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Hi, folgende Aufgabe lässt mich wieder verzweifeln:
gegeben ist die funktion
[mm] f(x)=\begin{cases} e^{-\bruch{1}{x^{2}}} , & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\ 0, & \mbox{für } \mbox{ x gleich 0} \end{cases}
[/mm]
Zuerst soll ich zeigen, dass die Funktion auf R 2mal differenzierbar ist und f'(0) = f''(0) = 0.
Dazu meine erste Frage: Reicht es zu zeigen, dass für den Fall x=0 der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert?
Oder wie soll ich sonst zeigen, dass das 2mal auf ganz R funktioniert?
Und, dass f'(0)=0 etc. ist, ist doch eigentlich schon klar, da an x=0 die Funktion als konstante 0 definiert ist, und somit auch alle Ableitungen an dieser Stelle, oder?
Teil 2 der Aufgabe wäre zu beweisen, dass das ganze n-mal diffbar auf R ist. Da muss ich allerdings die Segel streichen, solange ich mir selbst bei der 2-maligen Differenzierbarkeit so unsicher bin.
Ich wünschte ich könnte noch mehr angeben, aber steck' echt fest.
Thx steele
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 Mo 17.01.2005 | | Autor: | andreas |
hallo
> gegeben ist die funktion
> [mm]f(x)=\begin{cases} e^{-\bruch{1}{x^{2}}} , & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\ 0, & \mbox{für } \mbox{ x gleich 0} \end{cases}
[/mm]
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> Zuerst soll ich zeigen, dass die Funktion auf R 2mal
> differenzierbar ist und f'(0) = f''(0) = 0.
> Dazu meine erste Frage: Reicht es zu zeigen, dass für den
> Fall x=0 der Grenzwert des Differenzenquotienten
> existiert?
> Oder wie soll ich sonst zeigen, dass das 2mal auf ganz R
> funktioniert?
ich denke mit dem differenzenqutient ist das schon eine ganz gute idee, verfolge diese mal weiter ...
> Und, dass f'(0)=0 etc. ist, ist doch eigentlich schon
> klar, da an x=0 die Funktion als konstante 0 definiert ist,
> und somit auch alle Ableitungen an dieser Stelle, oder?
so kann man das nicht sehen. differenzierbarkeit (und damit auch der wert der ableiteung) sind die eigenschaft einer funktion in einer umgebung und nicht nur in einem punkt! du kannst auch die funktion
[m] g(x) = x [/m]
betrachten. nur weil hier der funktionswert in null null ist, gilt das noch lange nicht für die ableitung, da ja bekanntlich [m] g'(0) = 1 \not=0 [/m]!
> Teil 2 der Aufgabe wäre zu beweisen, dass das ganze n-mal
> diffbar auf R ist. Da muss ich allerdings die Segel
> streichen, solange ich mir selbst bei der 2-maligen
> Differenzierbarkeit so unsicher bin.
ich vermute, das man das einsehen kann, wenn man das für die ersten ableitungen gezeigt hat, habe es abernicht durchgerechnet ...
probiere mal dein glück und melde dich mit fragen wieder.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:31 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
Hallo,
wenn ich mir da noch ein Gegenbeispiel zu der Vermutung: f ist in 0 als konstant 0 definiert, dann muss doch auch jede Ableitung dort 0 sein erlauben darf:
[mm] f(x)=\begin{cases} 1-cos(x), & \mbox{für } x \not=0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}
[/mm]
Das ist bei der ersten Ableitung prima, aber bei der zwoten krachts.
Alles gute,
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 So 03.04.2005 | | Autor: | Baylan |
Hallo Peter,
ich glaube, da vertust du dich: Die Ableitung ist als Grenzwertquotient definiert, d. h. für die Ableitung an der Stelle 0 spielt der Funktionswert f(0) überhaupt keine Rolle.
Benno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:08 Di 05.04.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
Die Vermutung, f(0) würde eine Rolle spielen, stammt vom Stahlpfadfinder; deshalb war es ja auch so einfach, ein Gegenbeispiel zu der Annahme $f(0)=0 [mm] \Rightarrow f^{(n)}(x)=0$ [/mm] zu finden, gelle ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
Gruß, Peter
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