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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:38 Mo 27.03.2006 | | Autor: | Geddie |
| Aufgabe | Wie oft ist die folgende Funktion in x = 0 differenzierbar?
[mm] f(x)=\begin{cases} 1+x+0,5x²-x^4, & \mbox{für } x<0 \mbox{} \\ e^x, & \mbox{für } x\ge 0 \mbox{} \end{cases} [/mm] |
Hier kurz mal die Musterlösung:
Due Funktion ist stetig und links und rechts vom Nullpunkt beliebig oft differenzierbar, mit Ableitungen 1+x-4x³ und [mm] e^{x}. [/mm] Beide Ausdrücke streben für x [mm] \to [/mm] 0 gegen 1. Also ist f differenzierbar und
[mm] f'(x)=\begin{cases} 1+x-4x³, & \mbox{für } x \mbox{ < 0} \\ 1, & \mbox{für } x \mbox{ = 0} \\ e^{x}\, & \mbox{für } x \mbox{ > 0}\end{cases}
[/mm]
Offentsichtlich ist f' stetig. Leitet man nochmals ab, so erhält man die Terme 1-12x² und [mm] e^{x}. [/mm] Wieder erhält man den gemeinsamen Grenzwert. Also ist f zweimal differenzierbar und [mm] f''(x)=\begin{cases} 1-12x², & \mbox{für } x \mbox{ < 0} \\ 1, & \mbox{für } x \mbox{ = 0}\\ e^{x}, & \mbox{für } x \mbox{ > 0} \end{cases}.
[/mm]
Diese Funktion ist wieder stetig und links und rechts vom Nullpunkt differenzierbar, aber der Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow 0}f'''(x) [/mm] existiert nicht. Schreibt man [mm] f''(x)=f''(0)+x*\Delta''(x) [/mm] , so ist [mm] \limes_{x\rightarrow 0-}\Delta(x) [/mm] = 0 und [mm] \limes_{x\rightarrow 0+}\Delta(x) [/mm] = 1. Also ist f in 0 nicht dreimal differenzierbar.
Jetzt lautet meine Frage. Was hat das mit diesem [mm] \Delta(x) [/mm] und dieser alternativen Schreibweise von f''(x) auf sich? Wofür steht dieses [mm] \Delta(x)?? [/mm] Das ist mir nicht einleuchtend,
danke schon mal für eure Hilfe
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Hallo Gerd,
ein kleiner tip vorneweg: die hilfsbereitschaft hier im forum erhöht sich nicht unerheblich, wenn fragen mit einer netten begrüßung beginnen!
zu deiner frage:
wenn du deine formel nach [mm] $\Delta''(x)$ [/mm] umstellst kannst du erkennen, dass es sich um einen differenzenquotienten handelt, anhand dessen die dritte ableitung im punkt $0$ berechnet werden soll. Da der grenzwert aber nicht existiert, ist die funktion nicht dreimal im nullpunkt diffbar.
VG
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Mo 27.03.2006 | | Autor: | Geddie |
oha, das hab ich wohl vergessen. sorry an alle.
ist denn das [mm] \Delta(x) [/mm] immer der Differenzenquotient oder nur in diesem bestimmten Fall? Könnte man diesen Sachverhalten der Nicht-Diffbarkeit auch ohne das [mm] \Delta(x) [/mm] darstellen??
LG
Gerd
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Hallo Gerd,
also diffbarkeit ist ja im allgemeinen über diesen differenzenquotienten definiert, also wird es kaum ohne gehen.
das einige, was bei der formulierung $ [mm] f''(x)=f''(0)+x\cdot{}\Delta''(x) [/mm] $ nicht standard ist, ist dass [mm] $x_0=0$ [/mm] ist und somit verschwindet. Allgemein im punkt [mm] $x_0$ [/mm] lautet die formel:$ [mm] f(x)=f(x_0)+(x-x_0)\cdot{}\Delta(x)$. [/mm] Lässt du $x$ gegen [mm] $x_0$ [/mm] laufen und besitzt [mm] $\Delta$ [/mm] dann einen grenzwert, so ist dies der wert der ableitung von $f$ im punkt [mm] $x_0$. $\Delta$ [/mm] ist also nichts als der klassische differenzenquotient.
VG
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:24 Di 28.03.2006 | | Autor: | Geddie |
Ok. Das hat mir jetzt endgültig ein Licht aufgehen lassen. Danke dir herzlich!
LG
Gerd
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