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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion
[mm] f(n)=\begin{cases} \bruch{1}{x}+1, 0 < x \le 1 \\ ax^2+b, x > 1 \end{cases}
[/mm]
wobei a, b [mm] \in \IR
[/mm]
Bestimme die Paramter a und b so, dass f in x=1 differenzierbar ist. |
Ich wollte wie folgt vorgehen:
1. Grenzwert von links kommend bestimmen mit h-Methode (da ich diesen Wert nicht beeinflussen kann und nur auf der oberen Gleichung beruht)
2. a und b so anpassen, dass der Grenzwert von rechts kommend gleich dem von links ist (da f in x=1 in diesem Fall differenzierbar wäre)
Schritt eins habe ich bereits durchgeführt:
[mm] \limes_{h\rightarrow\0 0^-} \bruch{f(1+h)-f(1)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow0 \0^-} \bruch{-1}{1+h} [/mm] = -1
deswegen muss auch
[mm] \limes_{h\rightarrow\0 0^+} \bruch{f(1+h)-f(1)}{h} [/mm] = -1
da f(1) = 2 ist, muss noch weitergedacht
[mm] \limes_{h\rightarrow\0 0^+} \bruch{f(1+h)-2}{h} [/mm] = -1
da jedoch 1+h bei rechts > 1 , muss nun die zweite Gleichung verwendet werden.
Setzt man [mm] ax^2+b [/mm] ohne Werte für a und b ein, erhält man
[mm] \limes_{h\rightarrow\0 0^+} \bruch{[a(1+2h+h^2)-b]-2}{h} [/mm] = -1
Und an dieser Stelle hänge ich fest und habe momentan keine Idee, wie nun a und b ermittelt werden könnten... insbesondere, weil ich keine Idee habe, wie ich das h im Nenner verschwinden lassen kann bzw. wie bei h [mm] \to [/mm] 0 eine 1 im Nenner entstehen kann...
Danke für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Gegeben ist die Funktion
> [mm]f(n)=\begin{cases} \bruch{1}{x}+1, 0 < x \le 1 \\ ax^2+b, x > 1 \end{cases}[/mm]
>
> wobei a, b [mm]\in \IR[/mm]
>
> Bestimme die Paramter a und b so, dass f in x=1
> differenzierbar ist.
> Ich wollte wie folgt vorgehen:
>
> 1. Grenzwert von links kommend bestimmen mit h-Methode (da
> ich diesen Wert nicht beeinflussen kann und nur auf der
> oberen Gleichung beruht)
>
> 2. a und b so anpassen, dass der Grenzwert von rechts
> kommend gleich dem von links ist (da f in x=1 in diesem
> Fall differenzierbar wäre)
>
> Schritt eins habe ich bereits durchgeführt:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow\0 0^-} \bruch{f(1+h)-f(1)}{h}[/mm] =
> [mm]\limes_{h\rightarrow0 \0^-} \bruch{-1}{1+h}[/mm] = -1
>
> deswegen muss auch
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow\0 0^+} \bruch{f(1+h)-f(1)}{h}[/mm] = -1
>
> da f(1) = 2 ist, muss noch weitergedacht
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow\0 0^+} \bruch{f(1+h)-2}{h}[/mm] = -1
>
> da jedoch 1+h bei rechts > 1 , muss nun die zweite
> Gleichung verwendet werden.
>
>
> Setzt man [mm]ax^2+b[/mm] ohne Werte für a und b ein, erhält man
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow\0 0^+} \bruch{[a(1+2h+h^2)-b]-2}{h}[/mm] =
> -1
>
>
> Und an dieser Stelle hänge ich fest und habe momentan
> keine Idee, wie nun a und b ermittelt werden könnten...
> insbesondere, weil ich keine Idee habe, wie ich das h im
> Nenner verschwinden lassen kann bzw. wie bei h [mm]\to[/mm] 0 eine 1
> im Nenner entstehen kann...
>
>
Das ist alles viel zu kompliziert gedacht. Bilde noch die erste Ableitung deiner Funktion. Den Grenzwert für x->1 von rechts her kann man hier direkt durch Einsetzen ausrechnen, da braucht es keinerlei Tricks. Und auch die h-Methode ist hier völlig fehl am Platz: verwende einschlägig bekannte Ableitungsregeln.
Dan sorge dafür, dass sowohl die Funktion als auch die Ableitung an der Stelle x=1 stetig sind. Das führt zu zwei Bestimmungsgleichungen, von denen eine sofort a und die andere dann letztendlich b liefert.
EDIT: natürlich kannst du es auch so machen, wie du angefangen hast. Korrigiere dann zunächst den Vorzeichenfehler vor dem b beim Differenzenquotienten von rechts.
Gruß, Diophant
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Hallo Diophant,
> Dan sorge dafür, dass sowohl die Funktion als auch die Ableitung an der Stelle x=1 stetig sind.
wer sagt, dass das funktionieren muss?
Die Ableitungsfunktion muss im Allgemeinen ja gar nicht stetig sein (dass sie es hier womöglich ist, kann der Fragesteller ja zu dem Zeitpunkt gar nicht wissen)!
Gruß,
Gono.
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 17:01 Mi 03.09.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo Gono,
ich bin vodn den Angaben im Profil des Themenstarters ausgegangen und habe gedacht, ich erkläre es so, wie man es für gewöhnlich in der Schule macht.
Wenn er es so machen möchte, wie er es angefangen hat, dann wäre da noch ein Vorzeichenfehler vor dem b beim Berechnen des Differenzilaquotienten von rechts zu beheben.
Gruß, Diophant
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Hiho,
entgegen Diophants Post bin ich der Meinung, dass dein Vorgehen völlig korrekt ist.
Bestimme nun einfach a und b so, dass dein Grenzwert existiert und -1 ist.
Tipp: Teile deinen Nenner in Summanden mit h und Summanden ohne h
Gruß,
Gono.
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Wenn ich nun
[mm] \bruch{[a(1+2h+h^2)-b]-2}{h} [/mm] = -1
so wie beschrieben einteile (und ausklammere), erhalte ich
[mm] \bruch{a+2ah+ah^2+b-2}{h} [/mm] = [mm] \bruch{a+b-2}{h}+2a+ah [/mm] = -1
Wie soll ich nun aber weiter vorgehen, um a und b zu erhalten?
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Hiho,
> Wenn ich nun
>
> [mm]\bruch{[a(1+2h+h^2)-b]-2}{h}[/mm] = -1
>
> so wie beschrieben einteile (und ausklammere), erhalte ich
>
> [mm]\bruch{a+2ah+ah^2+b-2}{h}[/mm] = [mm]\bruch{a+b-2}{h}+2a+ah[/mm] = -1
du solltest dir mal über dein b klar werden. Mal ist es -b, dann wieder +b.
Was ist es denn nun?
Insbesondere macht es gar keinen Sinn, dass [mm] \lim [/mm] vorher weg zu lassen und dann trotzdem =-1 zu schreiben!
Aber ansonsten stimmt deine Rechnung.
Nun mach dir mal klar, wogegen jeder einzelne Summand geht, falls [mm] $h\to [/mm] 0^+$
Zwei davon sind sofort klar, beim dritten muss man etwas überlegen und erhält daraus eine Bedingung für a und b.
Diese Bedingung kann aber auch über Stetigkeitsbedingungen für die Ursprungsfunktion bekommen, das war das, was Diophant angesprochen hat. Wenn die Funktion an x=1 differenzierbar sein soll, dann ist sie dort insbesondere stetig. Also muss welche Beziehung zwischen a und b gelten?)
Gruß,
Gono.
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