Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 Mo 02.07.2007 | | Autor: | Zigainer |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden beiden Funktionen f1, f2: R²->R auf Differnezierbarkeit:
[mm] f1(x,y)=\begin{cases} (x²+y²)sin(\bruch{1}{\wurzel{x²+y²}}) , & \mbox{für }(x,y)\not=(0,0) \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } \mbox{ (x,y)=(0,0)} \end{cases}
[/mm]
[mm] f2(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^3}{x²+y²} , & \mbox{für }(x,y)\not=(0,0) \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } \mbox{ (x,y)=(0,0)} \end{cases} [/mm] |
Hi,
ich habe dann folgendesgemacht:
Stetigkeit von f1 in (0,0) .... ich hab es ist stetig
Ist f1 in (0,0) partiell differnezierbar? gradf1(0,0)=f1(0,0)
Sind die partiellen Ableitungen von f in (0,0) stetig?
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)}=\bruch{(x²+y²)sin(\bruch{1}{\Wurzel{x²+y²}})- f(0,0)-0x-0y}{|(x,y)|}=\limes_{r\rightarrow\0}r*sin(\bruch{1}{r})=0
[/mm]
udn damit differnzierbar.
Bei f2 kommt ich an dem Punkt "ISt f2 in (0,0) partiell differenzierbar?" darauf das dies nicht der Fall ist da
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)}f2y(x,y) [/mm] nicht existiert.
So jetzt interessierts mich ob ich richtig leige oder ob ich irgendwo nen Fehler habe.
MfG
Und schonmal THX
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Mo 02.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Untersuchen Sie die folgenden beiden Funktionen f1, f2:
> R²->R auf Differnezierbarkeit:
>
> [mm]f1(x,y)=\begin{cases} (x²+y²)sin(\bruch{1}{\wurzel{x²+y²}}) , & \mbox{für }(x,y)\not=(0,0) \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } \mbox{ (x,y)=(0,0)} \end{cases}[/mm]
>
> [mm]f2(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^3}{x²+y²} , & \mbox{für }(x,y)\not=(0,0) \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } \mbox{ (x,y)=(0,0)} \end{cases}[/mm]
>
> Hi,
>
> ich habe dann folgendesgemacht:
>
> Stetigkeit von f1 in (0,0) .... ich hab es ist stetig
>
> Ist f1 in (0,0) partiell differnezierbar?
> gradf1(0,0)=f1(0,0)
das versteh ich überhaupt nicht! grad ist ein Vektor f1(0,0) ne Zahl??
> Sind die partiellen Ableitungen von f in (0,0) stetig?
>
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)}=\bruch{(x²+y²)sin(\bruch{1}{\Wurzel{x²+y²}})- f(0,0)-0x-0y}{|(x,y)|}=\limes_{r\rightarrow\0}r*sin(\bruch{1}{r})=0[/mm]
ich seh nicht, was das mit den partiellen Ableitungen zu tun hat?
wenn du was hast, dann ist das hier die Stetigkeit: und woher weisst du lim r*sin1/r=0 das ist zwar richtig aber warum?
> udn damit differnzierbar.
>
>
> Bei f2 kommt ich an dem Punkt "ISt f2 in (0,0) partiell
> differenzierbar?" darauf das dies nicht der Fall ist da
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)}f2y(x,y)[/mm] nicht existiert.
das seh ich auch nicht auf Anhieb, aber ich behaupte auch nicht das Gegenteil. wie schliesst du?
bei solchen fkt. ist es oft nützlich auf den Geraden [mm] x=rcos\phi˛ y=rsin\phi [/mm] gegen 0 zu gehen, , wenn dann die Werte von [mm] \phi [/mm] abhängen dann ist das Ding nicht stetig oder nicht differenzierbar.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:28 Mo 02.07.2007 | | Autor: | Zigainer |
> Hallo
> > Untersuchen Sie die folgenden beiden Funktionen f1, f2:
> > R²->R auf Differnezierbarkeit:
> >
> > [mm]f1(x,y)=\begin{cases} (x²+y²)sin(\bruch{1}{\wurzel{x²+y²}}) , & \mbox{für }(x,y)\not=(0,0) \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } \mbox{ (x,y)=(0,0)} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > [mm]f2(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^3}{x²+y²} , & \mbox{für }(x,y)\not=(0,0) \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } \mbox{ (x,y)=(0,0)} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Hi,
> >
> > ich habe dann folgendesgemacht:
> >
> > Stetigkeit von f1 in (0,0) .... ich hab es ist stetig
> >
> > Ist f1 in (0,0) partiell differnezierbar?
> > gradf1(0,0)=f1(0,0)
> das versteh ich überhaupt nicht! grad ist ein Vektor
> f1(0,0) ne Zahl??
> > Sind die partiellen Ableitungen von f in (0,0) stetig?
> >
> >
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)}=\bruch{(x²+y²)sin(\bruch{1}{\Wurzel{x²+y²}})- f(0,0)-0x-0y}{|(x,y)|}=\limes_{r\rightarrow\0}r*sin(\bruch{1}{r})=0[/mm]
>
> ich seh nicht, was das mit den partiellen Ableitungen zu
> tun hat?
> wenn du was hast, dann ist das hier die Stetigkeit: und
> woher weisst du lim r*sin1/r=0 das ist zwar richtig aber
> warum?
ich setzte x=r* cos[mm]\phi[/mm] udn y=r*sin[mm]\phi[/mm]
> > und damit differnzierbar.
> >
> >
> > Bei f2 kommt ich an dem Punkt "Ist f2 in (0,0) partiell
> > differenzierbar?" darauf das dies nicht der Fall ist da
> > [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)}f2y(x,y)[/mm] nicht existiert.
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)}f2y(x,y) [/mm] wieder mit polarkoordinaten = [mm] \limes_{r\rightarrow\0}-2 sin(\phi)cos³(\phi) [/mm] udn dieser Grenzwert existiert nicht.
> das seh ich auch nicht auf Anhieb, aber ich behaupte auch
> nicht das Gegenteil. wie schliesst du?
> bei solchen fkt. ist es oft nützlich auf den Geraden
> [mm]x=rcos\phi˛ y=rsin\phi[/mm] gegen 0 zu gehen, , wenn dann
> die Werte von [mm]\phi[/mm] abhängen dann ist das Ding nicht stetig
> oder nicht differenzierbar.
> Gruss leduart
>
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