Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Die Funktion [mm] f:\IR^2\rightarrow\IR [/mm] ist definiert durch
[mm] f(x,y)=x^2*y+2x+3y
[/mm]
(a) Zeigen Sie direkt aus der Definition (also durch betrachten von Differenzenquotienten), dass f an der Stelle (1,1) in y-Richtung partiell differenzierbar ist.
(b) Bestimmen Sie die Jacobi-Matrix von f an der Stelle (a,b)
(c) Bestimmen Sie die Taylorentwicklung von f in der Umgebung von (1,1)
(d) Bestimmen Sie die Hessesche-Matrix von f an der Stelle (1,1). Entscheiden Sie, ob diese Matrix positiv definit ist.
(e) Bestimmen Sie alle lokalen Extrama von f |
(a)
Ich muss also [mm] \bruch{\delta f}{\delta y} [/mm] in Punkt (1,1) betrachten:
[mm] \bruch{\delta f}{\delta y} [/mm] = [mm] \lim_{h\rightarrow 0 }\bruch{f(1,1+h)-f(1,1)}{h} [/mm] = [mm] \lim_{h\rightarrow 0} \bruch{1^2*(1+h)+2*1+3*(1+h)-6}{h} [/mm] = [mm] \lim_{h\rightarrow 0 }\bruch{4h}{h} [/mm] = 4
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x,y) ist an der Stelle (1,1) in y-Richtung partiell diffbar.
(b)
D.h. ich muss alle partiellen Ableitungen bestimmen:
[mm] \bruch{\delta f}{\delta x} [/mm] = 2xy + 2
[mm] \bruch{\delta f}{\delta y} [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + 3
[mm] \Rigtarrow [/mm] Jacobi-Matrix (2xy + 2 , [mm] x^2 [/mm] +3)
(c)
Wie mache ich das? Im eindim ist es Klar aber wie im mehrdimensionalen?
(d)
Wie bestimme ich die Hessesche Matrix?
(e)
Und wie bestimme ich die lokalen Extremata? Über die Hessesche Matrix oder?
Über Korrektur und Anstöße wäre ich sehr dankbar
Gruß Zerwas
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Hi,
> Die Funktion [mm]f:\IR^2\rightarrow\IR[/mm] ist definiert durch
> [mm]f(x,y)=x^2*y+2x+3y[/mm]
>
> (a) Zeigen Sie direkt aus der Definition (also durch
> betrachten von Differenzenquotienten), dass f an der Stelle
> (1,1) in y-Richtung partiell differenzierbar ist.
> (b) Bestimmen Sie die Jacobi-Matrix von f an der Stelle
> (a,b)
> (c) Bestimmen Sie die Taylorentwicklung von f in der
> Umgebung von (1,1)
> (d) Bestimmen Sie die Hessesche-Matrix von f an der Stelle
> (1,1). Entscheiden Sie, ob diese Matrix positiv definit
> ist.
> (e) Bestimmen Sie alle lokalen Extrama von f
> (a)
> Ich muss also [mm]\bruch{\delta f}{\delta y}[/mm] in Punkt (1,1)
> betrachten:
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta y}[/mm] = [mm]\lim_{h\rightarrow 0 }\bruch{f(1,1+h)-f(1,1)}{h}[/mm]
> = [mm]\lim_{h\rightarrow 0} \bruch{1^2*(1+h)+2*1+3*(1+h)-6}{h}[/mm]
> = [mm]\lim_{h\rightarrow 0 }\bruch{4h}{h}[/mm] = 4
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x,y) ist an der Stelle (1,1) in y-Richtung
> partiell diffbar.
>
> (b)
> D.h. ich muss alle partiellen Ableitungen bestimmen:
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta x}[/mm] = 2xy + 2
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta y}[/mm] = [mm]x^2[/mm] + 3
> [mm]\Rigtarrow[/mm] Jacobi-Matrix (2xy + 2 , [mm]x^2[/mm] +3)
>
> (c)
> Wie mache ich das? Im eindim ist es Klar aber wie im
> mehrdimensionalen?
>
Habt ihr das nicht in der VL stehen? schau noch mal nach. ansonsten kann man auf die taylorreihe eines polynoms eventuell auch ohne rechnung kommen...
> (d)
> Wie bestimme ich die Hessesche Matrix?
jakobi-matrix bzw. gradient nochmal ableiten.
>
> (e)
> Und wie bestimme ich die lokalen Extremata? Über die
> Hessesche Matrix oder?
zunaechst kritische punkte bestimmen, an denen der gradient verschwindet. dann pruefen, wie die hesse-matrix an diesen punkten aussieht (definit, indefinit,usw.)
sollte aber alles in deiner VL stehen.
>
> Über Korrektur und Anstöße wäre ich sehr dankbar
>
> Gruß Zerwas
gruss
matthias
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