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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Dirk2904 |
| Aufgabe | Lange Staus auf den Autobahnen, insbesondere in der Hauptreisezeit, haben wiederholt die Frage nach einer optimalen Fahrgeschwindigkeit aufgeworfen. Bei einer vereinfachten Untersuchung dieser Frage nimmt man an, dass gleich lange Autos mit einer konstanten Geschwindigkeit
in einer Kolonne fahren. Die Anzahl der Fahrzeuge, die pro Stunde eine Zählstelle passieren, heißt Verkehrsdichte.
Die Funktion f mit f(x)= [mm] \bruch{100*x}{3+0,01*x^2} [/mm] und D= [mm] \IR [/mm] beschreibt für x≥0 den Zusammenhang zwischen der Fahrgeschwindigkeit x(in km/h) und der Verkehrsdichte bei Kleinwagen.
a) Bestimme im Bereich x>= für den Graphen von f die Schnittpunkte mirt den Koordinatenachsen, den Extrempunkt und die Asymptote. Skizziere den Graphen von f fürr x >= 0. Interpretiere die Bedeutung der ermittelten Punkte des Wendepunktes W(30/2500) sowie des Grenzverhaltens für die modellierte Situation.
b) Der Graph der Funktion f und die Gerade g mit g(x) = [mm] \bruch{250}{3} [/mm] x begrenzen für x >= 0 ein Flächenstück. Zeichne die Gerade g ind as bereits vorhandene Koordinatensystrem ein und berechne den Flächeninhalt des Flächenstücks.
c) Die Funktion f gehört zur Funktionenschar ft mit ft(x) = [mm] \bruch{100 * x}{3+t*x^2} [/mm] und t [mm] \varepsilon \IR
[/mm]
Zeige, dass gilt: ft'(x) = [mm] \bruch{1000 * (3-t*x^2)}{(3+tr*x^2)^2} [/mm] . Berechne allgemein in Abhängigkeit von t die Punkte der Graphen von ft mit waagerechten Tangenten. Weise nach, dass alle Punkte der Grapfen von ft mit waagerecnten Tangenten auf einer Ursprungsgeradre liegen. |
Hallo Zusammen,
wie schon bei einer anderen Aufgabe, die ich vor drei Tagen gestellt habe, muss ich auch hier wieder sagen, dass ich aus dem Mathe-Stoff komplett raus bin und vieles nicht mehr weiß. Wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir dabei helft und ggfs einen Teil mitrechnet.
a) habe ich soweit gelöst.
bei b weiß ich leider nicht mehr, wie ich integrieren muss. Also ich muss den Bereich von 0 bis 30 integrieren. Nur leider fehlt mir die Formel und ich weiß nicht mehr sorecht wie das geht.
[mm] \integral_{0}^{30}{f(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{30}{g(x) dx} [/mm] --> richtig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Gauss |
> Lange Staus auf den Autobahnen, insbesondere in der
> Hauptreisezeit, haben wiederholt die Frage nach einer
> optimalen Fahrgeschwindigkeit aufgeworfen. Bei einer
> vereinfachten Untersuchung dieser Frage nimmt man an, dass
> gleich lange Autos mit einer konstanten Geschwindigkeit
> in einer Kolonne fahren. Die Anzahl der Fahrzeuge, die pro
> Stunde eine Zählstelle passieren, heißt Verkehrsdichte.
> Die Funktion f mit f(x)= [mm]\bruch{100*x}{3+0,01*x^2}[/mm] und D=
> [mm]\IR[/mm] beschreibt für x≥0 den Zusammenhang zwischen der
> Fahrgeschwindigkeit x(in km/h) und der Verkehrsdichte bei
> Kleinwagen.
>
> a) Bestimme im Bereich x>= für den Graphen von f die
> Schnittpunkte mirt den Koordinatenachsen, den Extrempunkt
> und die Asymptote. Skizziere den Graphen von f fürr x >=
> 0. Interpretiere die Bedeutung der ermittelten Punkte des
> Wendepunktes W(30/2500) sowie des Grenzverhaltens für die
> modellierte Situation.
>
> b) Der Graph der Funktion f und die Gerade g mit g(x) =
> [mm]\bruch{250}{3}[/mm] x begrenzen für x >= 0 ein Flächenstück.
> Zeichne die Gerade g ind as bereits vorhandene
> Koordinatensystrem ein und berechne den Flächeninhalt des
> Flächenstücks.
>
> c) Die Funktion f gehört zur Funktionenschar ft mit ft(x)
> = [mm]\bruch{100 * x}{3+t*x^2}[/mm] und t [mm]\varepsilon \IR[/mm]
>
> Zeige, dass gilt: ft'(x) = [mm]\bruch{1000 * (3-t*x^2)}{(3+tr*x^2)^2}[/mm]
> . Berechne allgemein in Abhängigkeit von t die Punkte der
> Graphen von ft mit waagerechten Tangenten. Weise nach,
> dass alle Punkte der Grapfen von ft mit waagerecnten
> Tangenten auf einer Ursprungsgeradre liegen.
> Hallo Zusammen,
> wie schon bei einer anderen Aufgabe, die ich vor drei
> Tagen gestellt habe, muss ich auch hier wieder sagen, dass
> ich aus dem Mathe-Stoff komplett raus bin und vieles nicht
> mehr weiß. Wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir dabei
> helft und ggfs einen Teil mitrechnet.
>
> a) habe ich soweit gelöst.
>
> bei b weiß ich leider nicht mehr, wie ich integrieren
> muss. Also ich muss den Bereich von 0 bis 30 integrieren.
Woher weißt du das? Die Funktionen g und f habe schneiden sich nicht für x>0.
Nur leider fehlt mir die Formel und ich weiß nicht mehr
> sorecht wie das geht.
>
> [mm]\integral_{0}^{30}{f(x) dx}[/mm] - [mm]\integral_{0}^{30}{g(x) dx}[/mm]
> --> richtig?
Wenn du wüsstest, das du von 0 bis 30 integrieren müsstest, wäre das richtig. Allerdings müsstest du vom Ergebnis noch den Absolutbetrag nehmen.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gauß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Dirk2904 |
>> bei b weiß ich leider nicht mehr, wie ich integrieren
>> muss. Also ich muss den Bereich von 0 bis 30 integrieren.
>Woher weißt du das? Die Funktionen g und f habe schneiden sich nicht für >x>0.
Wenn ich bei a den Wendepunkte ausrechne, komme ich auf 2500/30 und die Gerade g geht doch genau durch den Wendepunkt. Und die Fläche zwichen f und g soll doch hier brechnet werden oder?
>Wenn du wüsstest, das du von 0 bis 30 integrieren müsstest, wäre das >richtig. Allerdings müsstest du vom Ergebnis noch den Absolutbetrag >nehmen.
Was ich denn nochmal der Absolutbetrag?
Also per Taschenrechner lässt es sich ganz einfach berechnen. Aber das ist ja nicht sinn und zweck.
[mm] \integral_{0}^{30}{f(x) dx} [/mm] = 69314,7
[mm] \integral_{0}^{30}{g(x) dx} [/mm] = 37500
differenz = 31814,7
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:19 Sa 06.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
g(x) wirst du ja wohl integrieren können
f(x) hat die Form a*u(x)/u'(x)
und da die Ableitung von ln(u(x)) nach Kettenregel u/u' ist solltest du das auch können.
Gruss leduart
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