Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:16 Mi 26.01.2011 | | Autor: | Shoegirl |
| Aufgabe | Es sei [mm] f(x)=\begin{cases} exp(-(x-1)^2+\wurzel{x^2 +3}, & \mbox{für } x \mbox{ <1} \\ ax+b, & \mbox{für } x \mbox{ >1} \end{cases}
[/mm]
Bestimmen Sie a,b €R derart, dass die Funktion f für x€R differenzierbar ist. |
Also ich habe rausgesucht, um zu gucken ob eine Funktion differenzierbar ist, überprüft man zuerst auf Stetigkeit.
f1(x)= lim f2(x)
[mm] exp(-(1-1)^2) [/mm] + [mm] \wurzel{1^2 +3} [/mm] = a*1+b
1 weil ja bei der 1. Funktion gesagt wird, das das Limit bei kleiner 1 ist.
exp(0)+2= a+b
1+2= a+b
3=a+b
Jetzt kann ich auf Differenzierbarkeit überprüfen:
f´(x)= f2´(x)
f2´(x)= a*1 =a
f1´(x)= exp [mm] (-(1-1)^2)+((1)/(2 \wurzel{1^2 +3} [/mm] )
f1´(x)= 1+ ((1)/ [mm] \wurzel{2*2} [/mm] ) = 1+ (1/4)= 1,25
Das wäre dann ja a. Stimmt das? Ich bin mir bei Ableitungen sehr unsicher und mache da leider noch oft Fehler...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 Mi 26.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]f(x)=\begin{cases} exp(-(x-1)^2+\wurzel{x^2 +3}, & \mbox{für } x \mbox{ <1} \\ ax+b, & \mbox{für } x \mbox{ >1} \end{cases}[/mm]
>
> Bestimmen Sie a,b €R derart, dass die Funktion f für
> x€R differenzierbar ist.
> Also ich habe rausgesucht, um zu gucken ob eine Funktion
> differenzierbar ist, überprüft man zuerst auf
> Stetigkeit.
>
> f1(x)= lim f2(x)
> [mm]exp(-(1-1)^2)[/mm] + [mm]\wurzel{1^2 +3}[/mm] = a*1+b
> 1 weil ja bei der 1. Funktion gesagt wird, das das Limit
> bei kleiner 1 ist.
Was ist los ?
>
> exp(0)+2= a+b
> 1+2= a+b
> 3=a+b
O.K.
>
> Jetzt kann ich auf Differenzierbarkeit überprüfen:
> f´(x)= f2´(x)
in x= 1 !!!
> f2´(x)= a*1 =a
> f1´(x)= exp [mm](-(1-1)^2)+((1)/(2 \wurzel{1^2 +3}[/mm] )
Na, na !
Schreib mal die Ableitung dieser Funktion ordentlich hin und setze dann x=1.
Obiges scheint nicht zu stimmen.
FRED
> f1´(x)= 1+ ((1)/ [mm]\wurzel{2*2}[/mm] ) = 1+ (1/4)= 1,25
>
> Das wäre dann ja a. Stimmt das? Ich bin mir bei
> Ableitungen sehr unsicher und mache da leider noch oft
> Fehler...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Mi 26.01.2011 | | Autor: | Shoegirl |
| Aufgabe | Es sei [mm] f(x)=\begin{cases} exp(-(x-1)^2+\wurzel{x^2 +3}, & \mbox{für } x \mbox{ <1} \\ ax+b, & \mbox{für } x \mbox{ >1} \end{cases}
[/mm]
Bestimmen Sie a,b €R derart, dass die Funktion f für x€R differenzierbar ist. |
Hmm also die Ableitungen ohne einsetzen des x=1 habe ich so:
f1´(x)= [mm] exp(-(x-1)^2)... [/mm] das wäre der erste Teil. Soweit ich weiß, rührt man die Exponentialwerte bei der Ableitung nicht an. Das heißt alles was zu dem Exponential gehört, bleibt wie es ist.
So nun der zweite Teil: Hier haben wir eine Wurzel und die leitet man so wie ich das kenne, folgendermaßen ab: [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{x^2 + 3}}
[/mm]
Zusammen hätte man dann also für f1´(x)= [mm] exp(-(x-1)^2 [/mm] )+ [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{x^2 + 3}}
[/mm]
und f2´(x)= a
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Hallo Shoegirl!
Du hast jeweils bei beiden Termen die innere Ableitung gemäß  Kettenregel vergessen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Mi 26.01.2011 | | Autor: | Shoegirl |
| Aufgabe 1 | | Aufgabe 2 | Es sei [mm] f(x)=\begin{cases} exp(-(x-1)^2+\wurzel{x^2 +3}, & \mbox{für } x \mbox{ <1} \\ ax+b, & \mbox{für } x \mbox{ >1} \end{cases}
[/mm]
Bestimmen Sie a,b €R derart, dass die Funktion f für x€R differenzierbar ist. |
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Okay... Ich habe es nochmal versucht:
Also f2´(x)=a hatten wir ja bereits.
Nun zu f1´(x)
Ich habe es in 2 Schritte geteilt. Also zuerst den Exponentailteil und dann den Wurzelteil.
Also exp ist auch abgleitet exp. Innen haben wir [mm] (-(x-1)^2). [/mm] Das habe ich erstmal vereinfacht zu: [mm] -x^2+1. [/mm] Das abgeleitet ergibt dann -2x.
Der erste Teil zusammengesetzt lautet dann also:
f1´(x)= [mm] exp(-(-x-1)^2)*(-2x)
[/mm]
= [mm] exp(-x^2+1)*(-2x)
[/mm]
f1´(1)= [mm] exp(-1^2+1)*(-2*1)
[/mm]
= exp(2)*(-2)= -14,7781
So jetzt fehlt noch die Ableitung des zweiten Teils:
Wir haben die Wurzel. Diese ist abgeleitet 0,5x^-0,5 und der innere Teil: [mm] x^2 [/mm] +3 ist abgeleitet = 2x
Jetzt fügt man das ganze wieder zusammen:
f1´(x)= [mm] 0,5*x^2 [/mm] + 3^-0,5 * 2x
f1´(1)= [mm] 0,5*1^2 [/mm] + 3^-0,5 *2*1
Nun füge ich das Ergebnis der ersten Teiles ein:
-14,7781+0,5*0,577*2= -14,2011
Ich schätze mal da ist was falsch. Da müsste nämlich was positives rauskommen. Aber ich bin es mehrmals durchgegangen und weiß nicht was noch falsch sein könnte...
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Hallo Shoegirl,
> Es sei [mm]f(x)=\begin{cases} exp(-(x-1)^2+\wurzel{x^2 +3}, & \mbox{für } x \mbox{ <1} \\ ax+b, & \mbox{für } x \mbox{ >1} \end{cases}[/mm]
>
> Bestimmen Sie a,b €R derart, dass die Funktion f für
> x€R differenzierbar ist.
> Okay... Ich habe es nochmal versucht:
>
> Also f2´(x)=a hatten wir ja bereits.
>
> Nun zu f1´(x)
>
> Ich habe es in 2 Schritte geteilt. Also zuerst den
> Exponentailteil und dann den Wurzelteil.
>
> Also exp ist auch abgleitet exp. Innen haben wir
> [mm](-(x-1)^2).[/mm] Das habe ich erstmal vereinfacht zu: [mm]-x^2+1.[/mm]
Das kannst Du so nicht machen.
[mm](-(x-1)^2) \not=-x^{2}+1[/mm]
> Das abgeleitet ergibt dann -2x.
>
> Der erste Teil zusammengesetzt lautet dann also:
> f1´(x)= [mm]exp(-(-x-1)^2)*(-2x)[/mm]
> = [mm]exp(-x^2+1)*(-2x)[/mm]
> f1´(1)= [mm]exp(-1^2+1)*(-2*1)[/mm]
> = exp(2)*(-2)= -14,7781
>
> So jetzt fehlt noch die Ableitung des zweiten Teils:
>
> Wir haben die Wurzel. Diese ist abgeleitet 0,5x^-0,5 und
> der innere Teil: [mm]x^2[/mm] +3 ist abgeleitet = 2x
>
> Jetzt fügt man das ganze wieder zusammen:
> f1´(x)= [mm]0,5*x^2[/mm] + 3^-0,5 * 2x
Setze hier Klammern:
[mm]0,5*\left\blue{(}x^{2}+3\right\blue{)}^{-0,5}*2x[/mm]
> f1´(1)= [mm]0,5*1^2[/mm] + 3^-0,5 *2*1
>
> Nun füge ich das Ergebnis der ersten Teiles ein:
>
> -14,7781+0,5*0,577*2= -14,2011
>
> Ich schätze mal da ist was falsch. Da müsste nämlich was
> positives rauskommen. Aber ich bin es mehrmals
> durchgegangen und weiß nicht was noch falsch sein
> könnte...
>
Siehe oben.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Mi 26.01.2011 | | Autor: | Shoegirl |
| Aufgabe 1 | | Aufgabe 2 | Es sei [mm] f(x)=\begin{cases} exp(-(x-1)^2+\wurzel{x^2 +3}, & \mbox{für } x \mbox{ <1} \\ ax+b, & \mbox{für } x \mbox{ >1} \end{cases}
[/mm]
Bestimmen Sie a,b €R derart, dass die Funktion f für x€R differenzierbar ist. |
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> Also exp ist auch abgleitet exp. Innen haben wir
> $ [mm] (-(x-1)^2). [/mm] $ Das habe ich erstmal vereinfacht zu: $ [mm] -x^2+1. [/mm] $
Das kannst Du so nicht machen.
$ [mm] (-(x-1)^2) \not=-x^{2}+1 [/mm] $
Wieso kann ich das so nicht machen? Ich muss doch alles innerhalb der Klammer zum Quadrat nehmen... Ach moment, dass Minus vor der Klammer ist dann aber wie alles mal minus 1...Das heißt alle Vorzeichen würden sich umdrehen... Nimmt man dann zuerst das Quadrat oder das *(-1)? Was hat denn Vorrang?
Denke mal das Quadrat kommt zuerst, also hat man dann [mm] -(x^2+1) [/mm] und komplett aufgelöst wäre es dann: [mm] -x^2 [/mm] -1 und die Ableitung dann -2x oder?
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Hallo Shoegirl,
> Es sei [mm]f(x)=\begin{cases} exp(-(x-1)^2+\wurzel{x^2 +3}, & \mbox{für } x \mbox{ <1} \\ ax+b, & \mbox{für } x \mbox{ >1} \end{cases}[/mm]
>
> Bestimmen Sie a,b €R derart, dass die Funktion f für
> x€R differenzierbar ist.
> > Also exp ist auch abgleitet exp. Innen haben wir
> > [mm](-(x-1)^2).[/mm] Das habe ich erstmal vereinfacht zu:
> [mm]-x^2+1.[/mm]
>
>
> Das kannst Du so nicht machen.
>
> [mm](-(x-1)^2) \not=-x^{2}+1[/mm]
>
> Wieso kann ich das so nicht machen? Ich muss doch alles
Das Quadrat einer Summe (hier: [mm]\left(x-1\right)^{2}[/mm]) ist nicht die
Summe der Quadrate der einzelnen Summanden (hier: [mm]x^{2}+1[/mm])
Siehe hierzu: binomische Formel
> innerhalb der Klammer zum Quadrat nehmen... Ach moment,
> dass Minus vor der Klammer ist dann aber wie alles mal
> minus 1...Das heißt alle Vorzeichen würden sich
> umdrehen... Nimmt man dann zuerst das Quadrat oder das
> *(-1)? Was hat denn Vorrang?
> Denke mal das Quadrat kommt zuerst, also hat man dann
> [mm]-(x^2+1)[/mm] und komplett aufgelöst wäre es dann: [mm]-x^2[/mm] -1 und
> die Ableitung dann -2x oder?
Gruss
MathePower
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