Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Do 07.02.2008 | | Autor: | Jenz |
Guten Abend,
ich befinde mich zZ. in meiner persönlichen Abiturvorbereitungsphase, weil bald die Vor- und Abiklausuren anstehen. Ich beschäftige mich dementsprechend auch mit der Differentialrechnung. Doch leider habe ich vor 2 Jahren ein wenig mit der Mitschrift geschlampt (unvollständig) und habe an dieser Stelle einige Rückfragen.
Und zwar geht es um die Differenzierbarkeit (ich bin mir über den Begriff & Bedeutung im Klaren) mit der H-Methode:
ein einfaches Beispiel wäre:
f(x) = x² ; ich habe 2 Punkte : x0 und x1=2
es folgt:
f(2)=2²=4=f(x1)
f(x1) = f(x0+h) =f(2+h) = (2+h)²
Es folgt für die Berechnung der Steigung:
[mm] m=\bruch{f(x0+h)-f(x0)}{h}
[/mm]
[mm] m=\bruch{f(2+h)-f(2)}{h}
[/mm]
[mm] m=\bruch{(2+h)²-4}{h}
[/mm]
Nach Kürzen etc. folgt: m=4+h
Nun werde ich mich dem Punkt nähern -> daher limes
[mm] \limes_{h\rightarrow\infty} [/mm] (4+h)
Nun folgt doch 4=4, oder nicht. An dieser Stelle weiß ich nicht weiter.
Fakt ist, dass ich eine wahre Aussage erhalte. Ist deswegen der Beweis getan, dass die Funktion insgesamt oder nur in x1=2 differenzierbar ist?
Was ist, wenn ich eine falsche Aussage herausbekomme? Etwa 3=4,0=4 o.ä.
Dann wäre die Funktion somit nicht differenzierbar und auch nicht stetig?
Wie sähe eine solche Funktion aus? Würde mich sehr über ein Beispiel freuen.
Vielen Dank für die Informationen - jede Info ist hilfreich. Vielleicht brauche ich gerade diese in meiner Abiklausur. Ich bitte auch um Kommentare über meine Darstellungsweise / Schreibweise - ist diese mathmatisch richtig? Denn darauf wird bekanntlich sehr viel wert gelegt.
MFG, Jenz
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Do 07.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jenz!
Wie kommst Du denn auf diese wahre Aussage? Du hast doch eine Gleichung, die Du umformst und solltest damit auch nur eine Aussageform erhalten mit:
$$m \ = \ f'(2) \ = \ ... \ = \ 4$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Do 07.02.2008 | | Autor: | Jenz |
Auf welche Aussage beziehst Du dich denn ?
[mm] \limes_{h\rightarrow\infty} [/mm] (4+h) = 4
ist doch eine wahre Aussage, weil h Null wird, oder nicht?
4=4 -> wahr
Oder ich befinde mich gerade auf dem ganz falschen Dampfer.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Do 07.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Schreibweise:
m ist die Steigung der Sekante durch die Punkte (2,4) [mm] (2+h,(2+h)^2)
[/mm]
du hast richtig raus m=4+h
jetzt kommt die Definition der Ableitung. [mm] f'(2)=\limes_{h\rightarrow 0}m
[/mm]
also [mm] f'(2)=\limes_{h\rightarrow 0}4+h=4 [/mm]
rechts in der Gleichung steht ne 4, links steht f'(2) also hast du f'(2) ausgerechnet.
(Wenn du vorher irgendwo anders her f'(2) kennen würdest dann könntest du 4=4 hinschreiben.)
2. du hast jetzt nur gezeigt, dass es f'(2) gibt. wenn dus für nen allgemeinen Punkt [mm] x_0 [/mm] beweisen willst, musst dus mit dem machen.
(es gibt Funktionen, die sind nur an einem punkt differenzierbar, die kommen aber nicht auf der Schule vor)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Do 07.02.2008 | | Autor: | Jenz |
Vielen Dank, dann werde ich es auch noch versuchen, die gesamte Funktion auf Differenzierbarkeit zu prüfen.
Eine Frage hätte ich da noch:
Wie sieht es denn, wenn eine Funktion nicht differenzierbar ist?
Muss ich mit der normalen Ableitung prüfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:33 Fr 08.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst immer den Grenzwert der Sekantensteigung überprüfen. Der muss für positive h un negative h derselbe sein, (und natürlich existieren)
typisches Beispiel für nicht differenzierbar ist f(x)=|x| bei x=0
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Fr 08.02.2008 | | Autor: | Jenz |
>. Der muss für positive h un negative h derselbe
> sein, (und natürlich existieren)
Wäre das dann einfach f'(2) = lim(h->0) = 4+h = 4 &
f'(2) = lim(h->0) = 4-h = 4 ???
Aber das ist doch völlig unnötig, weil h sowieso 0 wird und deswegen der zweite Grenzwert immer den gleichen Wert annimmt wie der erste. Ist doch so, oder? Bei 0 ist eben das Vorzeichen egal.
Oder muss ich mir einen weiteren Punkt suchen und die Prozedur mit diesem von vorne anfangen?
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Hi Jenz!
die Differenzierbarkeit in einer Stelle [mm] x_0 [/mm] ist eine eigenschaft einer Funktion bei der
[mm] \limes_{x gegen x_{0} von oben}f`(x)=\limes_{x gegen x_{0} von unten}f`(x)
[/mm]
Man kann allgemein zeigen, dass jedem Polynomfunktion auf ihrem Definitionsbereich differenzierbar ist. Damit ist deine aufgabe natürlich klar.
Aber wenn du
f(x)=x+1 für x<0 hast und [mm] f(x)=x^2 [/mm] für x>=0, dann siehst du z.B. das diese Funktion nicht in x=0 differenzierbar ist und auch nicht einmal stetig.
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