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| Aufgabe | Sei [mm] g:[0,\infty]\to\IR. [/mm] Die Funktion [mm] f:\IR^m\to\IR [/mm] sei definiert durch
[mm] f(x)=g(\vert x\vert) [/mm] für [mm] x\in\IR^m
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass f genau dann im [mm] \IR^m [/mm] differenzierbar ist, wenn g in [mm] (0,\infty) [/mm] differenzierbar ist und in 0 die rechtsseitige Ableitung g’(0+)=0 hat. |
Hallo,
hier liegt ja eine zu zeigende Äquivalenz vor, also gibt es zwei Richtungen zu zeigen.
Ich versuche mal mit der [mm] „\Rightarrow“ [/mm] anzufangen:
Die Voraussetzung ist also, dass [mm] f(x)=g(\vert x\vert) [/mm] differenzierbar ist und es ist daraus zu folgern, dass dann g in [mm] (0,\infty) [/mm] differenzierbar ist und in 0 die rechtsseitige Ableitung g’(0+)=0 besitzt.
Ansetzen würde ich zunächst mit der Definition der Differenzierbarkeit: f ist differenzierbar, wenn es eine Matrix A [mm] \in\IR{m \times n}gibt, [/mm] sodass man für x nahe [mm] x_0 [/mm] die Funktion f approximieren kann durch:
[mm] f(x)=f(x_0)+A(x-x_0)+R(x,x_0)
[/mm]
jetzt kann ich doch die Funktion explizit einsetzen:
[mm] \Rightarrow g(\vert x\vert)=g(\vert x_0\vert)+A(x-x_0)+R(x,x_0)
[/mm]
Aber die Jacobi Matrix ist ja noch diejenige, welche die Ableitung von f beschreibt, oder? D.h. eig. bin ich damit noch nicht so richtig weiter gekommen.
Ist das überhaupt ein brauchbarer Ansatz so und wenn ja, wie muss ich weiter machen?
Wäre dankbar für Hilfe!
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Fr 06.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
was ist denn etwa die ableitung [mm] f_{x_i}((x)
[/mm]
die kannst du doch nach kettenregel berechnen?
wenn dus nicht kannst nimm etwa als Beispiel [mm] g(x)=x^4 [/mm] oder [mm] x^3
[/mm]
das erfüllt die Bedingungen, dann verallgemeinern.
gruss leduart
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