Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 Sa 25.05.2013 | | Autor: | lol13 |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR^n [/mm] -> [mm] \IR [/mm] differenzierbar und [mm] \alpha(x)=||f(x)||.
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] \alpha: \IR^n [/mm] -> [mm] \IR [/mm] differnezierbar für alle x mit [mm] f(x)\not= [/mm] 0 ist, und berechen Sie dort die Ableitung [mm] \alpha'(x). [/mm] |
Hallo,
komme bei dieser Aufgabe nicht weiter.
Wenn ich die allgemeine Definition von Differenzierbarkeit anwende, erhalte ich:
1/||h|| * [mm] (||\alpha(x_{0}+h)-||f(x)||-\alpha'(x_{0})*h||)
[/mm]
Wie muss ich nun weiter machen?
Danke für eure Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:40 Sa 25.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]f:\IR^n[/mm] -> [mm]\IR[/mm] differenzierbar und [mm]\alpha(x)=||f(x)||.[/mm]
steht das wirklich so da? Oder steht da was von [mm] $f\colon \IR^n \to \IR^{\red{n}}\,.$
[/mm]
Denn warum sollte man [mm] $\|f(x)\|$ [/mm] für $f(x) [mm] \in \IR$ [/mm] schreiben? Oder geht's um [mm] $f\colon \IR \to \IR^n$?
[/mm]
(Von letzterem gehe ich mal aus!)
Jedenfalls: Wenn $f(x) [mm] \in \IR^n\,,$ [/mm] dann ist doch sicher [mm] $\|.\|$ [/mm] die 'normale'
(euklidische) Norm gemeint.
Das heißt:
Nehmen wir mal an, es ist [mm] $f=(f_1,...,f_n)^T \colon \IR \to \IR^n\,.$ [/mm] Dann ist
mit
[mm] $$\phi \colon \IR^n \to \IR \text{ mit }\phi(v):=\|v\|$$
[/mm]
[mm] $$\alpha(x)=\phi(f(x))=(\phi \circ f)(x)=\|f(x)\|=\sqrt{(f_1(x))^2+(f_2(x))^2+...+(f_n(x))^2}\,.$$
[/mm]
Jetzt Kettenregel anwenden (es wurde ja gesagt: "...diff'bar an allen [mm] $x\,$
[/mm]
mit $f(x) [mm] \not=0$...", [/mm] d.h. es gibt ein $j [mm] \in \{1,...,n\}$ [/mm] mit [mm] $f_j(x) \not=0$ [/mm] und zudem sind alle
[mm] $f_k \colon \IR \to \IR$ [/mm] differenzierbar)!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:05 Sa 25.05.2013 | | Autor: | lol13 |
> Hallo,
>
> > Sei [mm]f:\IR^n[/mm] -> [mm]\IR[/mm] differenzierbar und [mm]\alpha(x)=||f(x)||.[/mm]
>
> steht das wirklich so da? Oder steht da was von [mm]f\colon \IR^n \to \IR^{\red{n}}\,.[/mm]
stimmt, habe mich verschrieben, da muss stehhen:
[mm] f:\IR^n [/mm] -> [mm] \IR^m [/mm] und [mm] \alpha:\IR^n [/mm] -> [mm] \IR
[/mm]
>
> Denn warum sollte man [mm]\|f(x)\|[/mm] für [mm]f(x) \in \IR[/mm] schreiben?
> Oder geht's um [mm]f\colon \IR \to \IR^n[/mm]?
> (Von letzterem gehe
> ich mal aus!)
>
> Jedenfalls: Wenn [mm]f(x) \in \IR^n\,,[/mm] dann ist doch sicher
> [mm]\|.\|[/mm] die 'normale'
> (euklidische) Norm gemeint.
>
> Das heißt:
> Nehmen wir mal an, es ist [mm]f=(f_1,...,f_n)^T \colon \IR \to \IR^n\,.[/mm]
> Dann ist
> mit
> [mm]\phi \colon \IR^n \to \IR \text{ mit }\phi(v):=\|v\|[/mm]
>
> [mm]\alpha(x)=\phi(f(x))=(\phi \circ f)(x)=\|f(x)\|=\sqrt{(f_1(x))^2+(f_2(x))^2+...+(f_n(x))^2}\,.[/mm]
>
> Jetzt Kettenregel anwenden (es wurde ja gesagt:
> "...diff'bar an allen [mm]x\,[/mm]
> mit [mm]f(x) \not=0[/mm]...", d.h. es gibt ein [mm]j \in \{1,...,n\}[/mm]
> mit [mm]f_j(x) \not=0[/mm] und zudem sind alle
> [mm]f_k \colon \IR \to \IR[/mm] differenzierbar)!
>
> Gruß,
> Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Sa 25.05.2013 | | Autor: | lol13 |
Danke erst mal für den Tipp mit der Kettenregel
Anwenden der Kettenregl ergibt:
[mm] \alpha(x)= \phi'(f(x))*f'(x) [/mm] = [mm] 1/2*[(f_{1}(x))^2+...+(f_{n}(x))^2]^{-1/2} [/mm] * ??? *f'(x)
Muss ich hier mit partiellen Ableitungen rechnen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Sa 25.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
okay: Wenn $f [mm] \colon \IR^n \to \IR^m$ [/mm] ist, dann muss [mm] $\phi \colon \IR^\red{m} \to \IR$ [/mm] sein, wobei [mm] $\phi(x):=\|x\|=\sqrt{\sum_{k=1}^\red{m} x_k^2}$.
[/mm]
Kettenregel ist ![[]](/images/popup.gif) Satz 19.15, hier (klick!)
So, schauen wir jetzt nochmal:
Wenn $f [mm] \colon \IR^n \to \IR^m$ [/mm] ist, dann ist
[mm] $$f'(x)=J_f(x)=\pmat{\partial_{x_1}f_1(x) & ... & \partial_{x_n}f_1(x) \\. & . & . \\ \partial_{x_1}f_m(x) & ... & \partial_{x_n}f_m(x)} \in \IR^{m \times n}\,.$$
[/mm]
Ferner gilt für [mm] $y=(y_1,...,y_m)^T \not=0 \in \IR^m$ [/mm]
[mm] $$\phi'(y)=J_{\phi}(y)=\left(\tfrac{2y_1}{2*\|y\|},\;...,\;\tfrac{2y_m}{2\|y\|}\right)=\frac{y^T}{\|y\|}\,.$$
[/mm]
Also ist
[mm] $$\alpha'(x)=(\phi \circ f)'(x)=\phi\,'(f(x))*f\,'(x)=J_{\phi}(f(x))*J_f(x)=\frac{f(x)^T}{\|f(x)\|}*J_f(x)\,.$$
[/mm]
(Berechne [mm] $\partial_{x_j}\phi(x)$ [/mm] wie üblich, also mit der Kettenregel, und beachte noch,
dass dann [mm] $\sqrt{x_1^2+...+x_m^2}=\|x\|\,.$)
[/mm]
Beachte dabei:
Es ist [mm] $f(x)^T \in \IR^{1 \times m}$ [/mm] und [mm] $J_f(x) \in \IR^{m \times n}\,,$ [/mm] das Matrixprodukt, welches Du da siehst,
ist also definiert und am Ende erhält man eine Matrix aus [mm] $\IR^{1 \times n}\,,$ [/mm] also ein
Zeilenvektor mit [mm] $n\,$ [/mm] Einträgen! (Wenn Du willst, kannst Du den genauer
ausschreiben!)
P.S. Zur Notation: [mm] $\partial_{x_j}:=\frac{\partial}{\partial x_j}$ [/mm] habe ich definiert!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:27 So 26.05.2013 | | Autor: | lol13 |
> Hallo,
>
> okay: Wenn [mm]f \colon \IR^n \to \IR^m[/mm] ist, dann muss [mm]\phi \colon \IR^\red{m} \to \IR[/mm]
> sein, wobei [mm]\phi(x):=\|x\|=\sqrt{\sum_{k=1}^\red{m} x_k^2}[/mm].
>
> Kettenregel ist
> Satz 19.15, hier (klick!)
>
> So, schauen wir jetzt nochmal:
> Wenn [mm]f \colon \IR^n \to \IR^m[/mm] ist, dann ist
> [mm]f'(x)=J_f(x)=\pmat{\partial_{x_1}f_1(x) & ... & \partial_{x_n}f_1(x) \\. & . & . \\ \partial_{x_1}f_m(x) & ... & \partial_{x_n}f_m(x)} \in \IR^{m \times n}\,.[/mm]
> Ferner gilt für [mm]y=(y_1,...,y_m)^T \not=0 \in \IR^m[/mm]
> [mm]\phi'(y)=J_{\phi}(y)=\left(\tfrac{2y_1}{2*\|y\|},\;...,\;\tfrac{2y_m}{2\|y\|}\right)=\frac{y^T}{\|y\|}\,.[/mm]
Vielen Dank, das war ja genau meine Frage mit den partiellen Ableitungen, da ist mir diese Schreibweise nicht eingefallen.
> Also ist
> [mm]\alpha'(x)=(\phi \circ f)'(x)=\phi\,'(f(x))*f\,'(x)=J_{\phi}(f(x))*J_f(x)=\frac{f(x)^T}{\|f(x)\|}*J_f(x)\,.[/mm]
>
> (Berechne [mm]\partial_{x_j}\phi(x)[/mm] wie üblich, also mit der
> Kettenregel, und beachte noch,
> dass dann [mm]\sqrt{x_1^2+...+x_m^2}=\|x\|\,.[/mm])
>
> Beachte dabei:
> Es ist [mm]f(x)^T \in \IR^{1 \times m}[/mm] und [mm]J_f(x) \in \IR^{m \times n}\,,[/mm]
> das Matrixprodukt, welches Du da siehst,
> ist also definiert und am Ende erhält man eine Matrix aus
> [mm]\IR^{1 \times n}\,,[/mm] also ein
> Zeilenvektor mit [mm]n\,[/mm] Einträgen! (Wenn Du willst, kannst Du
> den genauer
> ausschreiben!)
>
> P.S. Zur Notation: [mm]\partial_{x_j}:=\frac{\partial}{\partial x_j}[/mm]
> habe ich definiert!
>
> Gruß,
> Marcel
|
|
|
|
