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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Do 05.05.2005 | | Autor: | Sanshine |
Und noch eine Frage:
Sei [m] f: \IR \to \IR [/m] stetig differenziebar. Es existiere ein [m] q<1[/m] so, dass für [m] t \in \IR[/m] gilt: [m] | f'(t) |\le q [/m].
Es sei [m]\phi: \IR^{2} \to \IR^{2} [/m] definiert durch [m] \phi(x,y):=(f(y),f(x))[/m]. Setze ferner [m]g:=id_{\IR^{2}}-\phi.[/m]
Zu diesen Voraussetzungen soll man verschiedenes zeigen, z.B. Bijektivität von g oder dass [m]\phi[/m] eine Kontraktion ist, d.h. dass es ein [m] k\in\IR_{<1} [/m] gibt, so dass f.a. [m]x,y \in \IR^{2}[/m] gilt: [m]d(\phi(x),\phi(y)) \le k*d(x,y) [/m]
Außerdem soll man noch die Jakobimatrix [mm] J_g(x,y) [/mm] bestimmen und ihre Invertiebarkeit beweisen und dann die Jakobimatrix von [mm] g^{-1} [/mm] berechnen.
Ich habe allerdings keine Ahnung, was ich jetzt genau machen soll, da ich z.B. gar nicht weiß, wie mir die Aussage über den Betrag der Ableitung da helfen soll oder überhaupt an die Kontraktion ran gehen soll.
Kann mir irgendjemand aus dieser Misere helfen???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:48 Do 05.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Was genau ist hier die Metrik $d$, d.h. welche Metrik ist gemeint?
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:05 Do 05.05.2005 | | Autor: | Sanshine |
Tja, das müsstest du meinen Professor fragen, darüber habe ich auch schon gegrübelt ;)
Darüber wurde nichts gesagt. Leider.
Irgendeine Norm-entsprechende? vielleicht die [mm] \parallel.\parallel_2 [/mm] -Norm???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:32 Do 05.05.2005 | | Autor: | merry568 |
Stichworte: Mittelwertsatz, Mittelwertungleichung (oder wie hieß das noch?), Neumannsche Reihe.
Alles Sachen, die oft sehr nützlich sind.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:35 Do 05.05.2005 | | Autor: | merry568 |
Tipp: Mit der Nerumannschen Reihe kann man sowohl [mm] $g^{-1}$ [/mm] berechnen, als auch die Existenz von [mm] $g^{-1}$ [/mm] zeigen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:23 Do 05.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Kannst du bitte noch einmal ganz genau die Aufgabenstellung kontrollieren und verbessern? Das macht so keinen Sinn.
> Es sei
> [m]\phi: \IR \to \IR[/m] definiert durch [m]\phi(x,y):=(f(y),f(x))[/m].
Sollte nicht [mm] $\phi:\IR^2 \to \IR^2$ [/mm] gelten???
Und muss bei der Kontraktion nicht [mm] "$\le$" [/mm] hin?
Soll $g$ wirklich bijektiv sein oder nur injektiv (bijektiv auf's Bild)? (Kann sein, dass es bijektiv ist, aber dann sehe ich es gerade nicht...)
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:32 Do 05.05.2005 | | Autor: | Sanshine |
Natürlich hast du recht, das tut mir leid, wird sofort verbessert. Sitze bloß schon etwas länger dran und die Zahlen verschwimmen schon vor meinen Augen ;)
Kümmer mich drum, danke für den Hinweis,
San
PS: Abeb bijektiv soll g wirklich sein. Aber die Injektivität hast du schon? Kommt man da mit Standartmethoden weiter und ich sehe nur den richtigen Schritt nicht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Do 05.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Sanshine!
Dann machen wir mal die Sachen, die klar sind:
$g$ ist injektiv, denn aus
$g(x,y) = g(x',y')$
folgt unmittelbar
$(x-x',y-y') = (f(y)-f(y'),f(x)-f(x'))$,
also im Falle $(x,y) [mm] \ne [/mm] (x',y')$, also [mm] $(x-x')^2+(y-y')^2>0$:
[/mm]
$(x-x') [mm] +(y-y')^2 [/mm] = [mm] (f(y)-f(y'))^2 [/mm] + (f(x) - [mm] f(x'))^2 \le \sup\limits_{t \in \IR}|f'(t)|^2 \cdot \left[ (y-y')^2 + (x-x')^2 \right] [/mm] < [mm] (x-y')^2 [/mm] + [mm] (x-x')^2$,
[/mm]
Widerspruch.
Weiterhin ist [mm] $\phi$ [/mm] eine Kontraktion, denn
[mm] $d((f(x_2),f(x_1)),((f(y_2),f(y_1))) [/mm] = [mm] \sqrt{(f(x_2)-f(y_2))^2 + (f(x_1)-f(y_1))^2} \le \sup\limits_{t \in \IR} [/mm] |f'(t)| [mm] \cdot \sqrt{(x_2-y_2)^2 + (x_1-y_1)^2} [/mm] = [mm] \sup\limits_{t \in \IR} [/mm] |f'(t)| [mm] \cdot d((x_1,x_2),(y_1,y_2))$.
[/mm]
Es gilt:
[mm] $J_g(x,y) [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & -f'(y) \\ -f'(x) & 1}$,
[/mm]
und wegen
[mm] $\det(J_g(x,y)) [/mm] = 1 - f'(x)f'(y) [mm] \ne [/mm] 0$
(denn $|f'(x) [mm] \cdot [/mm] f'(y)|<1$) ist [mm] $J_g(x,y)$ [/mm] invertierbar.
Weiterhin gilt:
[mm] $J_{g^{-1}}(g(x,y)) [/mm] = [mm] \left(J_g(x,y)\right)^{-1}$.
[/mm]
Was mir nur immer noch nicht klar ist (![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") , ich stehe wohl auf der Leitung) ist die Tatsache, dass $g$ surjektiv ist. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Do 05.05.2005 | | Autor: | Sanshine |
Vielen, vielen, vielen, vielen Dank!
So bin ich schon ein großes Stück weiter. Was mir allerdings noch nicht klar ist, ist die Abschätzung mit dem [mm] \sup_{t \in \IR}|f'(t)|. [/mm]
( [mm] \sup_{t \in \IR}|f'(t)|*\wurzel{(x-y)^{2} + (x'-y')^{2} } \ge \wurzel{ [f(x)-f(y)]^{2}+ [f(x')-f(y')]^{2} }, [/mm] bzw. das entsprechende bei der aufgabe zur injektivität)
Gibt es da einen Satz, denn ich schon wieder nicht mitbekommen habe, oder folgt das aus irgendetwas, was ich nicht sehe?
Außerdem wollte ich noch einmal nachfragen,... ich kann doch jetzt noch [mm] J_{g^-1} [/mm] ganz berechnen, oder? oder ist das, was du geschrieben hast, schon vollständig?
Vielen Dank noch einmal für die Hilfe, das Rätsel der Surjektivität wird wohl spätestens am Mittwoch für mich gelüftet werden,
San
Ach ja... um zu argumentieren, dass [mm] J_g [/mm] stets invertierbar ist, kann ich doch das Inverse ausrechnen (hat immer 1-f'(x)f'(y) im Nenner) und argumentieren, dass diese Werte (wegen f'(x)f'(y)<1) existierenn oder???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:37 Fr 06.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Sanshine!
> So bin ich schon ein großes Stück weiter. Was mir
> allerdings noch nicht klar ist, ist die Abschätzung mit dem
> [mm]\sup_{t \in \IR}|f'(t)|.[/mm]
> ( [mm]\sup_{t \in \IR}|f'(t)|*\wurzel{(x-y)^{2} + (x'-y')^{2} } \ge \wurzel{ [f(x)-f(y)]^{2}+ [f(x')-f(y')]^{2} },[/mm]
> bzw. das entsprechende bei der aufgabe zur injektivität)
> Gibt es da einen Satz, denn ich schon wieder nicht
> mitbekommen habe, oder folgt das aus irgendetwas, was ich
> nicht sehe?
Dies ist einfach der Mittelwertsatz der Differentialrechnung bzw. eine Folgerung daraus: der Schrankensatz:
Ist $f:I [mm] \to \IR$ [/mm] differenzierbar, so gibt es für $a,b [mm] \in [/mm] I$, $a<b$, ein $c [mm] \in [/mm] (a,b)$ mit
$|f(b) - f(a)| = |f'(c) [mm] \cdot [/mm] (b-a)| [mm] \le \sup\limits_{t \in I}|f'(t)| \cdot [/mm] |b-a|$.
Diesen Satz habe ich hier mehrfach angewendet.
> Außerdem wollte ich noch einmal nachfragen,... ich kann
> doch jetzt noch [mm]J_{g^-1}[/mm] ganz berechnen, oder? oder ist
> das, was du geschrieben hast, schon vollständig?
Nein, du kannst es noch explizit berechnen.
> Vielen Dank noch einmal für die Hilfe, das Rätsel der
> Surjektivität wird wohl spätestens am Mittwoch für mich
> gelüftet werden,
> San
> Ach ja... um zu argumentieren, dass [mm]J_g[/mm] stets invertierbar
> ist, kann ich doch das Inverse ausrechnen (hat immer
> 1-f'(x)f'(y) im Nenner) und argumentieren, dass diese Werte
> (wegen f'(x)f'(y)<1) existierenn oder???
Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn die Determinante nicht verschwindet. Das habe ich hier verwendet. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:22 Fr 06.05.2005 | | Autor: | Sanshine |
Grrr! Habe gerade den Zettel abgegeben und deine Antwort gesehen. Und das Brett vor dem Kopf ist auch verschwunden. *seufz* Aber lieber spät als gar nicht. Vielen Dank noch mal,
San
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Um zu zeigen, dass [mm] $J_g$ [/mm] invertierbar ist, reicht es völlig, zu zeigen dass [mm] $|J_f$\neq [/mm] 0$ gilt.
Um zu zeigen, dass [mm] $g^{-1}$ [/mm] existiert, kannst du die Neumannsche Reihe verwenden (vgl. Geometrische Reihe).
Sei [mm] $\Phi [/mm] : [mm] X\to [/mm] X$, $X$ Banachraum (=vollständiger Normierter Raum).
Gilt [mm] $\|\Phi\|<1$, [/mm] dann existiert [mm] $Id-\Phi$ [/mm] und die Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty \Phi^n$ [/mm] konvergiert in der Operatornorm gegen [mm] $Id-\Phi$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:49 Do 05.05.2005 | | Autor: | merry568 |
Tippfehler: In meinem letzten Post muss es $| [mm] \Phi [/mm] | [mm] \neq [/mm] 0$ heißen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Do 05.05.2005 | | Autor: | merry568 |
Tippfehler: Ich meinte $| [mm] J_g [/mm] | [mm] \neq [/mm] 0$.
Wie editiert man alte Posts?
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unten wieder bei den ziffern, wo du auch mitteilungen neue Fragen, etc schreiben kannst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:19 Fr 06.05.2005 | | Autor: | merry568 |
Der von mir erwähnte Satz über die Neumannsche Reihe gilt nur für stetige lineare Operatoren. Also z.B. für Matrizen, einige Integraloperatoren, einige Differentialoperatoren, usw...
Wenn ich das recht sehe, ist [mm] $\Phi$ [/mm] nur linear, wenn $f$ linear ist (oder?).
Aber dann könnte man immer noch den Banachschen Fixpunktsatz anwenden. Der besagt im Wesentlichen, dass eine Funktion [mm] $\Phi$ [/mm] einen Fixpunkt [mm] $x^*\in [/mm] D$ besitzt, wenn
a) [mm] $\Phi(x)\subset [/mm] D\ [mm] \forall x\in [/mm] D$.
b) und wenn [mm] $\Phi$ [/mm] eine Kontraktion ist.
Ein Fixpunkt von [mm] $\Phi$ [/mm] ist ein Punkt $x^*$, für den $f(x^*)=x^*$ gilt. Ein Fixpunkt von [mm] $\Phi$ [/mm] entspricht also einer Nullstelle von $g$.
Den Banachschen Fixpunktsatz kann man in jedem Analysisbuch nachlesen, falls ich etwas vergessen habe.
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