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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:05 Do 17.02.2011 | | Autor: | Sprudel |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Funktion
f : [mm] \IR \to \IR
[/mm]
x [mm] \to [/mm] tanh x := [mm] \bruch{sinh x}{cosh x}
[/mm]
eine differenzierbare Umkehrfunktion besitzt. Betsimmen Sie den maximalen Definitionsbereich und die Ableitung der Umkehrfunktion. Vereinfachen Sie die Darstellung der Ableitung. |
Hallo leute,
ich übe gerade ein wenig für Analysis und bin in einem Buch auf diese Aufgabe gestoßen, ich weiss nicht wie ich hier vorgehen soll oder was ich genau machen muss.
Könnt ihr mir bitte einen Tipp geben.
Vielen Dank schon mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:22 Fr 18.02.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Umkehrfunktion bilden:
Im Prinzip vertauscht du ja nur die Rolle von x und y in einem kartesischen Koordinatensystem.
-Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion entspricht dem Wertebereich der Funktion. Und der Wertebereich der Umkehrfunktion entspricht dem Definitionsbereich der Funktion. Die Funktion tanh(x) ist stetig und für alle x definiert.
-Für die Ableitung der Umkehrfunktion gibt es die schöne Umkehrregel:
[mm] (f^{-1}')(y) [/mm] = [mm] \bruch{1}{f'(f^{-1}(y))} [/mm] = [mm] \bruch{1}{f'(x)}
[/mm]
Gruss
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