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| Aufgabe | Sei f : [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] definiert durch f(x , y) := [mm] \bruch{x^{2}*y^{3}}{x^{4}+y^{4}} [/mm] für (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0) und f(0, 0) := 0.
Berechnen Sie [mm] \bruch{\delta f}{\delta v}(0,0) [/mm] für v = (1,2), (2,1) und (3,3) |
Hallo ihr lieben,
zunächst... Sorry wenn ich den Thementitel falsch gewählt habe.. War mir nicht sicher was ich nehmen soll.
Nun, stehe vor dieser oben genannten Aufgabe und weiß nicht so recht was ich überhaupt machen soll.
Meine Idee war die werte in Klammern bei v = ....
In die Funktion oben einsetzen...
Aber so leicht kann es doch nicht sein oder ? 
Könnt ihr mir bitte einen Hinweis geben?
Vielen Dank im Voraus
steffi
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> Sei f : [mm]\IR^{2} \to \IR[/mm] definiert durch f(x , y) :=
> [mm]\bruch{x^{2}*y^{3}}{x^{4}+y^{4}}[/mm] für (x,y) [mm]\not=[/mm] (0,0) und
> f(0, 0) := 0.
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> Berechnen Sie [mm]\bruch{\deltaf}{\deltav}(0,0)[/mm] für v = (1,2), (2,1) und (3,3)
> Hallo ihr lieben,
> zunächst... Sorry wenn ich den Thementitel falsch gewählt
> habe.. War mir nicht sicher was ich nehmen soll.
>
> Nun, stehe vor dieser oben genannten Aufgabe und weiß nicht
> so recht was ich überhaupt machen soll.
>
> Meine Idee war die werte in Klammern bei v = ....
> In die Funktion oben einsetzen...
>
> Aber so leicht kann es doch nicht sein oder ?
>
> Könnt ihr mir bitte einen Hinweis geben?
>
> Vielen Dank im Voraus
>
> steffi
hallo steffi,
zuerst war ich ziemlich baff angesichts der Aufgabenstellung:
> Berechnen Sie [mm]\bruch{\deltaf}{\deltav}(0,0)[/mm] für v = (1,2), (2,1) und (3,3)
Erst bei der Betrachtung des Quelltextes wurde mir klar, dass
hier mit dem TeX etwas schief gelaufen ist; du wolltest wohl schreiben:
> Berechnen Sie [mm]\bruch{\delta f}{\delta v}(0,0)[/mm] für v = (1,2), (2,1) und (3,3)
Aber auch dies scheint mir sinnlos. Wie lautete also die Aufgabe genau ?
Ich könnte mir beispielsweise vorstellen:
Berechnen Sie [mm]\left( \bruch{\partial f}{\partial x},\bruch{\partial f}{\partial y} \right)[/mm] .......
Dies wären die partiellen Ableitungen nach x (mit konstant bleibendem y)
oder nach y (mit konstant bleibendem x).
Gruß al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:23 Mo 05.05.2008 | | Autor: | Steffi1988 |
Hallo,
bin selber ein wenig verwirrt, dass es nicht richtig dargestellt wurde.
In der Vorschau war noch alles okey.
Also nochmal die Aufgabenstellung 1:1:
Sei f: [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] definiert durch f(x,y) := [mm] \bruch{x^{2}\*y^{3}}{x^{4}+y^{4}} [/mm] für (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0) und f(0,0) := 0.
Berechnen Sie [mm] \bruch{\delta f}{\delta v}(0,0) [/mm] für v = (1,2), (2,1) und (3,3).
Liebe Grüße
Steffi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:24 Mo 05.05.2008 | | Autor: | fred97 |
es sind wohl Richtungsableitungen in (0,0) in Richtung v gemeint
Fred
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Kannst Du mir vielleicht noch einen Tip für einen Ansatz geben?
Ich stehe grad echt irgendwie auf dem Schlauch.
Gruß
steffi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 Mo 05.05.2008 | | Autor: | fred97 |
wie habt Ihr denn die Richtungsableitung inder Vorlesung definiert ?
Gruß Fred
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:56 Mo 05.05.2008 | | Autor: | Steffi1988 |
Also im Skript habe ich hier stehen:
Seien E, F normierte Räume, X [mm] \subset [/mm] E offen, f : X [mm] \to [/mm] F eine Abbildung.
Ist v [mm] \in [/mm] E \ {0}, so sagt man, f besitzt in a [mm] \in [/mm] X eine Ableitung in Richtung v,
falls t [mm] \mapsto \bruch{1}{t} [/mm] (f ( a+tv) - f(a)) in t = 0 einen Grenzwert besitzt und bezeichnet
[mm] \bruch{\delta f}{\delta v}(a) [/mm] := [mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{1}{t} [/mm] (f(a+tv) - f(a))
als die Richtungsableitung von f im Punkt a in Richtung v.
Hilft uns das hier weiter?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:00 Mo 05.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Natürlich !
Bei Deiner Aufgabe ist a=(0,0) und Du sollst die Richtungsableitungen für die geegebenen v's berechnen.
Benutze die Definition
Fred
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Hm. So recht weiß ich aber nicht wie ich das machen muss :(
[mm] \bruch{\delta f}{\delta v} [/mm] (0,0) := [mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{1}{t} [/mm] (f (a +tv) - f(0,0) )
=
[mm] \bruch{\delta f}{\delta v} [/mm] (0,0) := [mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{1}{t} [/mm] (f ((0,0) + t(1,2)) - f(0,0) )
Kann das so stimmen für v = (1,2) oder habe ich falsch eingesetzt...
Wobei ich mir auch mit dem t unsicher bin.. Es läuft ja gegen 0.
Somit hätte ich doch z.B. aus t(1,2) mit t [mm] \to [/mm] 0 eine 0 raus...
Gruß und danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:30 Mo 05.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Berechne den Ausdruck vor lim und lasse dann t gegen 0 gehen
Fred
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> Hm. So recht weiß ich aber nicht wie ich das machen muss
> :(
>
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta v}[/mm] (0,0) := [mm]\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{1}{t} (f (a +tv) - f(0,0) )[/mm]
>
> =
>
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta v}[/mm] (0,0) := [mm]\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{1}{t} (f ((0,0) + t(1,2)) - f(0,0) )[/mm]
>
>
> Kann das so stimmen für v = (1,2) oder habe ich falsch
> eingesetzt...
>
> Wobei ich mir auch mit dem t unsicher bin.. Es läuft ja
> gegen 0.
> Somit hätte ich doch z.B. aus t(1,2) mit t [mm]\to[/mm] 0 eine 0
> raus...
>
> Gruß und danke
>
Hallo, da bin ich nochmals. Ich habe jetzt die Frage
auch verstanden... Deine obigen Formeln stimmen.
Jetzt geht es darum, den Ausdruck zu vereinfachen
(Formel für f(x,y) einsetzen) und den allfälligen Limes
zu bestimmen. Dass t gegen 0 geht, ist ja ganz gewohnt
bei der Berechnung von Grenzwerten durch Limesbildung.
Man muss einfach hoffen, dass sich das t irgendwann
aus der Rechnung herauskürzt...
LG al-Chw.
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$ [mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{1}{t} [/mm] (f ((0,0) + t(1,2)) - f(0,0) ) $
hm... mir fällt nicht ein wie sich das t kürzen könnte..
Höchstens wenn ich es irgendwie aus dem f ziehen könnte.
Naja aus
f( (0,0 + t(1,2)) kann ich ja folgendes machen:
f(0,0) + f (t(1,2))
Theoretisch könnte ich es doch rausziehen oder ?
Wenn ich da nun oben anwende:
$ [mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{1}{t} (t\*f(1,2) [/mm] + f (0,0) - f(0,0) ) $
$ [mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{1}{t} (t\*f(1,2) [/mm] ) $
damit hätte ich f(1,2) raus.
Soweit richtig?
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> [mm]\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{1}{t} (f ((0,0) + t(1,2)) - f(0,0) )[/mm]
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> hm... mir fällt nicht ein wie sich das t kürzen könnte..
> Höchstens wenn ich es irgendwie aus dem f ziehen könnte.
>
>
> Naja aus
>
> f( (0,0) + t(1,2)) kann ich ja folgendes machen:
>
> f(0,0) + f (t(1,2))
Dieser Schluss ist so nicht erlaubt
(Linearität von f darf man nicht voraussetzen),
aber es gilt natürlich (0,0) + t(1,2) = (t,2t)
und damit f( (0,0) + t(1,2)) = f(t,2t)
>
> Theoretisch könnte ich es doch rausziehen oder ?
>
nein, f ist nicht linear !
> Wenn ich da nun oben anwende:
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{1}{t} (t\*f(1,2) + f (0,0) - f(0,0) )[/mm]
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{1}{t} (t\*f(1,2) )[/mm]
>
> damit hätte ich f(1,2) raus.
>
> Soweit richtig? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm]\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{1}{t} (f ((0,0) + t(1,2)) - f(0,0) )[/mm] = [mm]\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{1}{t} (f (t,2t) - f(0,0) )[/mm]
Nun ist ja [mm]\ f(0,0) = 0[/mm] und f(x,y)= $ [mm] \bruch{x^{2}\cdot{}y^{3}}{x^{4}+y^{4}} [/mm] $
In der letzten Formel setzt du t für x und 2t für y ein !
Nachtrag:
Ich habe festgestellt, dass du mit deiner Rechnung ebenfalls
zum gleichen Schlussergebnis kämest, nämlich
[mm]\bruch{\partial f}{\partial v}(0,0) |_{v= \vektor{1\\2}} \quad = \bruch{8}{17}[/mm]
Dass dies passt, liegt aber am speziellen Beispiel der Funktion f.
Für die nur leicht abgeänderte Funktion
f(x,y)= $ [mm] \bruch{x^{2}\cdot{}y^{4}}{x^{4}+y^{4}} [/mm] $
gilt die Übereinstimmung nicht mehr !
Gruß al-Chwarizmi
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Irgendwas mache ich falsch :(
[mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{1}{t} [/mm] ( f (t,2t) - f(0,0) )
[mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{1}{t} [/mm] ( f (t,2t) )
nun sagtest Du mir ja, ich setzte für x:= t und y:= 2t
Dann erhalte ich:
[mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{1}{t} [/mm] ( [mm] \bruch{t^{2} \* 2t^{3}}{t^{4} + 2y^{4}} [/mm] )
Das zusammengefasst und das [mm] \bruch{1}{t} [/mm] 'aufgelöst' ergibt mir:
[mm] \limes_{t\rightarrow 0} [/mm] ( [mm] \bruch{2t^{4}}{t^{4}+2y{4}} [/mm] )
Lasse ich nun das t gegen 0 laufen komme ich auf 0.
Was anscheinend falsch ist :(
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> Irgendwas mache ich falsch :(
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{1}{t}[/mm] ( f (t,2t) - f(0,0) )
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{1}{t}[/mm] ( f (t,2t) )
>
> nun sagtest Du mir ja, ich setzte für x:= t und y:= 2t
>
> Dann erhalte ich:
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{1}{t}[/mm] ( [mm]\bruch{t^{2} \* 2t^{3}}{t^{4} + 2y^{4}}[/mm] )
Du meintest wohl:
[mm]\limes_{t\rightarrow 0}\quad \bruch{1}{t}\left( \bruch{t^{2} \* (2*t)^{3}}{t^{4} + (2*t)^{4}} \right)[/mm]
Schönen Abend !
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Oh super,
habe da nun auch
[mm] \bruch{8}{17} [/mm] heraus.
Den Limes brauche ich dann ja eigentlich garnicht, da das t wegfällt...
Wie schreibe ich das denn nun formal auf?
[mm] \bruch{ \delta t}{ \delta v}(0,0) [/mm] = [mm] \bruch{8}{17} [/mm] ?
Edit:
hab mal für v = (2, 1)
ausgerechnet und bin auf [mm] \bruch{4}{17} [/mm] gekommen.
Stimmt das?
Liebe Grüße
steffi
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> Oh super,
> habe da nun auch
>
> [mm]\bruch{8}{17}[/mm] heraus.
> Den Limes brauche ich dann ja eigentlich garnicht, da das
> t wegfällt...
>
> Wie schreibe ich das denn nun formal auf?
>
>
> [mm]\bruch{ \delta t}{ \delta v}(0,0)[/mm] = [mm]\bruch{8}{17}[/mm] ?
Nicht ganz, im Zähler muss [mm] \partial{f} [/mm] stehen. Ausserdem würde ich
vielleicht noch vorschlagen, den Vektor v ebenfalls noch zu erwähnen,
also zum Beispiel:
[mm]\bruch{ \partial f}{ \partial v}(0,0)[/mm] = [mm]\bruch{8}{17}[/mm] , wenn v = [mm] \vektor{1\\2}
[/mm]
Ob ihr Vektoren generell in Zeilen- oder Spaltenform schreibt weiss ich nicht.
Anstelle des Symbols [mm] \delta [/mm] (delta) habe ich das Symbol [mm] \partial [/mm] (partial) verwendet.
Das sind aber unwesentliche Details.
>
> Edit:
> hab mal für v = (2, 1)
> ausgerechnet und bin auf [mm]\bruch{4}{17}[/mm] gekommen.
>
> Stimmt das?
ich habe das ebenfalls bekommen
Liebe Grüße
Chwarizmi
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