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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:48 Do 23.06.2005 | | Autor: | bobby |
Hallo!
Ich weis nicht, wie ich die folgende Aufgabe beweisen soll:
Sei [mm] U\in\IR^{n} [/mm] offen und konvex sowie [mm] g,f:U\to\IR^{m} [/mm] differenzierbar mit Dg=Df auf U. Beweisen Sie, dass dann f-g=const. auf U gilt.
Eigentlich wäre das ja ganz simpel, aber für mich ist das irgendwie kein richtiger Beweis:
Es gilt Dg=Df. Daraus folgt Df-Dg=0. Ja und aus der Differenzierbarkeit folgt ja dann einfach, dass f-g=const.
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Hallo bobby!
> Ich weis nicht, wie ich die folgende Aufgabe beweisen
> soll:
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> Sei [mm]U\in\IR^{n}[/mm] offen und konvex sowie [mm]g,f:U\to\IR^{m}[/mm]
> differenzierbar mit Dg=Df auf U. Beweisen Sie, dass dann
> f-g=const. auf U gilt.
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> Eigentlich wäre das ja ganz simpel, aber für mich ist das
> irgendwie kein richtiger Beweis:
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> Es gilt Dg=Df. Daraus folgt Df-Dg=0. Ja und aus der
> Differenzierbarkeit folgt ja dann einfach, dass f-g=const.
Ich glaube, es ist wirklich nicht so schwierig, jedenfalls wüsste ich nicht, wo der Fehler liegen würde, vielleicht kann man es ja so als Widerspruchsbeweis aufschreiben:
Annahme: [mm] f-g\not=const.
[/mm]
Daraus folgt, dass die Ableitung nicht 0 ist, also:
[mm] \Rightarrow D(f-g)\not=0
[/mm]
[mm] \gdw Df-Dg\not=0
[/mm]
[mm] \gdw Df\not=Dg \to [/mm] Widerspruch
Aber keine Garantie. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Grüße!
> Es gilt Dg=Df. Daraus folgt Df-Dg=0. Ja und aus der
> Differenzierbarkeit folgt ja dann einfach, dass f-g=const.
Ja, das soll bewiesen werden! Im Fall der reellen Zahlen ist das klar, aber im mehrdimensionalen eben a priori nicht.
Und irgendwo muss ja noch eingehen, dass $U$ konvex ist. Wenn das nicht so ist, ist der Satz im Allgemeinen auch falsch, z.B. wenn $U$ nicht zusammenhängend ist - dann kann $f$ auf dem einen Gebiet als konstant 1 und auf dem anderen als konstant 2 definiert werden...
Formal brauchst Du den Mittelwertsatz im Mehrdimensionalen entlang Streckenabschnitten. Da $U$ konvex ist, kann man je zwei Punkte aus $U$ durch eine Strecke verbinden, die ganz in $U$ liegt. Für die Einschränkung von $f$ auf diese Kurve gilt ein Analogon zum Mittelwertsatz und die liefert das Gewünschte.
Also ganz sooo leicht ist es eben nicht...
Lars
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