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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Sa 07.07.2007 | | Autor: | Haase |
Hi, ich schreibe nächste Woche eine Mathematik Klausur und da kommen ein paar Definitionsfragen u.ä. dran.
Habe mir schon so einiges aufgeschrieben, finde aber keinen richtig schönen Satz, mit einer Beispielfunktion um zu beschreiben:
- Warum folgt aus Differenzierbar, Stetigkeit?
- Unterschied zwischen Differenzierbar und Stetigkeit?
Vielen Dank im Voraus,
Gruß Haase
P.S.: Nebenbei: Die Konvergente Reihe [mm] "1/n^2" [/mm] konvergiert gegen 2. richtig?
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Schreibe dir mal den Differenzenquotienten auf, z.b an der Stelle a und dann vergleichst Du diesen mit der Stetigkeitsvoraussetzung. Existiert der Grenzwert für x -> a, so kann an dieser Stelle auch kein Sprung auftreten und somit muss die Fkt. in a auch stetig sein.
PS: Die Reihe konvergiert nicht gegen 2, ist etwas kleiner. Tipp: Die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{s}}, [/mm] s> 1, heisst Riemannsche Zetafunktion. Der Reihenwert für s=2 ist genau [mm] \bruch {\pi^{2}}{6}.
[/mm]
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> Hi, ich schreibe nächste Woche eine Mathematik Klausur und
> da kommen ein paar Definitionsfragen u.ä. dran.
>
> Habe mir schon so einiges aufgeschrieben, finde aber keinen
> richtig schönen Satz, mit einer Beispielfunktion um zu
> beschreiben:
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> - Warum folgt aus Differenzierbar, Stetigkeit?
Ist $f(x)$ an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] differenzierbar, so bedeutet dies, dass der folgende (eigentliche) Grenzwert existiert:
[mm]\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0)\in \IR[/mm]
Wäre nun aber $f$ nicht stetig in [mm] $x_0$ [/mm] so wäre der Grenzwert [mm] $\lim_{x\rightarrow x_0} [f(x)-f(x_0)]$ [/mm] nicht $0$ oder würde gar nicht existieren. Da beim (existierenden) Grenzwert des Differenzenquotienten der Nenner [mm] $x-x_0$ [/mm] aber gegen $0$ geht, für [mm] $x\rightarrow x_0$, [/mm] würde dies bedeuten, dass auch der Grenzwert des Differenzenquotienten nicht existieren würde: Widerspruch zu unserer Annahme der Differenzierbarkeit von $f$ in [mm] $x_0$.
[/mm]
> - Unterschied zwischen Differenzierbar und Stetigkeit?
Anschaulich: Dass eine Funktion an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] stetig ist, bedeutet, dass der Graph von $f$ an dieser Stelle keinen "Sprung" macht (sog. Sprungstelle). Beispiel für Nicht-Stetigkeit:
[mm]f(x) := \begin{cases} 0 & (x<0)\\
1 & (x\geq 0)
\end{cases}[/mm]
Der Graph von $f$ hat eine Sprungstelle bei $x=0$. $f$ ist bei $x=0$ also nicht stetig.
Dass eine Funktion an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] differenzierbar ist, bedeuet anschaulich, dass der Graph von $f$ an dieser Stelle keinen Knick hat. Beispiel für Nicht-Differenzierbarkeit:
[mm]f(x) := |x|[/mm]
Der Graph dieser Funktion (Betragsfunktion) hat bei $x=0$ einen Knick. $f$ ist dort also nicht differenzierbar.
> P.S.: Nebenbei: Die Konvergente Reihe [mm]"1/n^2"[/mm] konvergiert
> gegen 2. richtig?
Nein. Der Wert dieser Reihe ist sogar nicht so leicht zu bestimmen. Vermutlich verwechselst Du diese Reihe mit der leicht zu berechnenden geometrischen Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n}$
[/mm]
Deren Wert ist in der Tat [mm] $\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$.
[/mm]
Allgemein ist eine Reihe der Form [mm] $\sum_{n=0}^\infty q^n$ [/mm] konvergent, falls $|q|< 1$. Und in diesem Falle ist ihr Wert gleich [mm] $\frac{1}{1-q}$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 So 08.07.2007 | | Autor: | Haase |
Danke euch. $ [mm] \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n} [/mm] $ die habe verwechselt :_)
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