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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 So 08.01.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei f an [mm] x_0 [/mm] differenzierbar geunau dann wenn f(x) = [mm] f(x_0) +f'(x_0) [/mm] * [mm] (x-x_0) [/mm] + r(x)
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] V
Funktion [mm] r:V->\IR [/mm] mit [mm] lim_{x->x_0} [/mm] r(x)=0
In besonderen r(x) [mm] =o(x-x_0) [/mm] |
Was ist dieses [mm] o(x-x_0) [/mm] ? Ich weiß, dass o ein Landau-symbol ist. Aber was bedeutet es in dem Zusammenhang?
Und warum ist der limes davon 0??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 So 08.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
o(x) steht für eine funktion, die schneller als x gegen 0 geht, d.h. [mm] \limes_{x\rightarrow 0}o(x)/x=0
[/mm]
um gleich alles zu sagen O(x) geht gegen 0 aber O(x)/x ist nur beschränkt.
Zur Vorstellung [mm] o(x)=ax^2 [/mm] wäre ein mögliches o(x) oder [mm] o(x)=a*x^{1+r} [/mm] r>0
für O(x) wäre a*x ein Beispiel
in deiner def heisst das,nicht nur [mm] \limes_{x\rightarrow x_00}r(x-x_0)=0 [/mm] sondern auch [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}r(x-x_0)/(x-x_0)=0
[/mm]
Gruss leduart
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:24 So 08.01.2012 | | Autor: | sissile |
schonmal vielen Dank
Ich verstehe alles außer ..
> in deiner def heisst das,nicht nur $ [mm] \limes_{x\rightarrow x_00}r(x-x_0)=0 [/mm] $ sondern auch $ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}r(x-x_0)/(x-x_0)=0 [/mm] $
Außerdem verstehe ich nicht, warum das ganze relevant ist für die Differenzierbarkeit. Ich erkenne den Zusammenhang nicht!
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:29 Mo 09.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> schonmal vielen Dank
> Ich verstehe alles außer ..
> > in deiner def heisst das,nicht nur [mm]\limes_{x\rightarrow x_00}r(x-x_0)=0[/mm]
> sondern auch [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}r(x-x_0)/(x-x_0)=0[/mm]
das ist doch reine Anwendung der ![[]](/images/popup.gif) Definition Landau-Symbolik, was Leduart da schreibt.
[mm] $$r(x)=o(x-x_0)$$
[/mm]
bei $x [mm] \to x_0$ [/mm] heißt, wobei man übrigens besser $r [mm] \in [/mm] o(h)$ mit [mm] $h(x):=x-x_0$ [/mm] (bei $x [mm] \to x_0$) [/mm] schreiben würde:
Die Funktion $r(x)$ erfüllt
[mm] $$\lim_{x \to x_0} r(x)/h(x)=\lim_{x \to x_0} r(x)/(x-x_0)=0\,.$$
[/mm]
Leduart hat da einen kleinen Patzer gemacht, den ich ihm aber nicht verübeln kann: er hatte nach dem Limes [mm] $r(x-x_0)$ [/mm] im Zähler stehen. In manchen Büchern, wo die Aussage entsprechend formuliert wäre, würde das auch passen.
Aber was Leduart damit sagen wollte: Die Aussage
[mm] $$(1)\;\;\;\lim_{x \to x_0} r(x)/(x-x_0)=0$$
[/mm]
impliziert insbesondere
[mm] $$(2)\;\;\;\lim_{x \to x_0} r(x)=0\,.$$
[/mm]
Es ist also [mm] $(1)\,$ [/mm] eine sehr viel stärkere Aussage als [mm] $(2)\,$ [/mm] - das wollte Dir Leduart mitteilen. (Falls [mm] $r(x_0)=0$ [/mm] ist, dann folgt aus [mm] $(1)\,$ [/mm] sofort [mm] $(2)\,$ [/mm] und damit insbesondere die Stetigkeit von [mm] $r\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0\,.$) [/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Mi 11.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 01:33 Mo 09.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Leduart,
> Hallo
> o(x) steht für eine funktion, die schneller als x gegen 0
> geht, d.h. [mm]\limes_{x\rightarrow 0}o(x)/x=0[/mm]
> um gleich
> alles zu sagen O(x) geht gegen 0 aber O(x)/x ist nur
> beschränkt.
> Zur Vorstellung [mm]o(x)=ax^2[/mm] wäre ein mögliches o(x) oder
> [mm]o(x)=a*x^{1+r}[/mm] r>0
> für O(x) wäre a*x ein Beispiel
> in deiner def heisst das,nicht nur [mm]\limes_{x\rightarrow x_00}r(x-x_0)=0[/mm]
> sondern auch [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}r(x-x_0)/(x-x_0)=0[/mm]
um in obiger Notation zu bleiben solltest Du
[mm] $$\lim_{x \to x_0}r(x)/(x-x_0)=0$$
[/mm]
oder noch besser
[mm] $$\lim_{x \to x_0}|r(x)/(x-x_0)|=0$$
[/mm]
schreiben. Oder man nimmt nicht die Funktion [mm] $r\,$ [/mm] aus der Formulierung der Aufgabe, sondern "verschiebt diese entsprechend um [mm] $x_0$".
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:17 Mo 09.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei f an [mm]x_0[/mm] differenzierbar geunau dann wenn f(x) = [mm]f(x_0) +f'(x_0)[/mm]
> * [mm](x-x_0)[/mm] + r(x)
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] V
>
> Funktion [mm]r:V->\IR[/mm] mit [mm]lim_{x->x_0}[/mm] r(x)=0
> In besonderen r(x) [mm]=o(x-x_0)[/mm]
Das ist ja völlig bekloppt !
Bei der Richtung [mm] "\Leftarrow" [/mm] wird die Differenzierbarkeit an [mm] x_0 [/mm] vorausgesetzt, um die Differenzierbarkeit an [mm] x_0 [/mm] zu zeigen !
Wie lautet die Aufgabe korrekt ?
FRED
> Was ist dieses [mm]o(x-x_0)[/mm] ? Ich weiß, dass o ein
> Landau-symbol ist. Aber was bedeutet es in dem
> Zusammenhang?
>
> Und warum ist der limes davon 0??
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:37 Mo 09.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Sei f an [mm]x_0[/mm] differenzierbar geunau dann wenn f(x) = [mm]f(x_0) +f'(x_0)[/mm]
> > * [mm](x-x_0)[/mm] + r(x)
> > [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] V
> >
> > Funktion [mm]r:V->\IR[/mm] mit [mm]lim_{x->x_0}[/mm] r(x)=0
> > In besonderen r(x) [mm]=o(x-x_0)[/mm]
>
>
>
> Das ist ja völlig bekloppt !
>
>
> Bei der Richtung [mm]"\Leftarrow"[/mm] wird die Differenzierbarkeit
> an [mm]x_0[/mm] vorausgesetzt, um die Differenzierbarkeit an [mm]x_0[/mm]
> zu zeigen !
das macht den Beweis der Richtung einfacher 
Aber Du hast Recht: Vermutlich steht da: "Wenn es eine Zahl ... gibt, so dass..."
Denn wie soll man sonst in der Gleichung schon [mm] $f'(x_0)$ [/mm] hinschreiben, wenn man nicht explizit die Existenz von [mm] $f'(x_0)$ [/mm] voraussetzt?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:35 Di 10.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Hallo Marcel,
die Aufgabe lautet so:
f ist in [mm] x_0 \in [/mm] V differenzierbar
[mm] \gdw [/mm] es gibt ein a [mm] \in \IR [/mm] und es gibt eine Funktion r:V [mm] \to \IR [/mm] mit:
[mm] $f(x)=f(x_0)+a(x-x_0)+r(x)$ [/mm] und [mm] $\bruch{r(x)}{x-x_0} \to [/mm] 0$ für x [mm] \to x_0
[/mm]
Gruß FRED
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