Differenzierbarkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo Leute,
könnt ihr mir vielleicht mal mit eigenen Worten erklären, was Differenzierbarkeit bedeutet. Irgendwie komm ich langsam durcheinander was Konvergenz, Stetigkeit und Differenzierbarkeit bedeutet.
Am Besten wärs gleich mit einem oder zwei Beispielen mit Erklärung warum Differenzierbarkeit (nicht) gegeben ist.
Vielen Dank,
Martin
|
|
| |
|
Guten abend
Also differenzierbarkeit hat was mit Grenzwerten zu tun.
Eine Funktion heißt differenzierbar wenn der Grenzwert
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] existiert d.h wenn dieser Grenzwert [mm] <\infty [/mm] ist. Dieser Limes heißt Differenzenquotient
Als Beispiel macht sich die Wurzelfunktion ganz gut, weil es da Punkte gibt die nicht differenzierbar sind. Also sei [mm] f(x)=\wurzel{x}. [/mm] Wir bestimmen nun [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{f(x+h)-f(x)}{h}=\limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{\wurzel{x+h}-\wurzel{x}}{h}. [/mm] Nun erweitere ich mit [mm] \bruch{\wurzel{x+h}+\wurzel{x}}{\wurzel{x+h}+\wurzel{x}}
[/mm]
Dann kommt oben nach binomischen Formel hin [mm] \bruch{x+h-x}{h*\wurzel{x+h}+\wurzel{x}}=\bruch{1}{\wurzel{x+h}+\wurzel{x}}
[/mm]
Und das geht mit h [mm] \rightarrow [/mm] 0 gegen [mm] \bruch{1}{2\wurzel{x}} <\infty. [/mm] Damit ist [mm] \wurzel{x} [/mm] auf dem offenen Intervall [mm] (0,+\infty) [/mm] differenzierbar.
Nun ist der Punkt x=0 interessant.(Intervallgrenze)
Also stelle ich wieder den Differenzenquotient auf, setzte für x=0 ein
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{f(0+h)-f(0)}{h}=\bruch{\wurzel{h}}{h}=\bruch{1}{\wurzel{h}}. [/mm] Dieser Bruch geht mit h [mm] \rightarrow [/mm] 0 gegen + [mm] \infty. [/mm] Der Grenzwert existiert also nicht. Damit ist [mm] \wurzel{x} [/mm] im Punkt x=0 nicht differenzierbar
Ich hoffe ich konnte es einigermaßen verständlich erklären
Schönen abend noch
|
|
|
| |
|
Ich finde deine Erklärung sehr gut, danke. Aber eine Frage habe ich noch: Kannst du mir vielleicht auch erklären, wie man darauf kommt, dass die Tangente einer Funktion im Punkt a definiert ist durch:
[mm] \bruch{f(x) - f(a)}{x - a}
[/mm]
Wie kommt man auf diese Funktion? Hab ich schon in der Schule nie gerafft 
Vielen Dank,
Martin
|
|
|
| |
|
Hallo,
zeichne dir in ein Koordinatensystem mal eine steigende Gerade, lege auf der x-Achse ein x und ein a fest, z. B. x=4 und a=3, dann ist x-a=1, ebenso f(x)und f(a), jetzt entsteht ein rechtwinkliges Dreieck, eine Kathete ist x-a, die andere Kathete ist f(x)-f(a), die Hypotenuse ist die Funktion, der Anstiegswinkel ist [mm] tan=\bruch{Gegenkathete}{Ankathete}, [/mm] die 1. Ableitung gibt ja den Anstieg der Funktion an,
Steffi
|
|
|
| |
|
Danke, das klingt plausibel.
Wenn ich jetzt mit diesem Verfahren die 1. Ableitung von f(x) := [mm] x^3 [/mm] + [mm] 6x^2+21x-50 [/mm] berechnen will, dann müsste ich doch quasi so anfangen:
[mm] \limes_{x \Rightarrow a}\bruch{(x_3 + 6x_2 + 21x - 50) - (a_3 + 6a_2 + 21a - 50)}{x - a}
[/mm]
So, aber wie komm ich jetzt weiter? Hat da einer ne Idee zum Umstellen?
Danke,
Martin
|
|
|
| |
|
Hallo Martin,
löse mal im Zähler die Minusklammer auf und fasse die Ausdrücke nach ihren Potenzen zusammen, dann kannst du aus jedem Ausdruck $x-a$ ausklammern und anschließend mit dem $x-a$ im Nenner kürzen.
Danach kannst du den Grenzübergang [mm] $x\rightarrow [/mm] a$ machen.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Verstehe leider nicht was du meinst
Wenn ich die Minusklammer auflöse habe ich immer noch eine a-Dreier-, Zweier- und Einser-Potenz...das kann ich doch nicht mit den x-Potenzen zusammenfassen einfach so, oder? Oder wie meinst du das?
|
|
|
| |
|
Moin nochmal,
also was ich meinte, war folgendes (ich schreib nur den Zähler auf)
[mm] $(x^3+6x^2+21x-50)-(a^3+6a^2+21a-50)=x^3+6x^2+21x-50-a^3-6a^2-21a+50=(x^3-a^3)+(6x^2-6a^2)+(21x-21a)$
[/mm]
[mm] $=\red{(x-a)}(x^2+ax+a^2)+\red{(x-a)}6(x+a)+21\red{(x-a)}$
[/mm]
Hier kannste die $(x-a)$ gegen das $x-a$ im Nenner rauskürzen
Dann bleibt: [mm] $x^2+ax+a^2+6(x+a)+21\longrightarrow a^2+a^2+a^2+6(2a)+21=3a^2-12a+21$ [/mm] für [mm] $x\rightarrow [/mm] a$
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Dank dir für die Hilfe! Noch eine Frage: Wie bist du darauf gekommen (x - [mm] a)_3 [/mm] umzustellen nach (x - [mm] a)(x_2 [/mm] + ax + [mm] a_2). [/mm] Von (x - [mm] a)(x_2 [/mm] + ax + [mm] a_2) [/mm] auf (x - [mm] a)_3 [/mm] zu kommen ist ja einfach - einfach ausmultiplizieren. Aber wie geht es "umgedreht". Ist das irgendeine besondere Regel. Sieht fast ein bisschen binomisch aus, aber ich blick's nicht so ganz...
Danke,
Martin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:21 So 22.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Martin!
Aufpassen! Der Ausgangsterm hieß [mm] $x^3-a^3$ [/mm] .
Hiervon ist $x \ = \ a$ offensichtlich eine Nullstelle, so dass man hier eine  Polynomdivision durchführen kann:
[mm] $\left(x^3-a^3\right) [/mm] \ : \ (x-a) \ = \ [mm] x^2+a*x+a^2$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Hi!
Danke, ich hab mal gekuckt, wie das mit der Polynomdivision war. Das Prinzip versteh ich, aber dieses Beispiel ist irgendwie komisch.
Kann mir einer mal bitte die Polynomdivision fuer dieses Beispiel Schritt fuer Schritt zeigen, irgendwo hab ich grad n Brett vorm Kopf
Danke!
Martin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:18 Mo 23.04.2007 | | Autor: | sancho1980 |
Ahhh, Kommando nochmal zurueck...
habs grad hingekriegt
Hab mich grad dran erinnern, dass ich in der Schule immer die nicht vorhandenen Potenzen mit 0*Potenz dazugeschrieben hatte, dann klappt's, also:
[mm] (x^3 [/mm] + [mm] 0x^2 [/mm] + 0x + [mm] a^3) [/mm] / (x - a)
Gruss,
Martin
|
|
|
|
