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| Aufgabe | Die Funktionen f,g,h: [mm] \IR \rightarrow \IR [/mm] seien definiert durch:
f(x)= [mm] |x^2-1|, g(x)=\sqrt(|x|), h(x)=|x|^{\bruch{3}{2}}. [/mm] Ermitteln Sie, in welchen Punkten die Funktionen differenzierbar sind. In welchen Punkten sind die Funktionen rechts- bzw. linksseitig differenzierbar? |
Meine Idee:
[mm] f(x)=|x^2-1|
[/mm]
f ist diffbar in [mm] x_0 \Leftrightarrow [/mm] Differenzialquotient existiert:
[mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{f(x_0+t)-f(x_0)}{t}=\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{|x_0^2+2x_0t+t^2|-|x_0^2-1|}{t}.
[/mm]
Sei [mm] x_0=1. [/mm] Dann: [mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{|x_0^2+2x_0t+t^2|-|x_0^2-1|}{t}= \limes_{t\rightarrow 0} (\bruch{1}{t}+2+t)=\infty \Rightarrow [/mm] f ist nicht diffbar bei [mm] x_0=1.
[/mm]
Sei [mm] x_0 [/mm] = -1. Dann gilt analog: f ist nicht diffbar bei [mm] x_0=-1.
[/mm]
Sei [mm] x_0\not=1 [/mm] und [mm] x_0\not=-1. [/mm] Dann gilt:
[mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{|x_0^2+2x_0t+t^2|-|x_0^2-1|}{t}. [/mm] Jetzt muss ich zeigen, dass dieser Grenzwert für alle [mm] x_0 [/mm] außer 1 und -1 existiert. Wie kann ich vorgehen?
Und muss ich dann an den Stellen 1 und -1 den rechts- bzw. linksseitigen Grenzwert berechnen? Wenn ja, wie?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 Fr 18.04.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Forme mal um:
[mm] \lim\limits_{t\rightarrow 0} \frac{|x_0^2+2x_0t+t^2|-|x_0^2-1|}{t}
[/mm]
[mm] =\lim\limits_{t\rightarrow 0} \frac{|(x_0+t)^2|-|(x_0+1)(x_{0}-1)|}{t}
[/mm]
Ein Quadrat ist immer größer als Null, und für [mm] x_{0}>1 [/mm] und [mm] x_{0}<-1 [/mm] ist [mm] (x_{0}-1)(x_{0}+1)>0, [/mm] also gilt für den Fall:
[mm] \lim\limits_{t\rightarrow 0} \frac{|(x_0+t)^2|-|(x_0+1)(x_{0}-1)|}{t}
[/mm]
[mm] =\lim\limits_{t\rightarrow 0} \frac{(x_0+t)^2-(x_0+1)(x_{0}-1)}{t}
[/mm]
[mm] =\ldots
[/mm]
Für [mm] -1
[mm] \lim\limits_{t\rightarrow 0} \frac{|(x_0+t)^2|-|(x_0+1)(x_{0}-1)|}{t}
[/mm]
[mm] =\lim\limits_{t\rightarrow 0} \frac{(x_0+t)^2-(-(x_0+1)(x_{0}-1))}{t}
[/mm]
[mm] =\ldots
[/mm]
Für [mm] x_{0}=-1
[/mm]
[mm] \lim\limits_{t\rightarrow 0} \frac{|(-1+t)^2|-|(-1+1)(-1-1)|}{t}
[/mm]
[mm] =\lim\limits_{t\rightarrow 0} \frac{t^{2}-2t+1-0}{t}
[/mm]
[mm] =\lim\limits_{t\rightarrow 0} =t-2+\frac{1}{t}
[/mm]
[mm] =\ldots
[/mm]
Für [mm] x_{0}=1
[/mm]
[mm] \lim\limits_{t\rightarrow 0} \frac{|(1+t)^2|-|(1+1)(1-1)|}{t}
[/mm]
[mm] =\lim\limits_{t\rightarrow 0} \frac{t^{2}+2t+1-0}{t}
[/mm]
[mm] =\lim\limits_{t\rightarrow 0} =t+2+\frac{1}{t}
[/mm]
[mm] =\ldots
[/mm]
Marius
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Nein, [mm] f(x)=|x^2-1|, [/mm] also ist [mm] f(x+t)=|(x+t)^2-1|\not=|(x+t)^2|.
[/mm]
Aber vllt. geht es so:
[mm] \forall x_0\not=1 [/mm] bzw. -1 gilt:
[mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{|(x_0+t)^2-1|-|x_0^2-1|}{t}=\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{(x_0+t)^2-1-x_0^2+1}{t}=...=\limes_{t\rightarrow 0}(2x_0+t)=2x_0\Rightarrow [/mm] f ist an allen anderen Stellen [mm] x_0 [/mm] diffbar. Ist das okay?
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> Aber vllt. geht es so:
> [mm]\forall x_0\not=1[/mm] bzw. -1 gilt:
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{|(x_0+t)^2-1|-|x_0^2-1|}{t}=\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{(x_0+t)^2-1-x_0^2+1}{t}
> =...=\limes_{t\rightarrow 0}(2x_0+t)=2x_0\Rightarrow[/mm]
> f ist an allen anderen Stellen [mm]x_0[/mm] diffbar. Ist das okay?
Hallo,
allein die Tatsache, daß Du herausbekommst, daß für [mm] x\not=0 [/mm] und [mm] x\not=1 [/mm] gilt [mm] f'(x_0)=2x_0 [/mm] macht einen doch stutzig, wenn man den Graphen betrachtet, oder?
Bei [mm] x_0=0.5 [/mm] sehe ich keine pos. Steigung...
Marius' Fallunterscheidungen an sich waren nicht so übel.
Ich würde das anders machen:
es ist doch [mm] f(x):=\begin{cases} x^2-1, & \mbox{für } x>1 \\ 0, & \mbox{für } x=1 \\ -x^2+1, & \mbox{für } -1
Du kannst nun die drei "großen" Bereiche mit dem limes des Differenzquotienten untersuchen , oder - wenn das schon dran war - ganz normal die Ableitung mit den Ableitungsregeln bestimmen.
Für x=1 und x=-1 mußt Du dann die limites des Differenzquotienten betrachten, und zwar jeweils von links und von rechts.
LG Angela
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Okay, mein Problem ist aber noch:
[mm] \limes_{t\rightarrow0+}\bruch{|(1+t)^2-1|}{t}=\limes_{t\rightarrow0+}\bruch{t^2+2t}{t}=\limes_{t\rightarrow0+}(t+2)=2.
[/mm]
Wie verarbeitet man die Information t [mm] \rightarrow [/mm] 0+ richtig?
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> Okay, mein Problem ist aber noch:
Hallo,
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow0+}\bruch{|(1+t)^2-1|}{t}=\limes_{t\rightarrow0+}\bruch{t^2+2t}{t}=\limes_{t\rightarrow0+}(t+2)=2.[/mm]
>
> Wie verarbeitet man die Information t [mm]\rightarrow[/mm] 0+
> richtig?
So, wie Du es getan hast:
für t [mm]\rightarrow[/mm] 0+, also wenn t>0 ist, ist [mm] |(1+t)^2-1|=(1+t)^2-1,
[/mm]
für t [mm]\rightarrow[/mm] 0-, also wenn t<0 ist, ist [mm] |(1+t)^2-1|=-(1+t)^2+1.
[/mm]
LG Angela
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Ja, aber was soll dann diese 2? Es muss doch eine linksseitige Ableitungsfunktion herauskommen?
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> Ja, aber was soll dann diese 2?
Hallo,
welche 2? Ich sehe keine...
Nutze doch bitte die Zitierfunktion, damit man weiß, worauf Du Dich beziehst.
Du hast ausgerechnet, daß der Limes des Differenzenquotienten von rechts an der Stelle [mm] x_0=1 [/mm] den Wert 2 hat.
Nun brauchst Du noch den von links. Wenn beide existieren und gleich sind, ist die Funktion f an der Stelle [mm] x_0=1 [/mm] diffbar, und die Ableitung hat den ausgerechneten Wert.
> Es muss doch eine
> linksseitige Ableitungsfunktion herauskommen?
Nein.
Du bist doch gerade dabei, die Ableitung an der Stelle [mm] x_0=1 [/mm] zu berechnen. Die Ableitung an der Stelle [mm] x_0=1 [/mm] ist keine Funktion, es ist eine Zahl, nämlich die Steigung der Tangente - sofern man eine Tangente anlegen kann.
Den Graphen hast Du gezeichnet? Da solltest Du sehen, was Du gerade ausgerechnet hast.
LG Angela
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Okay, jetzt habe ich es verstanden. Nur: Angenommen ich erhalte zwei unterschiedliche Werte für recht bzw. links. Was ändert dieser Wert dann an der Ableitungsfunktion? Die Aufgabe ist ja: Finden Sie die linksseitige Ableitung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 Fr 18.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Schuricht,
> Okay, jetzt habe ich es verstanden.
Super. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nur: Angenommen ich
> erhalte zwei unterschiedliche Werte für recht bzw. links.
> Was ändert dieser Wert dann an der Ableitungsfunktion?
Die Ableitung im Allgemeinen gibt es dann nicht. Siehe unten.
> Die Aufgabe ist ja: Finden Sie die linksseitige Ableitung.
Dich interessiert nur die linksseitige Ableitung. Wäre die
links- bzw. rechtsseitige Ableitung an einer Stelle [mm] $x_0\in D_f$
[/mm]
verschieden, dann wäre die Funktion an der Stelle [mm] $x_0\in D_f$ [/mm] nicht
differenzierbar und damit wäre die Funktion nach Definition
nicht differenzierbar. Vielleicht dazu mal folgende Aufgabe:
Zeige, dass die Abbildung
[mm] $f\colon\IR\to\IR\colon x\mapsto [/mm] |x|$
in [mm] $x_0:=0$ [/mm] nicht differenzierbar ist.
Tipp: Betrachte die links- bzw. rechtsseitige Ableitung von $f$.
Gruß
DieAcht
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Okay,
Ich komme jetzt bei x=1 auf 2 bzw. -2 für den rechts- bzw. linksseitigen Grenzwert des Differenzialquotienten. Wie genau sieht denn jetzt die rechts- bzw. linksseitige Ableitung aus?
Etwa [mm] f(x_0)=2? [/mm]
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> Okay,
>
> Ich komme jetzt bei x=1 auf 2 bzw. -2 für den rechts- bzw.
> linksseitigen Grenzwert des Differenzialquotienten.
Hallo,
also ist die Funktion f an der Stelle x=1 nicht differenzierbar.
> Wie
> genau sieht denn jetzt die rechts- bzw. linksseitige
> Ableitung aus?
>
> Etwa [mm]f(x_0)=2?[/mm]
So bestimmt nicht...
Ich weiß nicht, ob Ihr eine besonderen Notation für rechts/linksseitige Ableitungen habt, etwa" f_+'(1)=2 und f_-'(1)=-2".
Ansonsten schreib halt die Grenzwerte hin, also [mm] \lim_{x\to 1+}...=....
[/mm]
LG Angela
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