Differenzierbarkeit->Stetigkeit < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Di 24.02.2004 | | Autor: | Alayna |
Könnte mir jemand erklären, wie man diesen Satz beweist?
"Eine differenzierbare Funktion ist immer stetig"?
Mithilfe des Differenzenquotienten habe ich das schon getan, aber ich würde es auch gerne einmal mit der h-methode sehen...
[mm] f'(x) = (f(x)-f(xo))/(x-xo)[/mm]
[mm]f'(x)*(x-xo) = f(x)-f(xo)[/mm]
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[f(x)*(x-xo)] = \limes_{n\rightarrow\infty}{f(x)-f(xo)][/mm]
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} [f'(x)*0] + f(xo)= \limes_{n\rightarrow\infty}[f(x)][/mm]
[mm]f(x) = f(xo) [/mm]
grüße,
alayna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:03 Di 24.02.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Alayna,
deinen Beweis kann ich nicht nachvollziehen, er ist so nicht richtig.
> [mm]f'(x) = (f(x)-f(xo))/(x-xo)[/mm]
Das stimmt ja schon mal nicht. Wo ist denn hier der Grenzwert? Was ist x0?
> [mm]f'(x)*(x-xo) = f(x)-f(xo)[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[f(x)*(x-xo)] = \limes_{n\rightarrow\infty}{f(x)-f(xo)][/mm]
Hier kommt kein n vor. Wie kann man dann den Limes bilden?
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} [f'(x)*0] + f(xo)= \limes_{n\rightarrow\infty}[f(x)][/mm]
>
> [mm]f(x) = f(xo)[/mm]
Hmmh... (?)
Ich rechne es dir mal vor.
Es sei also [mm](x_n)_{n \in \IN}[/mm] eine Folge, die gegen ein fest, aber beliebig vorgegebenes [mm]x_0[/mm] konvergiert. Wir wollen zeigen, dass [mm]f[/mm] in [mm]x_0[/mm] stetig ist. Wir wollen also zeigen, dass
[mm] \lim\limits_{n \to \infty} f(x_n) = f(x_0)[/mm]
gilt, oder - äquivalent dazu -
[mm] \lim\limits_{n \to \infty} (f(x_n)-f(x_0)) = 0[/mm].
Da [mm]f[/mm] differenzierbar ist, existiert der Grenzwert
[mm]\lim\limits_{n \to \infty} \frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0} \stackrel{\mbox{\scriptsize def.}}{=} f'(x_0)[/mm].
Weiterhin gilt (trivialerweise):
[mm]\lim\limits_{n \to \infty} (x_n - x_0) = 0[/mm].
Hat man nun zwei reelle Zahlenfolgen, die beide jeweils gegen eine reelle Zahl konvergieren, so konvergiert auch das Produkt der beiden Zahlenfolge, und zwar gegen das Produkt der beiden Grenzwerte.
Daher existiert auch:
[mm]\lim\limits_{n \to \infty} (f(x_n)-f(x_0)) = \lim\limits_{n \to \infty} \left[(x_n-x_0) \cdot \frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n - x_0} \right] [/mm]
und es gilt:
[mm]\lim\limits_{n \to \infty} (f(x_n)-f(x_0))[/mm]
[mm] = \lim\limits_{n \to \infty} \left[ (x_n-x_0) \cdot \frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n - x_0}\right] [/mm]
[mm] = \underbrace{\lim\limits_{n \to \infty} (x_n-x_0)}_{=\, 0} \cdot
\underbrace{ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n - x_0}}_{= \, f'(x_0)}[/mm]
[mm] = 0 \cdot f'(x_0)[/mm]
[mm] = 0[/mm],
was zu zeigen war.
Mit der [mm]h[/mm]-Methode geht es genauso:
Zu zeigen ist:
[mm]\lim\limits_{h \to 0} f(x_0+h) = f(x_0)[/mm],
oder -äquivalent dazu -
[mm] \lim\limits_{h \to 0} (f(x_0 + h)-f(x_0)) = 0[/mm].
Da [mm]f[/mm] differenzierbar ist, existiert der Grenzwert
[mm]\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h)-f(x_0)}{h} \stackrel{\mbox{\scriptsize def.}}{=} f'(x_0)[/mm].
Weiterhin gilt (trivialerweise):
[mm]\lim\limits_{h \to 0} h = 0[/mm].
Hat man nun zwei reelle Zahlenfolgen, die beide jeweils gegen eine reelle Zahl konvergieren, so konvergiert auch das Produkt der beiden Zahlenfolge, und zwar gegen das Produkt der beiden Grenzwerte.
Daher existiert auch:
[mm]\lim\limits_{h \to 0} (f(x_0+h)-f(x_0)) = \lim\limits_{h \to 0} h \cdot \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \right] [/mm]
und es gilt:
[mm]\lim\limits_{h \to 0} (f(x_0+h)-f(x_0))[/mm]
[mm] = \lim\limits_{h \to 0} \left[ h \cdot \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\right] [/mm]
[mm] = \underbrace{\lim\limits_{h \to 0} h}_{=\, 0} \cdot
\underbrace{ \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}_{= \, f'(x_0)}[/mm]
[mm] = 0 \cdot f'(x_0)[/mm]
[mm] = 0[/mm],
was zu zeigen war.
Alles klar?
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Sa 28.02.2004 | | Autor: | Alayna |
dankeschön für die schnelle und ausführliche antwort. das hat mir sehr geholfen!
nach langem nachdenken habe ich dann endlich verstanden, wieso man das wirklich als beweis akzeptieren kann. allerdings bin ich mir noch nicht so sicher, wie du zu dem anfang kommst. oder beginnst du einfach mit einer wahren aussage
[limes vom differenzialquotient] = [limes vom differenzialquotient]
das ganze *h sodass deine erste zeile dasteht?
[mm]\lim\limits_{h \to 0} (f(x_0+h)-f(x_0)) = \lim\limits_{h \to 0} h \cdot \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \right][/mm]
p.s. dank deiner hilfe habe ich jetzt ein referat über das verwenden von mathematikforen im internet sowie über den von dir gezeigten beweis :o) thx
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 Sa 28.02.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Alayna,
> nach langem nachdenken habe ich dann endlich verstanden,
> wieso man das wirklich als beweis akzeptieren kann.
> allerdings bin ich mir noch nicht so sicher, wie du zu dem
> anfang kommst. oder beginnst du einfach mit einer wahren
> aussage
> [limes vom differenzialquotient] = [limes vom
> differenzialquotient]
> das ganze *h sodass deine erste zeile dasteht?
> [mm]\lim\limits_{h \to 0} (f(x_0+h)-f(x_0)) = \lim\limits_{h \to 0} h \cdot \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \right][/mm]
Stefan hat an dieser Stelle so argumentiert:
[mm] $\limes_{h\to 0}h$ [/mm] existiert (und ist $=0$)
[mm] $\limes_{h\to 0}\bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ [/mm] existiert (und ist per Definition [mm] $=f'(x_0)$)
[/mm]
Deswegen existiert auch der Limes des Produktes:
[mm] $\limes_{h\to 0}h*\bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
[/mm]
was gekürzt gerade einen Ausdruck ergibt, aus dem man einfach die Stetigkeit folgern kann:
[mm] $=\limes_{h\to 0}(f(x_0+h)-f(x_0))$
[/mm]
usw. (das hattest du ja verstanden, oder?)
> p.s. dank deiner hilfe habe ich jetzt ein referat über das
> verwenden von mathematikforen im internet sowie über den
> von dir gezeigten beweis :o) thx
Cool, darf ich das auch mal lesen? Findet da auch der MatheRaum Erwähnung drin  ?
Alles Gute,
Marc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:26 Sa 28.02.2004 | | Autor: | Alayna |
ok, jetzt ist alles klar :o)
bis ich das referat halten muss, dauert es noch einige zeit (nach der klausur am 22.3). außerdem soll das ganze eine powerpointpräsentation werden (wieso weiß ich nicht. das hat mein lehrer so "vorgeschlagen").
natürlich wird der matheraum erwähnt (das hast du aber dem mathe- und schulforum zu verdanken, da du darin den link gegeben hast ;oD). ich muss doch zumindest ein mustergültiges beispiel eines forums bringen, oder?!
gruß, alayna
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