Differenzierbarkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Di 30.06.2009 | | Autor: | MaGGuZ |
| Aufgabe | Beweise folgende Aussagen
1. Sei f : R ⊃ [a,b] → M ⊂ R eine stetige injektive Funktion, wobei M = f([a,b]) und a,b ∈ R mit a [mm] \not= [/mm] b. Dann ist die Umkehrfunktion f−1 wohldefiniert und stetig. Benutze den Zusammenhang von Stetigkeit und Kompaktheit.
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Hallo liebe Leute,
bin grad n bisschen hilflos bei Aufgaben der Differenzierbarkeit. Weiß auch nicht, aber hab da irgendwie ein Brett vorm Kopf.
Bei der 1. bin ich etwas verwirrt, weil ich dachte nur bijektive Funktionen sind umkehrbar bzw das ganze Sinn macht?!
Bei der zweiten Aufgabe bin ich bzgl. der 0 sehr verwirrt, weil nicht weiß wie das mit dem Limes(Untersuchung Stetigkeit bei einem solchen Wertebereich aussieht?! Bei der 3. bin ich komplett ratlos.
Ich danke an dieser Stelle erstmal für eure Aufmerksamkeit und bitte um Verständnis für meine temporäre "Beschränktheit"^^
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Beweise folgende Aussagen
> 1. Sei f : R ⊃ [a,b] → M ⊂ R eine stetige injektive
> Funktion, wobei M = f([a,b]) und a,b ∈ R mit a [mm]\not=[/mm] b.
> Dann ist die Umkehrfunktion [mm] f^{-1} [/mm] wohldefiniert und stetig.
> Benutze den Zusammenhang von Stetigkeit und Kompaktheit.
> Hallo liebe Leute,
>
> bin grad n bisschen hilflos bei Aufgaben der
> Differenzierbarkeit. Weiß auch nicht, aber hab da
> irgendwie ein Brett vorm Kopf.
> Bei der 1. bin ich etwas verwirrt, weil ich dachte nur
> bijektive Funktionen sind umkehrbar bzw das ganze Sinn
> macht?!
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Naja, daß es hier die Umkehrfunktion wirklich gibt, sollst Du ja auch erst zeigen. ("Wohldefiniertheit")
Die Umkehrfunktion wäre ja diese:
[mm] f^{-1}: M\to [/mm] [a,b]
[mm] f^{-1}(y):=x [/mm] mit f(x)=y.
Bei der Wohldefiniertheit geht es nun darum, daß
1. tatsächlich jedem Element von M ein Funktionswert zugewiesen wird,
und daß
2. nicht einem Element aus M zwei Funktionswerte zugewiesen werden, denn dann wäre es ja keine Funktion.
Gruß v. Angela
P.S.: Aber mit Differenzierbarkeit hat das nichts zu tun, oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Di 30.06.2009 | | Autor: | MaGGuZ |
Hallo,
nochmals Danke für die schnelle Antwort!
und wie zeig ich das konkret bzw. drück es formal aus. Also hab nochmal nachgedacht und aus der Injektivität folgt ja eigentlich, dass die Umkehrfunktion wohldefiniert ist, aber wie schreib ich das und dann ist da noch die Stetigkeit...
nochmals Danke
Gruß Markus
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> und wie zeig ich das konkret bzw. drück es formal aus.
> Also hab nochmal nachgedacht und aus der Injektivität
> folgt ja eigentlich, dass die Umkehrfunktion wohldefiniert
> ist, aber wie schreib ich das
Hallo,
wir wollen hier Lösungsansätze von Dir sehen, also gern mal wissen, wie Du das schreibst...
Zur Wohldefiniertheit sind ja die beiden von mir zuvor genannten Punkte zu zeigen.
Zu 1. mußt Du überlegen, warum es zu jedem Element aus M einen Funktionswert gibt.
Schau Dir dazu die Def. von M an.
Zu 2. nimm an, daß es ein Element aus M gibt, welchem zwei "Funktions"werte zugewiesen werden, und erzeuge einen Widerspruch zu den Voraussetzungen.
Das Entscheidende, die Injektivität, hast Du ja schon genannt.
> und dann ist da noch die
> Stetigkeit...
Teil bitte mit, wie weit Deine Überlegungen gediehen sind.
Was möchtest Du gerne zeigen, an welcher Stelle hast Du Probleme?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Di 30.06.2009 | | Autor: | MaGGuZ |
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> > und wie zeig ich das konkret bzw. drück es formal aus.
> > Also hab nochmal nachgedacht und aus der Injektivität
> > folgt ja eigentlich, dass die Umkehrfunktion wohldefiniert
> > ist, aber wie schreib ich das
>
> Hallo,
>
> wir wollen hier Lösungsansätze
> von Dir sehen, also gern mal wissen, wie Du das
> schreibst...
>
> Zur Wohldefiniertheit sind ja die beiden von mir zuvor
> genannten Punkte zu zeigen.
>
> Zu 1. mußt Du überlegen, warum es zu jedem Element aus M
> einen Funktionswert gibt.
> Schau Dir dazu die Def. von M an.
also es wäre ja dann [mm] f^{-1}: f([a,b])\to[a,b] [/mm] so und weil die ursprungsfunktion injektiv war und der ehemalige wertebreich der funktion der definitionsbereich ist, ist sie doch jetzt bijektiv oder?!
> Zu 2. nimm an, daß es ein Element aus M gibt, welchem zwei
> "Funktions"werte zugewiesen werden, und erzeuge einen
> Widerspruch zu den Voraussetzungen.
> Das Entscheidende, die Injektivität, hast Du ja schon
> genannt.
die annahme wäre ja schon ein widerspruch wenn man nach obigen überlegungen davon ausginge die funktion ist bijektiv?!
> Teil bitte mit, wie weit Deine Überlegungen gediehen
> sind.
bei der Stetigkeit weiß ich nicht inwiefern ich das Wissen zur Kompaktheit verwenden soll und wie ich das ganze ohne konkrete Funktion mache
Gruß Markus
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> > Hallo,
> >
> > wir wollen hier Lösungsansätze
> > von Dir sehen, also gern mal wissen, wie Du das
> > schreibst...
> >
> > Zur Wohldefiniertheit sind ja die beiden von mir zuvor
> > genannten Punkte zu zeigen.
> >
> > Zu 1. mußt Du überlegen, warum es zu jedem Element aus M
> > einen Funktionswert gibt.
> > Schau Dir dazu die Def. von M an.
>
> also es wäre ja dann [mm]f^{-1}: f([a,b])\to[a,b][/mm] so und
> weil die ursprungsfunktion injektiv war und der ehemalige
> wertebreich der funktion der definitionsbereich ist, ist
> sie doch jetzt bijektiv oder?!
Hallo,
die Bijektivität liegt Dir ja sehr am Herzen.
Du kannst es in der Tat so machen, daß Du sagst: f ist bijektiv, weil der Wertebereich von f gerade das Bild des Definitionsbereiches ist.
Und vermutlich habt Ihr dann gehabt, daß bijektive Funktionen eine Umkehrfunktion haben, und wenn man weiß, daß es eine Umkehrfunktion gibt, ist diese natürlich wohldefiniert.
Aber aufgrund der Aufgabenstellung denke ich, daß man sich von Dir wünscht, daß Du diese Umkehrfunktion explizit definierst und ihre Wohldefiniertheit nachweist.
Es geht hier ja auch ein bißchen darum, das Problembewußtsein zu schärfen...
Vergiß doch einfach mal kurz den Begriff "bijektiv", und zeig diese beiden erwähnten Punkte.
Bei 1. liegst Du ja ganz richtig damit, daß M=f([a,b])ist:
Sei x [mm] \in [/mm] M=f([a,b]). Dann gibt es ein [mm] y\in [/mm] ... mit .... <==> [mm] f^{-1}(...)= [/mm] ...
Damit hast Du dann gezeigt, daß bei [mm] f^{-1} [/mm] wirklich jeder Punkt des Definitionsbereiches einen Funktionswert abbekommt
> > Zu 2. nimm an, daß es ein Element aus M gibt, welchem zwei
> > "Funktions"werte zugewiesen werden, und erzeuge einen
> > Widerspruch zu den Voraussetzungen.
> > Das Entscheidende, die Injektivität, hast Du ja schon
> > genannt.
>
> die annahme wäre ja schon ein widerspruch wenn man nach
> obigen überlegungen davon ausginge die funktion ist
> bijektiv?!
Zeig es doch jetzt mal nur mit der Injektivität.
Also:
angenommen, es wäre [mm] f^{-1}(x)=y_1 [/mm] und [mm] f^{-1}(x)=y_2.
[/mm]
Nun verwende die Def. von [mm] f^{-1} [/mm] und dann die injektivität.
>
> > Teil bitte mit, wie weit Deine Überlegungen gediehen
> > sind.
>
> bei der Stetigkeit weiß ich nicht inwiefern ich das Wissen
> zur Kompaktheit verwenden soll
Nun haben wir natürlich ein Problem: Du verrätst uns nicht, woraus Dein Wissen über Kompaktheit besteht...
Ich würde prinzipiell so vorgehen, daß ich annehme, daß die Umkehrfunktion nicht stetig ist, und dies zu einem Widerspruch führen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Mi 01.07.2009 | | Autor: | MaGGuZ |
Hallo,
> die Bijektivität liegt Dir ja sehr am Herzen.
ja das stimmt ^^
> Und vermutlich habt Ihr dann gehabt, daß bijektive
> Funktionen eine Umkehrfunktion haben, und wenn man weiß,
> daß es eine Umkehrfunktion gibt, ist diese natürlich
> wohldefiniert.
genau
> Aber aufgrund der Aufgabenstellung denke ich, daß man sich
> von Dir wünscht, daß Du diese Umkehrfunktion explizit
> definierst und ihre Wohldefiniertheit nachweist.
> Es geht hier ja auch ein bißchen darum, das
> Problembewußtsein zu schärfen...
ok
> Bei 1. liegst Du ja ganz richtig damit, daß
> M=f([a,b])ist:
>
> Sei x [mm]\in[/mm] M=f([a,b]). Dann gibt es ein [mm]y\in[/mm] ... mit ....
> <==> [mm]f^{-1}(...)=[/mm] ...
Sei x [mm]\in[/mm] M=f([a,b]). Dann gibt es ein [mm]y\in[/mm] [a,b] mit a,b ∈ R mit a $ [mm] \not= [/mm] $ b <==> [mm]f^{-1}(x)=[/mm] y
so ist das schon alles?
> Zeig es doch jetzt mal nur mit der Injektivität.
>
> Also:
>
> angenommen, es wäre [mm]f^{-1}(x)=y_1[/mm] und [mm]f^{-1}(x)=y_2.[/mm]
>
> Nun verwende die Def. von [mm]f^{-1}[/mm] und dann die
> injektivität.
angenommen, es wäre [mm]f^{-1}(x)=y_1[/mm] und [mm]f^{-1}(x)=y_2.[/mm] [mm] \gdw [/mm] f(y1)=x=f(y2) ... WIDERSPRUCH zur Injektvität!
> Nun haben wir natürlich ein Problem: Du verrätst uns
> nicht, woraus Dein Wissen über Kompaktheit besteht...
Also dass stetige Funktionen auf einem kompakten Intervall ein Minimum und ein Maximum und einen Häufungspunt haben?!
> Ich würde prinzipiell so vorgehen, daß ich annehme, daß
> die Umkehrfunktion nicht stetig ist, und dies zu einem
> Widerspruch führen.
also [mm] |f(x)-f(x0)|\ge\varepsilon [/mm] kann man damit was anfangen?
Gruß Markus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 Mi 01.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Zur stetigkeit:
Sei [mm] y_0 \in [/mm] f([a,b]) und [mm] (y_n) [/mm] eine Folge in f([a,b]) mit [mm] y_n \to y_0
[/mm]
Zu zeigen ist: [mm] f^{-1}(y_n) \to f^{-1}(y_0)
[/mm]
Setze [mm] x_n [/mm] = [mm] f^{-1}(y_n). [/mm] Dann ist [mm] (x_n) [/mm] eine Folge in [a,b].
Sei c ein Häufungswert von [mm] (x_n). [/mm] Zeige: c = [mm] f^{-1}(y_0)
[/mm]
Damit hat die beschränkte Folge [mm] (x_n) [/mm] genau einen Häufungswert , ist also konvergent
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Mi 01.07.2009 | | Autor: | MaGGuZ |
Hallo,
ersteinmal noch ein Dankeschön an dich Fred für deine ausdauernde Hilfe.
> Zur stetigkeit:
>
> Sei [mm]y_0 \in[/mm] f([a,b]) und [mm](y_n)[/mm] eine Folge in f([a,b]) mit
> [mm]y_n \to y_0[/mm]
>
> Zu zeigen ist: [mm]f^{-1}(y_n) \to f^{-1}(y_0)[/mm]
>
>
> Setze [mm]x_n[/mm] = [mm]f^{-1}(y_n).[/mm] Dann ist [mm](x_n)[/mm] eine Folge in
> [a,b].
>
> Sei c ein Häufungswert von [mm](x_n).[/mm] Zeige: c = [mm]f^{-1}(y_0)[/mm]
>
> Damit hat die beschränkte Folge [mm](x_n)[/mm] genau einen
> Häufungswert , ist also konvergent
>
> FRED
müsste man das xn an dieser stelle noch konkretisieren?
ist der teil zur wohldefiniertheit richtig?
Gruß Markus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:07 Do 02.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ersteinmal noch ein Dankeschön an dich Fred für deine
> ausdauernde Hilfe.
>
> > Zur stetigkeit:
> >
> > Sei [mm]y_0 \in[/mm] f([a,b]) und [mm](y_n)[/mm] eine Folge in f([a,b]) mit
> > [mm]y_n \to y_0[/mm]
> >
> > Zu zeigen ist: [mm]f^{-1}(y_n) \to f^{-1}(y_0)[/mm]
> >
> >
> > Setze [mm]x_n[/mm] = [mm]f^{-1}(y_n).[/mm] Dann ist [mm](x_n)[/mm] eine Folge in
> > [a,b].
> >
> > Sei c ein Häufungswert von [mm](x_n).[/mm] Zeige: c = [mm]f^{-1}(y_0)[/mm]
> >
> > Damit hat die beschränkte Folge [mm](x_n)[/mm] genau einen
> > Häufungswert , ist also konvergent
> >
> > FRED
>
>
> müsste man das xn an dieser stelle noch konkretisieren?
Was meinst Du damit ?
>
> ist der teil zur wohldefiniertheit richtig?
Sieht gut aus
FRED
>
> Gruß Markus
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:20 Do 02.07.2009 | | Autor: | MaGGuZ |
Hallo
> > > Zur stetigkeit:
> > >
> > > Sei [mm]y_0 \in[/mm] f([a,b]) und [mm](y_n)[/mm] eine Folge in f([a,b]) mit
> > > [mm]y_n \to y_0[/mm]
> > >
> > > Zu zeigen ist: [mm]f^{-1}(y_n) \to f^{-1}(y_0)[/mm]
> > >
> > >
> > > Setze [mm]x_n[/mm] = [mm]f^{-1}(y_n).[/mm] Dann ist [mm](x_n)[/mm] eine Folge in
> > > [a,b].
> > >
> > > Sei c ein Häufungswert von [mm](x_n).[/mm] Zeige: c = [mm]f^{-1}(y_0)[/mm]
> > >
> > > Damit hat die beschränkte Folge [mm](x_n)[/mm] genau einen
> > > Häufungswert , ist also konvergent
> > >
> > > FRED
> >
> >
> > müsste man das xn an dieser stelle noch konkretisieren?
>
>
> Was meinst Du damit ?
Ich habe den Beweis noch nicht ganz durchdrungen und bin mir nicht sicher wie da was zu zeigen ist, wäre der in der Form schon fertig?
> > ist der teil zur wohldefiniertheit richtig?
>
>
> Sieht gut aus
Juhu! das freut das Herz
Gruß Markus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:46 Do 02.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Das
Sei c ein Häufungswert von $ [mm] (x_n). [/mm] $ Zeige: c = $ [mm] f^{-1}(y_0) [/mm] $
mußt Du noch zeigen
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 Do 02.07.2009 | | Autor: | MaGGuZ |
Hallo,
> Sei c ein Häufungswert von [mm](x_n).[/mm] Zeige: c = [mm]f^{-1}(y_0)[/mm]
>
> mußt Du noch zeigen
Sei [mm] x_n [/mm] = [mm] f^{-1}(y_0) [/mm] eine Folge in [a,b] und [mm] x_n \to [/mm] c
so gilt: c = [mm] f^{-1}(y_0), [/mm] da [mm] f^{-1}(y_n) \to f^{-1}(y_0)
[/mm]
da fehlt bestimmt noch was?!
wäre dann damit auch die stetigkeit gezeigt?
Gruß Markus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Do 02.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Von vorne:
Zur stetigkeit:
Sei $ [mm] y_0 \in [/mm] $ f([a,b]) und $ [mm] (y_n) [/mm] $ eine Folge in f([a,b]) mit $ [mm] y_n \to y_0 [/mm] $
Zu zeigen ist: $ [mm] f^{-1}(y_n) \to f^{-1}(y_0) [/mm] $
Setze $ [mm] x_n [/mm] $ = $ [mm] f^{-1}(y_n). [/mm] $ Dann ist $ [mm] (x_n) [/mm] $ eine Folge in [a,b].
Sei c ein Häufungswert von [mm] (x_n). [/mm]
[mm] (x_n) [/mm] enthält also eine Teilfolge [mm] (x_{n_k}) [/mm] mit [mm] x_{n_k} \to [/mm] c. Da f stetig ist, folgt:
[mm] y_{n_k}= f(x_{n_k}) \to [/mm] f(c)
Wegen $ [mm] y_n \to y_0 [/mm] $, gilt dann: f(c) = [mm] y_0, [/mm] also c= [mm] f^{-1}(y_0)
[/mm]
Damit hat die beschränkte Folge $ [mm] (x_n) [/mm] $ genau einen Häufungswert , ist also konvergent gegen [mm] f^{-1}(y_0).
[/mm]
Fazit: $ [mm] f^{-1}(y_n) \to f^{-1}(y_0) [/mm] $
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:32 Do 02.07.2009 | | Autor: | MaGGuZ |
Ok, dann ein recht herzliches Dankeschön für die Hilfe!!!!
Gruß Markus
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