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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Mo 13.09.2004 | | Autor: | dereine |
Hallo,
freue mich auf ein informatives und kostenloses Matheforum gestossen zu sein und würde in meinem ersten Post auch gleich mit einem Problemfall anfangen :
Ich hoffe das mir da jemand kann.
Ich habe ein Problem damit zu erkennen wann in eine Funktion die gezeichnet wird (Abgeleitete Funktion ) eine Lücke eingezeichnet werden muss. Es gibt da, soweit ich das überschauen kann, bestimmte Werte die nicht Differenziert werden können.
Gibt es dafür eine allgemeine Definition ?
Mit freundlichen Grüssen
derEine
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:47 Mo 13.09.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo dereine!
> Ich habe ein Problem damit zu erkennen wann in eine
> Funktion die gezeichnet wird (Abgeleitete Funktion ) eine
> Lücke eingezeichnet werden muss. Es gibt da, soweit ich das
> überschauen kann, bestimmte Werte die nicht Differenziert
> werden können.
Ich formuliere deine Frage nochmal mit meinen eigenen Worten, du kannst mir dann posten, ob ich sie richtig verstanden habe:
Es sei eine Funktion f: R --> R, x --> f(x). Frage: Für welche x ist die Funktion differenzierbar, d. h. wo existiert ihre 1. Ableitung nach x, und für welche x nicht?
Nun, die Ableitung der Funktion f existiert überall dort, wo der Grenzwert des Differenzenquotienten lim (f(x) - f(x0) / (x - x0)) mit x gegen x0 existiert. Falls du jetzt Bahnhof verstehst, poste mir das, dann werde ich versuchen, dir die Definition der Ableitung zu erklären.
Ich versuche jetzt als Alternative zu der obigen sehr mathematischen Antwort zwei Beispielaufgaben zu dieser Frage zu bearbeiten:
1.
Wo ist die Funktion f: R --> R, x --> f(x) = [mm] x^{2} [/mm] differenzierbar und wo nicht?
Antwort: f ist auf ganz R differenzierbar und es gilt f'(x) = 2x
Wie du siehst, gibt es bei den elementaren Funktionen wie z. B. x --> [mm] x^{2} [/mm] oder x --> sin(x) keine Lücken in der Ableitung.
2. Es sei die abschnittsweise definierte Funktion f: R --> R, x --> f(x)
f(x) = [mm] x^{2} [/mm] für x > 0
f(x) = [mm] -x^{2} [/mm] für x <= 0
Für x [mm] \not= [/mm] 0 ist die Funktion differenzierbar, denn für x < 0 gilt:
f'(x) = -2x
und für x > 0 gilt:
f'(x) = 2x
Bei x = 0 gilt folgendes:
Der rechtsseitige Grenzwert des Differenzenquotienten ergibt:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0 , x > 0}(f(x)-f(0))/(x-0) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0 , x > 0}x^{2}/x [/mm] = 0
und der linksseitige das gleiche:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0 , x < 0}(f(x)-f(0))/(x-0) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0 , x < 0}-x^{2}/x [/mm] = 0
Also existiert die Ableitung in x = 0
MfG Clemens
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Mo 13.09.2004 | | Autor: | dereine |
Guten Abend,
danke für die schnelle Antowrt. Würdest Du mir das mit dem Limes bitte genauer erklären ? Ich weiss das wir das im Unterricht zu beginn der Diff. durchgenommen haben aber ich habe jenes nicht richtig verstanden. Ich denke das würde mir schon sehr weiterhelfen die Angelegenheit zu verstehen.
bis dann
dereine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Mo 13.09.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo dereine!
Es gibt grundsätzlich zwei Arten, den Grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x0}h(x)
[/mm]
zu definieren, wobei h(x) eine beliebige Funktion in Abhängigkeit von x ist, in unserem Fall gilt h(x)=(f(x) - f(x0)) / (x - x0), d. h. h(x) ist der sogenannte Differenzenquotient, aber dazu komme ich später.
Beide Arten der Definition des Limes sind äquivalent, ich erkläre dir nur eine:
Erste von zwei Arten, den Limes zu definieren
h(x) ist eine Funktion, die jedem x eine reelle Zahl zuordnet. Unter dem Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow\ x0}h(x) [/mm] versteht man eine reelle Zahl, die ich im folgenden G nenne, die die folgende Eigenschaft hat:
Wählt man eine beliebige echt positive Zahl e (d. h. e > 0) aus, so gibt es eine echt positive Zahl d, so dass für alle x, deren Abstand zu x0 kleiner als d ist, gilt, dass der Abstand des Funktionswertes der Funktion h bei x, kurz h(x), zu dem Grenzwert einen Abstand kleiner als e hat. Oder auch formal ausgedrückt:
Für alle e > 0 existiert ein d > 0 dergestalt, dass aus |x - x0| < d folgt, dass |f(x) - G| < e.
Beispiel
Sei h(x) = x. Wir wollen eine Zahl finden, die der obigen Definition des Limes genügt:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}h(x)
[/mm]
Ich behaupte, dass die 0 eine Zahl mit der Eigenschaft des Grenzwertes ist, denn für ein beliebige e > 0 wähle ich einfach d = e und dann gilt auch schon:
Wenn |x - 0| < d ist, dann gilt -d < x < d. Da f(x) = x und d = e folgt daraus, dass -e < f(x) < e und das ist äquivalent zu |f(x) - 0| < e.
Anmerkung
Ich habe gerade bewusst geschrieben: "eine Zahl, die der Definition ... genügt" und nicht "den Grenzwert". Um von dem Grenzwert zu sprechen, muss man erst beweisen, dass es immer nur einen Grenzwert geben kann. Ich verzichte hier auf diesen Beweis.
Die Definition der Ableitung
Die Ableitung ist auch als Grenzwert definiert. Sie ist nur nicht der Grenzwert der Funktion, die abgeleitet werden soll, sondern der des Differenzenquotienten. Wenn wir eine beliebige Funktion wählen und sie f nennen, dann verstehen wir unter dem Differenzenquotienten an der Stelle x0 den Ausdruck [mm] \bruch{f(x) - f(x0)}{x - x0}, [/mm] wobei für x alle Zahlen außer x0 zugelassen sind. Der Differenzenquotient ist die Steigung der Geraden, die durch den Punkt (x, f(x)) und den Punkt (x0, f(x0)) geht. Wenn wir z. B. f(x) = 1 für alle x wählen, und den Differenzenquotient bei x0 = 0 untersuchen, so erhalten wir den Ausdruck [mm] \bruch{f(x) - f(x0)}{x - x0}=\bruch{1 - 1}{x - 0} [/mm] = 0. Das ist ja klar: Wenn man eine Gerade vom Punkt (0, f(0)) = (0, 1) durch einen anderen Punkt auf dem Schaubild der Funktion ziehen, ist diese Gerade immer waagerecht.
Ermitteln wir nun die Ableitung der Funktion f(x) = 0 an der Stelle 0:
f'(0) = [mm] \limes_{x\rightarrow 0}Differenzenquotient
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{f(x) - f(0)}{x - 0}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1 - 1}{x - 0}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow 0}0
[/mm]
Der Differenzenquotient ist für alle x ungleich 0 genau 0. Ich behaupte, dass 0 der Grenzwert und damit die Ableitung an der Stelle 0 ist:
f'(0) = 0
Beweis:
Wählen wir ein beliebiges e > 0, so wähle ich d = 1 und konstatiere, dass für alle x mit |x - 0| < d der Differenzenquotient kleiner e (er ist ja immer 0).
Damit haben wir die Ableitung von f(x) = 0 bei 0 ermittelt, hier nochmal dick:
f'(0) = 0
MfG
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Willkommen im Matheforum.
Ich mische mich da mal ein und habe mal ein konkretes Beispiel für dein Problem:
Nehmen wir mal die Funktion:
f(x) = [mm] \bruch{x-1}{x^2-1} [/mm]
Wenn man nun diese Funktion auf Definitionslücken untersucht kommt man auf folgende Definitionsmenge:
D = R \ {-1,1}
Man darf also -1 und 1 nicht einsetzen, da der Nenner sonst Null wird.
Jetzt kann man die Funktion aber ganz legal umformen in:
f(x) = [mm] \bruch{x-1}{x^2-1} = \bruch{x-1}{(x-1)(x+1)} = \bruch{1}{x+1}[/mm]
Diese nur umgeformte Funktion hat jetzt aber als Definitionslücke nur die Stelle x = -1.
Wenn du die Funtion nun zeichnest, hat sie an der Stelle x=-1 eine Polstelle mit VZW von - nach +.
An der Stelle x=1 läuft die Funktion scheinbar ohne Lücke bzw. Polstelle.
Da deine Ausgangsfunktion aber an der Stelle x= -1 eine Definitionlücke hat musst du an dieser Stelle einen kleinen Kreis um diese Stelle machen, der angibt, dass die Funktion an der Stelle nicht definiert ist.
Hilft dir das ein bisschen weiter?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:32 Mo 13.09.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo!
Danke, dass du mithilfst, das Problem zu lösen. Trotzdem bin ich jetzt total verunsichert. Ich weiß nicht, ob es sich bei dereines Problem um eine Aufgabe des Typs
"Untersuchen Sie, für welche x die Funktion f differenzierbar ist"
oder des Typs
"Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich der Funktion f"
handelt.
MfG Clemens
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:15 Mo 13.09.2004 | | Autor: | dereine |
Hallo,
vielen Dank für die Antworten. Ich werde diese Morgen oder spä Mittwoch genau durcharbeiten ( Leider im Klausurenstress ).
Nochmal wegen der Aufgabenstellung wo Ihr euch nicht ganz sicher wart. Eigentlich wollte ich am Anfang wissen wie ich erkennen kann das ich bei einer Zeichnung eine Lücke in die Funktion einzeichnen muss.
Und zusätzlich die erklärung zum Limes ;)
Vielen Dank
und eine gute Nacht
Dereine
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