Differenzialgleichung lösen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Skizzieren Sie zunächst die Lösungsgesamtheit zur DGL
[mm] $\dot{x}=x(x-1)(2-x) [/mm] $
und lösen Sie anschließend explizit. |
Irgendwie geht das ganze bei mir nicht auf. Ich habe das ganze wie folgt gelöst:
[mm] $\frac{dx}{dt}&=x\left(x-1\right)\left(2-x\right) \\
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow\frac{dx}{dt}\cdot \frac{1}{x\left(x-1\right)\left(2-x\right)}&=1\\
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow\frac{1}{x\left(x-1\right)\left(2-x\right)}dx&=1dt\\
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \int\frac{1}{x\left(x-1\right)\left(2-x\right)}dx&=\int1dt$
[/mm]
Partialbruchzerlegung:
[mm] $\frac{1}{x\left(x-1\right)\left(2-x\right)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{\left(x-1\right)}+\frac{C}{\left(2-x\right)}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow A=-\frac{1}{2}; [/mm] B=1; [mm] C=\frac{1}{2}$
[/mm]
Damit hab ich dann:
[mm] $\int\frac{1}{x\left(x-1\right)\left(2-x\right)} [/mm]
[mm] =&\int-\frac{1}{2x}+\int\frac{1}{x-1}+\int\frac{1}{2\left(2-x\right)}\\
[/mm]
[mm] =&-\frac{1}{2}\int\frac{1}{x}+\int\frac{1}{x-1}+\frac{1}{2}\int\frac{1}{2-x}\\
[/mm]
[mm] =&-\frac{1}{2}\log\left(\left|x\right|\right)+\log\left(\left|x-1\right|\right)+\frac{1}{2}\log\left(\left|2-x\right|\right)\\
[/mm]
[mm] =&\frac{1}{2}\left(\log\left(\left|2-x\right|\right)-\log\left(\left|x\right|\right)\right)+\log\left(\left|x-1\right|\right)$
[/mm]
Nun müsste ich das ganze ja noch nach $x$-Auflösen, dies gelingt mir jedoch nicht:
[mm] $\frac{1}{2}\left(\log\left(2-x\right)-\log\left(x\right)\right)+\log\left(x-1\right)+C =&t\\
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow\log\left(2-x\right)-\log\left(x\right)+2\log\left(x-1\right)+2C =&2t\\
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow e^{\log\left(2-x\right)-\log\left(x\right)+2\log\left(x-1\right)+2C} =&e^{2t}\\
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \left(2-x\right)\cdot\frac{1}{x}\cdot\left(x-1\right)^{2}\cdot e^{2C}=&e^{2t}\\
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow\frac{\left(2-x\right)\cdot\left(x-1\right)^{2}}{x} =&\frac{e^{2t}}{e^{2C}}\\
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \frac{\left(2-x\right)\cdot\left(x-1\right)^{2}}{x}=&e^{2\left(t-C\right)}$
[/mm]
Egal was ich hier versuche, es bleibt immer ein [mm] $\frac{1}{x}$ [/mm] stehen und ich kann den Term nicht zu einem einzlenen $x$ umstellen. Hab ich einen Fehler gemacht oder übersehe ich etwas?
Liebe Grüße
Krümmelmonster
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 18:42 Mi 23.11.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Warum so kompliziert, du hast doch schon die Trennung der Variablen erreicht.
Du hast [mm] \dot{x}=x\cdot(x-1)\cdot(2-x)
[/mm]
Die Rechte Seite kannst du auflösen, und bekommst dann
[mm] \dot{x}=-x^{3}+3x^{2}-2x
[/mm]
Und eine Funktion zu finden, deren Ableitung [mm] -x^{3}+3x^{2}-2x [/mm] beträgt, sollte kein Problem darstellen.
Marius
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 20:54 Mi 23.11.2016 | | Autor: | Chris84 |
> Hallo.
>
> Warum so kompliziert, du hast doch schon die Trennung der
> Variablen erreicht.
>
> Du hast [mm]\dot{x}=x\cdot(x-1)\cdot(2-x)[/mm]
>
> Die Rechte Seite kannst du auflösen, und bekommst dann
> [mm]\dot{x}=-x^{3}+3x^{2}-2x[/mm]
>
> Und eine Funktion zu finden, deren Ableitung
> [mm]-x^{3}+3x^{2}-2x[/mm] beträgt, sollte kein Problem darstellen.
>
> Marius
Hallo Marius,
ich kann mich ganz stark irren, aber ich glaube, dir ist ein kleiner Fehler unterlaufen.
Tatsaechlich ist die unabhaengige Variable $t$ und die abhaengige $x$, dort steht NICHT
[mm] $f'(x)=-x^{3}+3x^{2}-2x$, [/mm]
sondern
[mm] $\dot{x}(t)=-x^{3}(t)+3x^{2}(t)-2x(t)$.
[/mm]
Damit funktioniert dein Ansatz leider nicht....
Trennung der Variablen ist schon gut und richtig!
(Habe mir den Loesungsweg leider noch nicht weiter angeschaut :) )
Gruss,
Chris
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:29 Do 24.11.2016 | | Autor: | Chris84 |
> Skizzieren Sie zunächst die Lösungsgesamtheit zur DGL
>
> [mm]\dot{x}=x(x-1)(2-x)[/mm]
>
> und lösen Sie anschließend explizit.
>
> Irgendwie geht das ganze bei mir nicht auf. Ich habe das
> ganze wie folgt gelöst:
>
> [mm]$\frac{dx}{dt}&=x\left(x-1\right)\left(2-x\right) \\[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow\frac{dx}{dt}\cdot \frac{1}{x\left(x-1\right)\left(2-x\right)}&=1\\[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow\frac{1}{x\left(x-1\right)\left(2-x\right)}dx&=1dt\\[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \int\frac{1}{x\left(x-1\right)\left(2-x\right)}dx&=\int1dt$[/mm]
>
> Partialbruchzerlegung:
>
> [mm]\frac{1}{x\left(x-1\right)\left(2-x\right)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{\left(x-1\right)}+\frac{C}{\left(2-x\right)}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow A=-\frac{1}{2}; B=1; C=\frac{1}{2}[/mm]
Huhu,
ich habe A=C=-1/2 und B=1. Damit ergibt sich eine Gleichung, die deutlich netter zu loesen sein wird :)
Gruss,
Chris
>
>
> Damit hab ich dann:
>
> [mm]$\int\frac{1}{x\left(x-1\right)\left(2-x\right)}[/mm]
>
> [mm]=&\int-\frac{1}{2x}+\int\frac{1}{x-1}+\int\frac{1}{2\left(2-x\right)}\\[/mm]
>
> [mm]=&-\frac{1}{2}\int\frac{1}{x}+\int\frac{1}{x-1}+\frac{1}{2}\int\frac{1}{2-x}\\[/mm]
>
> [mm]=&-\frac{1}{2}\log\left(\left|x\right|\right)+\log\left(\left|x-1\right|\right)+\frac{1}{2}\log\left(\left|2-x\right|\right)\\[/mm]
>
> [mm]=&\frac{1}{2}\left(\log\left(\left|2-x\right|\right)-\log\left(\left|x\right|\right)\right)+\log\left(\left|x-1\right|\right)$[/mm]
>
> Nun müsste ich das ganze ja noch nach [mm]x[/mm]-Auflösen, dies
> gelingt mir jedoch nicht:
>
> [mm]$\frac{1}{2}\left(\log\left(2-x\right)-\log\left(x\right)\right)+\log\left(x-1\right)+C =&t\\[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow\log\left(2-x\right)-\log\left(x\right)+2\log\left(x-1\right)+2C =&2t\\[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow e^{\log\left(2-x\right)-\log\left(x\right)+2\log\left(x-1\right)+2C} =&e^{2t}\\[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \left(2-x\right)\cdot\frac{1}{x}\cdot\left(x-1\right)^{2}\cdot e^{2C}=&e^{2t}\\[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow\frac{\left(2-x\right)\cdot\left(x-1\right)^{2}}{x} =&\frac{e^{2t}}{e^{2C}}\\[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \frac{\left(2-x\right)\cdot\left(x-1\right)^{2}}{x}=&e^{2\left(t-C\right)}$[/mm]
>
>
> Egal was ich hier versuche, es bleibt immer ein [mm]\frac{1}{x}[/mm]
> stehen und ich kann den Term nicht zu einem einzlenen [mm]x[/mm]
> umstellen. Hab ich einen Fehler gemacht oder übersehe ich
> etwas?
>
> Liebe Grüße
> Krümmelmonster
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Hey vielen Dank.
Durch das "-" wird es tatsächlich deutlich einfacher.
Mfg. Kruemelmonster
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