Differenzialgleichung 1. Ord < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Lösen Sie die folgende Differenzialgleichung mit Hilfe einer geeigneten Substitution
[mm] x^2y'=2y^2+xy
[/mm]
und passen Sie die allgemeine Lösung an die Anfangsbedingung y(x=1)=2 an.
Lösung: [mm] y=-\bruch{x}{ln|Cx^2|} [/mm] , [mm] C=e^{-0,5}=0,6065 [/mm] |
Habe ein Problem mit der Berechnung, also hier mal mein Gedankengang:
wenn ich die Gleichung durch [mm] x^2 [/mm] teile, erhalte ich den Dgl-Typ: [mm] y'=f(\bruch{y}{x}):
[/mm]
[mm] x^2y'=2y^2+xy [/mm] | [mm] /x^2
[/mm]
[mm] \gdw y'=\bruch{2y^2}{x^2} [/mm] + [mm] \bruch{y}{x}
[/mm]
dann Substitution:
[mm] u=\bruch{y}{x} \Rightarrow y'=f(u)=2u^2+u
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx}=-\bruch{y}{x^2} [/mm] und [mm] \bruch{dy'}{du}=4u+1
[/mm]
[mm] \bruch{dy'}{dx}=\bruch{dy'}{du}*\bruch{du}{dx}=(4u+1)*(-\bruch{y}{x^2})=-\bruch{4*y*y}{x^2*x}-\bruch{y}{x^2}=\bruch{4*y^2}{x^3}-\bruch{y}{x^2}
[/mm]
hier komm ich nicht weiter...(wenn ich überhaupt richtig liege????)
Muss ich jetzt die Variablen trennen und dann integrieren??
Danke für eure Hilfe!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:06 Sa 13.03.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> wenn ich die Gleichung durch [mm]x^2[/mm] teile, erhalte ich den
> Dgl-Typ: [mm]y'=f(\bruch{y}{x}):[/mm]
>
> [mm]x^2y'=2y^2+xy[/mm] | [mm]/x^2[/mm]
> [mm]\gdw y'=\bruch{2y^2}{x^2}[/mm] + [mm]\bruch{y}{x}[/mm]
>
> dann Substitution:
> [mm]u=\bruch{y}{x} [/mm]
Ja, aber jetzt mußt Du noch y' ersetzen, um eine Gleichung der Form
$u'=F(u,x)$
zu erhalten.
$y=ux [mm] \Rightarrow y'=\ldots$
[/mm]
> [mm]\bruch{du}{dx}=-\bruch{y}{x^2}[/mm] und
Die Ableitung ist falsch. y hängt ja von x ab, auch wenn wir's der Kürze halber nicht hinschreiben.
Grundsätzlich kannst Du natürlich auch
[mm] $u'=\ldots$
[/mm]
berechnen, und dann nach y' auflösen. Hier ist es aber leichter wie oben nach y aufzulösen und dann abzuleiten, aber das kommt auf den Fall an.
> [mm]\bruch{dy'}{du}=4u+1[/mm]
?
ciao
Stefan
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Sry, aber ich verstehe immer noch nicht genau wie ich das machen muss!
ich hab doch folgendes:
[mm] u=\bruch{y}{x}
[/mm]
[mm] \(y=u*x
[/mm]
[mm] y'=f(u)=2u^2+u
[/mm]
[mm] y'=\bruch{dy}{dx}=\bruch{du}{dx}*x+u
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx}*x+u=f(u)
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx}=\bruch{1}{x}*(f(u)-u)
[/mm]
mit: [mm] \bruch{du}{dx}=-\bruch{y}{x^2}
[/mm]
und: [mm] f(u)=2u^2+u
[/mm]
und: [mm] u=\bruch{y}{x}
[/mm]
also:
[mm] \bruch{du}{dx}=\bruch{1}{x}*(f(u)-u)
[/mm]
[mm] -\bruch{y}{x^2}=\bruch{1}{x}*(2u^2+u-u) [/mm] |Resubstitution
[mm] -\bruch{y}{x^2}=\bruch{1}{x}*(2(\bruch{y}{x})^2+\bruch{y}{x}-\bruch{y}{x})
[/mm]
[mm] -\bruch{y}{x^2}=\bruch{1}{x}*(2(\bruch{y}{x})^2)
[/mm]
iwie komm ich da nicht auf nen grünen Zweig!!!!
is iwie total verwirrend!! Kann das mir irgendwer erklären, so dass selbst ich das verstehe???? Vielen Dank!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 Sa 13.03.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Sry, aber ich verstehe immer noch nicht genau wie ich das
> machen muss!
>
> ich hab doch folgendes:
>
> [mm]u=\bruch{y}{x}[/mm]
>
> [mm]\(y=u*x[/mm]
>
> [mm]y'=f(u)=2u^2+u[/mm]
>
> [mm]y'=\bruch{dy}{dx}=\bruch{du}{dx}*x+u[/mm]
>
> [mm]\bruch{du}{dx}*x+u=f(u)[/mm]
>
> [mm]\bruch{du}{dx}=\bruch{1}{x}*(f(u)-u)[/mm]
wieso alles immer mit f(u) anstatt [mm] $2u^2+u$? [/mm] Es ist nicht falsch, aber es hält Dich vom Kürzen ab. Das machst Du erst unten, wo Du resubstituierst, was mich zu meiner zweiten Frage führt:
Wieso substituierst Du erst, und rechnest dann sofort alles auf y zurück? Der ganze Punkt ist doch, anstatt $y'=F(y,x)$ eine Gleichung der Form $u'=G(u,x)$ zu erhalten, mit einem G, das "schöner" ist als F.
In dem Schritt, wo Du endlich ausrechnest, wie G denn nun ausschaut
$ [mm] \bruch{du}{dx}=\bruch{1}{x}\cdot{}(f(u)-u) [/mm] $
beginnst Du schon mit der Rücksubstitution
[mm] $-\bruch{y}{x^2}=\bruch{1}{x}\cdot{}(2u^2+u-u) [/mm] $
?!
> mit: [mm]\bruch{du}{dx}=-\bruch{y}{x^2}[/mm]
Wie in der letzten Antwort schon erwähnt, die Ableitung ist falsch. y=y(x), d.h. Du brauchst die Quotientenregel.
[mm] $u'=\frac{xy'-y}{x^2}$
[/mm]
Wie aber auch schon erwähnt, brauchst Du die Ableitung gar nicht, wenn Du nur mit dem übereifrigen Rücksubstituieren aufhören würdest. =)
[mm] $y'=2u^2+u$
[/mm]
$y=ux\ [mm] \Rightarrow\ [/mm] y'=u'x+u$
[mm] $\Rightarrow\ u'x+u=2u^2+u$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ u'=\frac{2u^2}{x}$
[/mm]
und das sieht doch sehr nach getrennten Variablen aus.
ciao
Stefan
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also:
[mm] u=\bruch{y}{x} \to \(y=u*x
[/mm]
[mm] y'=f(u)=2u^2+u
[/mm]
[mm] y'=\bruch{dy}{dx}=\bruch{du}{dx}*x+u=u'*x+u
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{du}{dx}*x+u=2u^2+u
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{du}{dx}*x=2u^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{du}{dx}=\bruch{1}{x}*2u^2=\bruch{2u^2}{x} [/mm] |TdV
[mm] \bruch{du}{2*u^2}=\bruch{dx}{x} [/mm] |Integration
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{du}{2*u^2} dx}=\integral_{}^{}{\bruch{dx}{x} dx}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\bruch{du}{u^2} dx}=\integral_{}^{}{\bruch{dx}{x} dx}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}*(-u^{-1})=ln|x|+C
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{2}*u^{-1}=ln|x|+C [/mm] |*(-2)
[mm] u^{-1}=-2*(ln|x|+C)
[/mm]
hier dann mal die Resubstitution (hoffe nicht zu früh ^^)
[mm] \bruch{x}{y}=-2*(ln|x|+C)
[/mm]
[mm] y=\bruch{x}{-2*(ln|x|+C)}
[/mm]
weiter komm ich nicht!
entspricht auch iwie nicht der Lösung, gibts da jetzt noch irgendeinen mathematischen Trick, um das in die gewünschte Form zu bringen????
Vielen Dank für den mathematischen Beistand!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:12 So 14.03.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> hier dann mal die Resubstitution (hoffe nicht zu früh
> ^^)
Perfekt getimed. =)
> [mm]\bruch{x}{y}=-2*(ln|x|+C)[/mm]
> [mm]y=\bruch{x}{-2*(ln|x|+C)}[/mm]
>
> weiter komm ich nicht!
> entspricht auch iwie nicht der Lösung, gibts da jetzt
> noch irgendeinen mathematischen Trick, um das in die
> gewünschte Form zu bringen????
Der Trick nennt sich Rechenregeln für den Logarithmus,
[mm] $-2(\ln|x|+C_1)=-\ln|C_2x^2|$
[/mm]
Dein C ist nur ein anderes als das in der angegebenen Lösung.
Jo, fertig. =)
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:40 So 14.03.2010 | | Autor: | Die_Tuete1 |
oh man da muss man dann auch erstmal drauf kommen! Besten dank für die Bemühungen, hast mir gut weitergeholfen!!!
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