Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Sa 23.06.2012 | | Autor: | Ganz |
Hallo ich muss folgende Aufgabe lösen:
Bestimme alle Punkte (x,y) [mm] \in \IR^{2}, [/mm] in denen die Funktion [mm] f:\IR^{2}->\IR
[/mm]
diferenzierbar ist
i) [mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^{3}}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}} & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \\ 0,& \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases} [/mm]
Also ich habe erst mal nach x abgeleitet : [mm] \bruch{\partial*f}{\partial*x}= \bruch{2x^{4}+3x^{2}y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}} [/mm] dann nach y: [mm] \bruch{\partial*f}{\partial*y}= \bruch{-x^{3}y}{(x^2+y^2)^{3/2}}
[/mm]
[mm] \bruch{\partialf}{\partialx}
[/mm]
es gilt noch [mm] \bruch{\partial*f}{\partial*x} (0,0)=\limes_{h\rightarrow\0}
[/mm]
[mm] \bruch{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=0 [/mm]
[mm] \bruch{\partial*f}{\partial*y} (0,0)=\limes_{h\rightarrow\0}
[/mm]
[mm] \bruch{f(0,0+h)-f(0,0)}{h}=0
[/mm]
Mein problem ist dass ich nicht wirklich weiß warum ich das gemacht habe und was mir das jetzt sagt und wie ich jetzt weiter machen soll.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen
Gruß
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Sa 23.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
in (0,0) ist ja die obere fkt nicht definiert,(Nenner 0)
deshalb ist sie durch f(0)=0 ergänzt. bevor man differenzierbarkeit probiiert sollte man erst fesstellen ob die fkt in 0 stetig ist. ( diese ist es)
aber du musst doch wegen der def. in 0 die Ableitung einzeln bestimmen und ob sie dort a) existiert und b stetig ist.
für alle anderen Punkte ist die fkt trivialerweise differnzierbar als Komposition differezierbare fkten.
damit f differenzierbar in x=0 ist müssen die partiellen ableitungen a) existieren und b stetig sein. das solltest du mit dem lim zeigen.
also fehlt noch die Stetigkeit der 2 partiellen Ableitungen.
und bei dem lm davor solltest du das explizit hinsc hreiben und nicht nur behaupten.
gruss leduart
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Sa 23.06.2012 | | Autor: | Ganz |
Hallo, danke.
Stetogkeit kann ich ja mit den Polarkoordinaten zeigen. Das schaffe ich glaube ich schon, wenn nicht melde ich mich später noch mal. Eine Frage hätte ich noch. Ist das dann unnötig:
[mm] \bruch{\partial\cdot{}f}{\partial\cdot{}x} (0,0)=\limes_{h\rightarrow\0}\bruch{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=0
[/mm]
[mm] \bruch{\partial\cdot{}f}{\partial\cdot{}y} (0,0)=\limes_{h\rightarrow\0}\bruch{f(0,0+h)-f(0,0)}{h}=0
[/mm]
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:46 Sa 23.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein das ist nötig, sonst hast du doch [mm] f_x [/mm] und [mm] f_y [/mm] in (0,0) gar nicht. und dabei solltest du genau das auch ausführen und nicht einfach hinschreiben!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:49 Sa 23.06.2012 | | Autor: | Ganz |
Ok, dann mache ich dass später auch noch mal ausführlicher. Was wäre denn wenn da nicht 0 rauskommen würde oder bei einem 0 und bei dem anderen was anderes? Kann ich dann schon etwas über die Differenzierbarkeit sagen?
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 Sa 23.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
nicht wenn die part. Ableitungen trotzdem beide stetig sind.
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:47 So 24.06.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Ganz,
> Ok, dann mache ich dass später auch noch mal
> ausführlicher. Was wäre denn wenn da nicht 0 rauskommen
> würde oder bei einem 0 und bei dem anderen was anderes?
> Kann ich dann schon etwas über die Differenzierbarkeit
> sagen?
>
Wenn die partiellen Ableitungen in einer Umgebung von $(0,0)$ existieren und stetig in $(0,0)$ sind, ist die Funktion dort differenzierbar.
Wenn die partiellen Ableitungen nicht in $(0,0)$ stetig sind, kann man nichts über die Differenzierbarkeit in $(0,0)$ aussagen.
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:18 Sa 23.06.2012 | | Autor: | Lustique |
Hallo Leduart,
> damit f differenzierbar in x=0 ist müssen die partiellen
> ableitungen a) existieren und b stetig sein. das solltest
ist doch "nur" hinreichend, aber nicht notwendig, oder? Ich meine ich hätte schon mal mit einer Funktion zu tun gehabt, die in einem Punkt zwar differenzierbar, aber nicht stetig (!) partiell differenzierbar war. Ich denke mal, das wird für die Funktion hier sowieso irrelevant sein, aber ich wollte diesbezüglich einfach nochmal nachfragen. 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:42 So 24.06.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Lustique,
Du hast völlig recht! Aus der totalen Differenziebarkeit folgt nicht, daß die partiellen Ableitungen stetig sind.
Bei auf [mm] $\IR$ [/mm] definierten Funktionen ist partielle und totale Differenzierbarkeit ja dasselbe, und wir alle kennen Funktionen, die differenzierbar aber nicht stetig differenzierbar sind. (z. B. setze $f(x) = [mm] x^2 \sin\frac [/mm] 1 x$ für [mm] $x\ne [/mm] 0$ und $f(0)=0$. Dann ist $f$ überall differenzierbar aber $f'$ ist in $0$ nicht stetig.)
Grüße,
Wolfgang
Grüße,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:08 So 24.06.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Morgen alle zusammen,
das hat Leduart ja auch nicht gesagt.
Er sagte ja:
Existieren die partiellen Ableitungen von und sind diese stetig, dann ist f diffbar.
Die Umkehrung des Satzes gilt jedoch nicht, davon bist du dann ja ausgegangen.
Ich weiß nun nicht, ob es bei dir allgemein um die Umkehrung ging, oder ob du Leduart falsch verstanden hast. Daher noch einmal meine Mitteilung.
Schönen Sonntag!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:17 So 24.06.2012 | | Autor: | fred97 |
Leduart hat geschrieben:
"damit f differenzierbar in x=0 ist müssen die partiellen ableitungen a) existieren und b) stetig sein."
Es geht um das Wort "müssen".
Wolfgang hat ein Beispiel einer differenzierbaren Funktion genannt, deren Ableitung in 0 nicht stetig ist !
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:23 So 24.06.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Guten Morgen Fred,
aha, wegen dem "müssen". Soso, gut. Interpretationsschwierigkeiten meinerseits.
Danke für die Mitteilung,
Schönen Sonntag dir!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:24 So 24.06.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Ganz,
> Hallo ich muss folgende Aufgabe lösen:
> Bestimme alle Punkte (x,y) [mm]\in \IR^{2},[/mm] in denen die
> Funktion [mm]f:\IR^{2}->\IR[/mm]
> diferenzierbar ist
> i) [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^{3}}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}} & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \\ 0,& \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases}[/mm]
> Also ich habe erst mal nach x abgeleitet :
> [mm]\bruch{\partial*f}{\partial*x}= \bruch{2x^{4}+3x^{2}y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}[/mm]
> dann nach y: [mm]\bruch{\partial*f}{\partial*y}= \bruch{-x^{3}y}{(x^2+y^2)^{3/2}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partialf}{\partialx}[/mm]
> es gilt noch [mm]\bruch{\partial*f}{\partial*x} (0,0)=\limes_{h\rightarrow\0}[/mm]
>
> [mm]\bruch{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=0[/mm]
> [mm]\bruch{\partial*f}{\partial*y} (0,0)=\limes_{h\rightarrow\0}[/mm]
>
> [mm]\bruch{f(0,0+h)-f(0,0)}{h}=0[/mm]
> Mein problem ist dass ich nicht wirklich weiß warum ich
> das gemacht habe und was mir das jetzt sagt und wie ich
> jetzt weiter machen soll.
Ich weiß auch nicht, warum Du das gemacht hast. Ich weiß nur, daß die Funktion in $(0,0)$ nicht differenzierbar ist. Um dies zu zeigen, helfen die partiellen Ableitungen nicht so viel.
Korrektur: Hier habe ich mich geirrt. Die Funktion ist tatsächlich auch in $(0,0)$ differenzierbar, wie mich FRED überzeugt hat.
Selbst wenn sie überall existieren und in $(0,0)$ nicht stetig sind, könnte $f$ in $(0,0)$ immer noch differenzierbar sein.
Mit dem Differenzierbarkeitskriterium
a) die partiellen Ableitungen existieren
und
b) die partiellen Ableitungen sind stetig
kann man nur die Differenzierbarkeit nachweisen. Die Umkehrung gilt nicht.
Soviel zur Differenzierbarkeit in $(0,0)$. Für die anderen Punkte, also [mm] $(x,y)\ne [/mm] (0,0)$ kannst Du aber sehr wohl dieses Kriterium anwenden. Hierzu zeigst Du, daß die partiellen Ableitungen in $(x,y)$ existieren und dort stetig sind.
Grüße,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:52 So 24.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Ganz,
>
> > Hallo ich muss folgende Aufgabe lösen:
> > Bestimme alle Punkte (x,y) [mm]\in \IR^{2},[/mm] in denen die
> > Funktion [mm]f:\IR^{2}->\IR[/mm]
> > diferenzierbar ist
> > i) [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^{3}}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}} & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \\ 0,& \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases}[/mm]
> > Also ich habe erst mal nach x abgeleitet :
> > [mm]\bruch{\partial*f}{\partial*x}= \bruch{2x^{4}+3x^{2}y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}[/mm]
> > dann nach y: [mm]\bruch{\partial*f}{\partial*y}= \bruch{-x^{3}y}{(x^2+y^2)^{3/2}}[/mm]
>
> >
> > [mm]\bruch{\partialf}{\partialx}[/mm]
> > es gilt noch [mm]\bruch{\partial*f}{\partial*x} (0,0)=\limes_{h\rightarrow\0}[/mm]
>
> >
> > [mm]\bruch{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=0[/mm]
> > [mm]\bruch{\partial*f}{\partial*y} (0,0)=\limes_{h\rightarrow\0}[/mm]
>
> >
> > [mm]\bruch{f(0,0+h)-f(0,0)}{h}=0[/mm]
> > Mein problem ist dass ich nicht wirklich weiß warum
> ich
> > das gemacht habe und was mir das jetzt sagt und wie ich
> > jetzt weiter machen soll.
>
> Ich weiß auch nicht, warum Du das gemacht hast. Ich weiß
> nur, daß die Funktion in [mm](0,0)[/mm] nicht differenzierbar ist.
Hallo Wolfgang,
doch f ist in (0,0) differenzierbar.
https://matheraum.de/read?i=899167
FRED
> Um dies zu zeigen, helfen die partiellen Ableitungen nicht
> so viel.
>
> Selbst wenn sie überall existieren und in [mm](0,0)[/mm] nicht
> stetig sind, könnte [mm]f[/mm] in [mm](0,0)[/mm] immer noch differenzierbar
> sein.
>
> Mit dem Differenzierbarkeitskriterium
>
> a) die partiellen Ableitungen existieren
>
> und
>
> b) die partiellen Ableitungen sind stetig
>
> kann man nur die Differenzierbarkeit nachweisen. Die
> Umkehrung gilt nicht.
>
> Soviel zur Differenzierbarkeit in [mm](0,0)[/mm]. Für die anderen
> Punkte, also [mm](x,y)\ne (0,0)[/mm] kannst Du aber sehr wohl dieses
> Kriterium anwenden. Hierzu zeigst Du, daß die partiellen
> Ableitungen in [mm](x,y)[/mm] existieren und dort stetig sind.
>
> Grüße,
> Wolfgang
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:28 So 24.06.2012 | | Autor: | Helbig |
>
> doch f ist in (0,0) differenzierbar.
>
> https://matheraum.de/read?i=899167
>
> FRED
Natürlich! Ich hatte auf die Schnelle [mm] $\infty$ [/mm] mit $0$ verwechselt. Das sollte man nicht!
Danke,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:50 So 24.06.2012 | | Autor: | fred97 |
1.Die partiellen Ableitungen sind auf [mm] \IR^2 [/mm] \ { (0,0) } vorhanden und stetig. Damit ist f auf [mm] \IR^2 [/mm] \ { (0,0) } differenzierbar.
2. Für die Differenzierbarkeit in (0,0) ist zu prüfen, ob der Grenzwert
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\bruch{f(x,y)-f(0,0)-gradf(0,0)*(x,y)}{||(x,y)||}
[/mm]
existiert und =0 ist. Untersuche also, ob der Grenzwert
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\bruch{x^3}{x^2+y^2}
[/mm]
existiert und =0 ist.
Ist das der Fall, so ist f in (0,0) diffbar, anderenfalls nicht.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 So 24.06.2012 | | Autor: | Ganz |
Hallo, danke für die vielen Antworten.
>
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\bruch{f(x,y)-f(0,0)-gradf(0,0)*(x,y)}{||(x,y)||}[/mm]
>
> existiert und =0 ist. Untersuche also, ob der Grenzwert
>
>
>
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\bruch{x^3}{x^2+y^2}[/mm]
>
Wie kommt man von der ersten Formel zu der zweiten? was setzt du z.b. für(x,y) ein? Und für die Norm von (x,y)? und für den grad von f? Mir geht das ein bisschen schnell.
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 So 24.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hallo, danke für die vielen Antworten.
>
>
> >
> > [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\bruch{f(x,y)-f(0,0)-gradf(0,0)*(x,y)}{||(x,y)||}[/mm]
>
> >
> > existiert und =0 ist. Untersuche also, ob der Grenzwert
> >
> >
> >
> > [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\bruch{x^3}{x^2+y^2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> >
> Wie kommt man von der ersten Formel zu der zweiten? was
> setzt du z.b. für(x,y) ein? Und für die Norm von (x,y)?
> und für den grad von f? Mir geht das ein bisschen
> schnell.
$\mathrm{grad}\, f(0,0)$ ist der Gradient von $f$ an der Stelle $(0,0)$, also ein Vektor mit den partiellen Ableitungen an der Stelle $(0,0)$. Die hattest Du schon bestimmt. Somit ist $\mathrm {grad}\, f(0,0)} = (0,0)$. Weiter ist $\mathrm {grad}\, f(0,0)}*(x,y)$ als Sklaraprodukt zu verstehen, kommt also $0$ heraus. Schließlich ist mit der Norm die euklidische Norm gemeint.
Die lineare Funktion $(x, y)\mapsto \mathrm{grad\, f(0,0)}*(x,y)$ ist genau dann die Ableitung von $f$ an der Stelle $(0,0)$, wenn $f$ dort differenzierbar ist, d. h. der Grenzwert = 0 ist.
Grüße,
Wolfgang
|
|
|
|
