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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Mo 27.09.2010 | | Autor: | Scharii |
| Aufgabe | 2. Es sei
[mm] f(n)=\begin{cases} arctan(\bruch{1+x}{1-x}), & \mbox{für } x \not= 1 \\ 0, & \mbox{für } x = 1 \end{cases}
[/mm]
a) Bestimmen Sie f'(x) falls x [mm] \not= [/mm] 1.
b) Existiert [mm] \limes_{x\rightarrow 1}f'(x) [/mm] ?
c) Ist f(x) an der Stelle x = 1
differenzierbar? |
Hi,
Also Teil a) hab ich gemacht, kein Problem
Ergebnis:
[mm] \bruch{2}{(1+x)^{2}}
[/mm]
b) Ja, einfaches Einsetzen der 1:
[mm] \limes_{x\rightarrow 1} \bruch{2}{(1+x)^{2}}=\bruch{2}{4} =\bruch{1}{2}
[/mm]
Bei c) weiss ich grad aber nicht weiter (wie helfen mir da a) und b)?)
Ich habe ja
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(1+h)-f(1)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{arctan(\bruch{2+h}{h})-0}{h}
[/mm]
aber wie mache ich dann weiter?
Muss ich den arctan irgendwie auseinanderziehen oder wie?
Ich denke schon dass dass differenzierbar ist, dafür muss ich doch aber zeigen dass der letzte Grenzwert existiert.
Tut mir leid wenn ich grad etwas unverständlich schreibe, aber in 2 Tagen ist Prüfung und ich seh grad garnichtmehr durch.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Scharii,
> 2. Es sei
> [mm]f(n)=\begin{cases} arctan(\bruch{1+x}{1-x}), & \mbox{für } x \not= 1 \\
0, & \mbox{für } x = 1 \end{cases}[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie f'(x) falls x [mm]\not=[/mm] 1.
> b) Existiert [mm]\limes_{x\rightarrow 1}f'(x)[/mm] ?
> c) Ist f(x) an der Stelle x = 1
> differenzierbar?
> Hi,
> Also Teil a) hab ich gemacht, kein Problem
> Ergebnis:
> [mm]\bruch{2}{(1+x)^{2}}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es kommt raus [mm]\frac{1}{1+x^2}[/mm]
Es ist [mm] $[\arctan(z)]'=\frac{1}{1+x^2}$
[/mm]
Die 2 im Zähler kürzt sich nachher gegen eine 2, die du im Nenner erhältst, weg ...
Rechne nochmal nach und wenn du wiede auf was anderes kommst, dann rechne vor!
>
> b) Ja, einfaches Einsetzen der 1:
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1} \bruch{2}{(1+x)^{2}}=\bruch{2}{4} =\bruch{1}{2}[/mm]
Ich Blindfisch: das stimmt natürlich (was das Ergebnis angeht...). Ist aber eher zufällig ...
>
> Bei c) weiss ich grad aber nicht weiter (wie helfen mir da
> a) und b)?)
> Ich habe ja
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(1+h)-f(1)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{arctan(\bruch{2+h}{h})-0}{h}[/mm]
>
> aber wie mache ich dann weiter?
Hmm, ohne es genauer nachgerechnet zu haben meine spontane Idee:
Es gilt [mm]\frac{2+h}{h}\to \pm\infty[/mm] für [mm]h\to 0[/mm] (je nachdem, ob [mm]h>0[/mm] oder [mm]h<0[/mm] ist)
Damit wegen der Stetigkeit von [mm] $\arctan$[/mm] [mm]\artan[/mm]:
[mm] $\arctan\left(\frac{2+h}{h}\right)\to\pm\frac{\pi}{2}$
[/mm]
Und somit [mm] $\frac{\arctan\left(\frac{2+h}{h}\right)}{h}\to\infty$
[/mm]
>
> Muss ich den arctan irgendwie auseinanderziehen oder wie?
> Ich denke schon dass dass differenzierbar ist,
Ich denke, eher nicht
> dafür muss
> ich doch aber zeigen dass der letzte Grenzwert existiert.
Das müsstest du, ich denke aber, er existiert nicht ...
> Tut mir leid wenn ich grad etwas unverständlich schreibe,
> aber in 2 Tagen ist Prüfung und ich seh grad garnichtmehr
> durch.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:54 Mo 27.09.2010 | | Autor: | Scharii |
Ok, ich hab nochmal nachgerechnet und komme jetzt auch auf dein Ergebnis.
Dass der Grenzwert dann gestimmt hat ist wohl wirklich Zufall, ich hab aber gerade deswegen nicht nochmal gerechnet.
Das mit der Stetigkeit muss ich dann nochmal anschauen, ich weiss wirklich gerade nicht wie ich damit argumentieren kann/soll.
Auf jeden Fall danke schön für die schnelle Antwort und noch nen schönen Abend.
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