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| Aufgabe | Mit Hilfe der Grundgleichung der Mechanik ergibt sich:
m * a(t) = m * g - c * v(t)
a) Zeigen sie, dass die momentane Geschwindigkeit v die Differenzialgleichung des beschränkten Wachstums erfüllt, und geben Sie eine Lösung für v an, wenn v(0) = 0 ist. |
Hallo zusammen,
erstmal ist meines Wissens die Differenzialgleichung des Beschränkten Wachstums:
f'(t) = k * ( S - f(t) ) und nach umformen und integrieren dann f(t) = S - c * e^ (-k*t).
Nun habe ich versucht, die Geschwindigkeitsgleichung in die Form v'(t) / v(t) zu bringen, da a(t) ja nichts anderes ist als v'(t). Davon liesse sich leicht die Stammfunktion bilden, da diese ja einfach ln ( |v(t)| ) wäre. Das führt jedoch nicht wirklich zum gewünschten Erfolg.
Die Frage ist nun, wie beweise ich, dass die Gleichung beschränktes Wachstum beschreibt? Muss ich sie in die Form f'(t) = k * ( S - f(t) ) bringen oder in die Form f(t) = S - c * e^ (-k*t)? Vielen Dank schonmal für die Hilfe :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 Mo 29.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Die Gleichung
$f'(t) = k * ( S - f(t) )$
lautet anders geschrieben
$ f'(t) =-k*f(t)+ k * S $
Es handelt sich also um eine inhomogene lineare DGL. 1. Ordnung
Eine spezielle Lösung dieser Gleichung ist f(t) [mm] \equiv [/mm] S
Die homogene Gl. $ f'(t) =-k*f(t) $ hat die allgemeine Lösung
[mm] $f(t)=ce^{-kt}$
[/mm]
FRED
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Wie genau bringe ich das denn in die Form?
Also ich habe :
m * v'(t) = m * g - c * v(t)
v' (t) = (m * g - c * v(t) ) / m
Darf man hier eigentlich kürzen?? Wenn ja, dann hätte ich ja
v' (t) = - c * v(t) + g
Das sähe zumindest annähernd so aus :) Aber ich glaube, hier darf man nicht kürzen? Wie genau formt man dann um?
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Hallo Lauschgift,
> Wie genau bringe ich das denn in die Form?
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> Also ich habe :
> m * v'(t) = m * g - c * v(t)
> v' (t) = (m * g - c * v(t) ) / m
>
> Darf man hier eigentlich kürzen?? Wenn ja, dann hätte ich
> ja
>
> v' (t) = - c * v(t) + g
Hier muß es doch heißen:
[mm]v'\left(t\right)=g-\bruch{c}{\blue{m}}*v\left(t\right)[/mm]
Schreibe jetzt diesen Ausdruck etwas anders:
[mm]v'\left(t\right)=g-\bruch{c}{\blue{m}}*v\left(t\right)=\bruch{c}{m}\left( \ ... \ -v\left(t\right) \ \right)[/mm]
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> Das sähe zumindest annähernd so aus :) Aber ich glaube,
> hier darf man nicht kürzen? Wie genau formt man dann um?
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:15 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Lauschgift |
Also wäre die Lösung dann:
[mm] v' ( t ) = \bruch {c}{m} * ( \bruch {g*m}{c} - v ( t ) ) [/mm] ?
Das heißt, die Wachstumskonstante k wäre in diesem Fall [mm] \bruch {c}{m} [/mm] und die Sättigungsgrenze S [mm] \bruch {g*m}{c} [/mm]?
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