert dass
> ich den Fall 2 schon nicht vollständig verstanden habe
> >
> > Fall 4: a [mm]\ne[/mm] 0, b [mm]\ne[/mm] 0. Tipp:
> >
> >
> [mm]f(x_{0}+ah)-f(x_{0}+bh)=f(x_{0}+ah)-f(x_0)+f(x_0)-f(x_{0}+bh)[/mm]
>
> hier stehe ich leider kopmplett auf dem Schlauch
[mm] \bruch{f(x_{0}+ah)-f(x_{0}+bh)}{h}= \bruch{f(x_{0}+ah)-f(x_{0})}{h}+\bruch{f(x_{0})-f(x_{0}+bh)}{h}
[/mm]
Klingelts jetzt ?
FRED
>
>
>
> vielen Dank schonmal für deine Hilfe!
> LG
>
|
|
|
| |
|
> >
> > > Fall 1: a=0=b. Dann gibts nix zu tun.
> >
> > Der Grenzwert ist dann =0 richtig?
stimmt das?
> > >
> > > Fall 2: a [mm]\ne[/mm] 0, b=0
> > >
>
>
> Ist f in [mm]x_0[/mm] differenzierbar, so ist doch
>
> [mm]f'(x_0)=\limes_{t \to 0}\bruch{f(x_0+t)-f(x_0)}{t}[/mm]
aber wie kommts das im Nenner nicht [mm] x_0 [/mm] - x steht?
> > >
> > > Fall 3: a=0, b [mm]\ne[/mm] 0. Das machst Du jetzt mal.
> >
> > dann ich erhalte ich dann b* [mm]-f'(x_0)[/mm] ?
>
>
> Ja, schreibe aber besser [mm]-b*f'(x_0)[/mm]
>
>
> > wenn das falsch ist ist es leider daran gescheitert dass
> > ich den Fall 2 schon nicht vollständig verstanden habe
> > >
> > > Fall 4: a [mm]\ne[/mm] 0, b [mm]\ne[/mm] 0. Tipp:
> > >
> > >
> >
> [mm]f(x_{0}+ah)-f(x_{0}+bh)=f(x_{0}+ah)-f(x_0)+f(x_0)-f(x_{0}+bh)[/mm]
> >
> > hier stehe ich leider kopmplett auf dem Schlauch
>
>
> [mm]\bruch{f(x_{0}+ah)-f(x_{0}+bh)}{h}= \bruch{f(x_{0}+ah)-f(x_{0})}{h}+\bruch{f(x_{0})-f(x_{0}+bh)}{h}[/mm]
>
> Klingelts jetzt ?
ja ich denke schon, das ist doch dann:
[mm] f'(x_0)*a [/mm] + [mm] b*-f'(x_0) [/mm] oder?
Danke für deine Geduld.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:54 Sa 22.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Anna,
> > > > Fall 1: a=0=b. Dann gibts nix zu tun.
> > >
> > > Der Grenzwert ist dann =0 richtig?
>
> stimmt das?
Ja, aber das kannst du so nicht sagen. Dafür gibt es Punkt-
abzüge in einer Klausur. Besser: Für $a=b=0$ geht der Aus-
druck für [mm] $h\to\ [/mm] 0$ gegen Null. Das kannst du auch mal schön auf-
schreiben. Sei $a=b=0$, dann gilt:
[mm] \lim_{h \to 0}\frac{f(x_{0}+ah)-f(x_{0}+bh)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{f(x_{0}+0*h)-f(x_{0}+0*h)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{f(x_{0})-f(x_{0})}{h}=\lim_{h \to 0}0=0.
[/mm]
> > > >
> > > > Fall 2: a [mm]\ne[/mm] 0, b=0
> > > >
>
> >
> >
> > Ist f in [mm]x_0[/mm] differenzierbar, so ist doch
> >
> > [mm]f'(x_0)=\limes_{t \to 0}\bruch{f(x_0+t)-f(x_0)}{t}[/mm]
>
>
> aber wie kommts das im Nenner nicht [mm]x_0[/mm] - x steht?
Du meinst sicher [mm] $x-x_0$. [/mm] Das ist äquivalent, denn es gilt:
[mm] \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\overset{h:=x-x_0}{=}\blue{\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}.
[/mm]
> > > >
> > > > Fall 3: a=0, b [mm]\ne[/mm] 0. Das machst Du jetzt mal.
> > >
> > > dann ich erhalte ich dann b* [mm]-f'(x_0)[/mm] ?
> >
> >
> > Ja, schreibe aber besser [mm]-b*f'(x_0)[/mm]
> >
> >
> > > wenn das falsch ist ist es leider daran gescheitert dass
> > > ich den Fall 2 schon nicht vollständig verstanden habe
> > > >
> > > > Fall 4: a [mm]\ne[/mm] 0, b [mm]\ne[/mm] 0. Tipp:
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]f(x_{0}+ah)-f(x_{0}+bh)=f(x_{0}+ah)-f(x_0)+f(x_0)-f(x_{0}+bh)[/mm]
> > >
> > > hier stehe ich leider kopmplett auf dem Schlauch
> >
> >
> > [mm]\bruch{f(x_{0}+ah)-f(x_{0}+bh)}{h}= \bruch{f(x_{0}+ah)-f(x_{0})}{h}+\bruch{f(x_{0})-f(x_{0}+bh)}{h}[/mm]
>
> >
> > Klingelts jetzt ?
>
> ja ich denke schon, das ist doch dann:
>
> [mm]f'(x_0)*a[/mm] + [mm]b*-f'(x_0)[/mm] oder?
Wie kommst du denn darauf? Schreib das doch mal sauber auf.
Sei [mm] a\not=0 [/mm] und [mm] b\not=0, [/mm] dann gilt:
[mm] \frac{f(x_{0}+ah)-f(x_{0}+bh)}{h}=\frac{f(x_{0}+ah)-f(x_0)+f(x_0)-f(x_{0}+bh)}{h}=\frac{f(x_0+ah)-f(x_0)}{h}+\frac{f(x_0)-f(x_0+bh)}{h}=
[/mm]
[mm] \overset{a,b\not=0}=a\left(\frac{f(x_0+ah)-f(x_0)}{ah}\right)+b\left(\frac{f(x_0)-f(x_0+bh)}{bh}\right)=a\left(\frac{f(x_0+ah)-f(x_0)}{ah}\right)-b\left(\frac{f(x_0+bh)-f(x_0)}{bh}\right).
[/mm]
1. Betrachte den Grenzwert für [mm] $h\to [/mm] 0$.
2. Benutze die Definition von oben bzw. die Grenzwertsätze.
3. Ausklammern.
Jetzt du. 
edit: Okay, ich habe mich verlesen. Im Prinzip hast du alles
richtig gemacht, aber dennoch keine Klammern oder Ähnliches
gesetzt. Außerdem solltest du den Tipp von Fred zu Herzen
nehmen und lieber [mm] $-bf'(x_0)$ [/mm] schreiben. Punkt drei kannst du natür-
lich auch noch machen.
> Danke für deine Geduld.
>
>
> LG
Gruß
DieAcht
|
|
|
|
