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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:45 Di 22.11.2005 | | Autor: | lauri |
Ich habe die Aufgaben in keinem anderen Forum gestellt.
Ich habe wieder 2 Aufgaben.
1. Welche senkrechte, quadratische Pyramide mit einem Quadrat der Seitenlänge a als Grundfläche und der Seitenkante s hat den größten Rauminhalt. Es sind für a und s keine Zahlen angegeben. Mit fehlt der Ansatz um die Zielfunktion zu finden, danach kann ich weiter. Danke.
2. Die Fluggesellschaft A entschließt sich zu Preissenkungen auf der Strecke Berlin-Düsseldorf, die von 1050 Passagieren bei 15 Flügen täglich genutzt wird. Die Tageseinnahmen erbringen 210.000 Euro. Bei einer Preissenkung um je 25 Euro könnten 20 Passagiere pro Flug mehr mitfliegen. Wie soll die Airline die Preise senken, um dmaximale Tageseinnahmen zu erzielen?
Danke.
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Hallo lauri,
> 1. Welche senkrechte, quadratische Pyramide mit einem
> Quadrat der Seitenlänge a als Grundfläche und der
> Seitenkante s hat den größten Rauminhalt. Es sind für a und
> s keine Zahlen angegeben. Mit fehlt der Ansatz um die
> Zielfunktion zu finden, danach kann ich weiter. Danke.
Es stellt sich gleich die Frage wie der Rauminhalt einer solchen Pyramide berechnet wird. Die Formel ist $V = [mm] \frac{1}{3}Gh$, [/mm] wobei G die Grundfläche und $h$ die Höhe der Pyramide ist. Da G in diesem Falle ein Quadrat ist, setzen wir $G := [mm] a^2$. [/mm] Jetzt müssen wir noch das h bestimmen. Betrachte dazu doch mal das Bild einer Pyramide (z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier). Ein Querschnitt davon, der über h führt, ist also ein rechtwinkliges Dreieck bei dem eine Kathete h ist. Das Dreieck ist rechtwinklig, weil die Pyramide senkrecht ist, wie Du sagst. Es gilt also der Pythagoras-Satz:
[mm] $h^2 [/mm] + [mm] \left(\frac{d}{2}\right)^2 [/mm] = [mm] s^2$,
[/mm]
wobei d die Diagonale von G ist, die h und s schneidet. Also gilt auch für d der Pythagoras:
[mm] $a^2 [/mm] + [mm] a^2 [/mm] = [mm] d^2$
[/mm]
Damit müßte es dir möglich sein, h durch a und s darzustellen.
Dann setzt Du das für das h in der Volumenformel ein. Um eine Funktion zu erhalten, können wir jetzt das s konstant lassen, und stattdessen das a so "anpassen", daß das Volumen der Pyramide maximal wird. Dazu betrachten wir die Funktion [mm] $V\left(a\right)$ [/mm] bilden die Ableitungen u.s.w. .
Danach setzen wir den Hochpunkt in unsere Funktion ein, und erhalten für das maximale Volumen [mm] $V\left(a_H\right)$.
[/mm]
Kommst Du damit weiter?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:49 Di 22.11.2005 | | Autor: | lauri |
Danke, ich glaube jetzt bekomme ich es hin. Ich stelle nur immer fest, wenn man es dann hat, ist es gar nicht schwierig, nur den Ansatz findet ich meistens nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Di 22.11.2005 | | Autor: | lauri |
Aufgabe 1 ist jetzt klar, denke ich, aber Aufgabe 2. Rechne ich da erstmal aus was ein Flug im durchschnitt kostet. Dann wäre x Flugpreis minus 25 Euro, oder. Aber dann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 Di 22.11.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Lauri,
> Aufgabe 1 ist jetzt klar, denke ich, aber Aufgabe 2.
> Rechne ich da erstmal aus was ein Flug im durchschnitt
> kostet. Dann wäre x Flugpreis minus 25 Euro, oder. Aber
> dann?
Den Durchschnittspreis ausrechnen, ist ok. Sinnvoll ist auch die Durchschnittliche Zahl der Passagiere pro Flug auszurechnen. Das x musst du allerdings anders ansetzen. Es ist ja nich gesagt, dass der Flugpreis um 25 gesenkt wird, sondern dass bei Senkung um 25 die Zahl der Passagiere pro Flug um 20 ansteigt. D.h. wenn du z.B. den Preis um 50 senkst, fliegen 40 Personen pro Flug mehr mit.
Für deinen Ansatz senkst du also den Flugpreis um 25x. Versuche mal, ob du damit schon weiter kommst. Sonst melde dich wieder.
Gruß
Sigrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Di 22.11.2005 | | Autor: | lauri |
Der durchschnittliche Flugpreis ist 200 Euro, also ist der gesuchte neue Preis 200 - 25x. Das habe ich. Wie aber setze ich die Passagierzahl an. 1050 plus 20 und dann. Preis und Anzahl ändert sich nicht proportional da muss noch irgendwie eine Unbekannte rein. Außerdem weiß ich nicht was die Anzahl der Flüge in der Aufgabe zu bedeuten hat. Kann ich die nicht vernachlässigen.
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Hallo lauri,
> Der durchschnittliche Flugpreis ist 200 Euro, also ist der
> gesuchte neue Preis 200 - 25x. Das habe ich. Wie aber setze
> ich die Passagierzahl an. 1050 plus 20 und dann. Preis und
> Anzahl ändert sich nicht proportional da muss noch
> irgendwie eine Unbekannte rein. Außerdem weiß ich nicht was
> die Anzahl der Flüge in der Aufgabe zu bedeuten hat. Kann
> ich die nicht vernachlässigen.
Die Passagierzahl stimmt nicht ganz. Bei einer Preissenkung von 25 EUR können ja 20 Passagiere pro Flug mehr mit.
Also ist die Anzahl der Passagiere: 1050 + 15 * 20 x
Die Gesamtgleichung lautet dann:
(200 - 25 x) (1050+300x)
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:57 Mi 23.11.2005 | | Autor: | lauri |
Danke,
Aufgabe 2 habe ich jetzt und ist mir auch klar.
Aufgabe 1 habe ich verstanden, da bekomme ich aber eine seltsame Funktion, die ich nicht ableiten kann.
V(a) =1/3 [mm] a^2 [/mm] - Wurzel aus [mm] s^2- a^2/2
[/mm]
Und da hänge ich.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:48 Mi 23.11.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Lauri,
> Danke,
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> Aufgabe 2 habe ich jetzt und ist mir auch klar.
>
> Aufgabe 1 habe ich verstanden, da bekomme ich aber eine
> seltsame Funktion, die ich nicht ableiten kann.
>
> V(a) =1/3 [mm]a^2[/mm] - Wurzel aus [mm]s^2- a^2/2[/mm]
Hier hast du dich wohl verschrieben:
[mm] V = \bruch{1}{3}\ a^2 \cdot \wurzel{s^2\ -\ \bruch{a^2}{2}} [/mm]
[mm] = \wurzel{a^4 \cdot (s^2\ -\ \bruch{a^2}{2})} [/mm]
Jetzt noch unter der Wurzel ausmultiplizieren.
Um diese Funktion abzuleiten brauchst du die Kettenregel. Habt ihr die schon gehabt?
Aber kann es sein, dass deine Aufgabenstellung nicht vollständig ist? Es fehlt nämlich ein Hinweis auf eine Nebenbedingung. Deshalb hat Karl-Pech auch vorgeschlagen, dass du s als konstant ansehen sollst, damt du auf eine Funktion mit einer Variablen kommst
Gruß
Sigrid
>
> Und da hänge ich.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 Mi 23.11.2005 | | Autor: | lauri |
Danke, Kettenregel hatten wir nicht, wohl alle anderen.
Und in der Aufgabenstellung fehlt leider nichts, allerdings habe ich das mit der Variablen a verstanden. Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:37 Mi 23.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Lauri
Du kannst einfach das Quadrat der Funktion ansehen, und dann den Extremwert bestimmen. Wenn eine pos. Fkt. ein Max oder Min. hat, dann auch ihr Quadrat an derselben Stelle.
Also erst quadrieren, dann erst Max. bestimmen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Mi 23.11.2005 | | Autor: | lauri |
Jetzt bin ich ganz durcheinander. Wie quadriere ich denn die Wurzel?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 Mi 23.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo lauri!
Ihr wart doch stehen geblieben bei:
$V \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*\wurzel{a^4 * \left(s^2 - \bruch{a^2}{2}\right) \ } [/mm] $
Und nun bilden wir auf beiden Seite der Gleichung - wie von leduart vorgeschlagen - das Quadrat:
[mm] $V^{\red{2}} [/mm] \ = \ [mm] \left[\bruch{1}{3}*\wurzel{a^4 * \left(s^2 - \bruch{a^2}{2}\right) \ } \ \right]^{\red{2}} [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{1}{3}\right)^2 [/mm] * [mm] \left[\wurzel{a^4 * \left(s^2 - \bruch{a^2}{2}\right) \ } \ \right]^2$
[/mm]
Und die (Quadrat-)Wurzel und das Quadrat heben sich nun gegenseitig auf zu:
[mm] $V^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{9} [/mm] * [mm] \left[a^4 * \left(s^2 - \bruch{a^2}{2}\right) \ \right]$
[/mm]
Und wenn wir nun das [mm] $a^4$ [/mm] in die runde Klammer multiplizieren, haben wir unsere Zielfunktion $f(a)_$ , mit der wir nun unsere Extremwertberechneung (Nullstellen der 1. Ableitung $f'(a)_$ etc.) durchführen können:
$f(a) \ = \ [mm] \bruch{s^2}{9}*a^4 [/mm] - [mm] \bruch{a^6}{18}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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