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Differenzierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:04 Do 15.08.2013
Autor: Ice-Man

Hallo,

ich habe mal bitte eine Frage zur Differenzierbarkeit, denn irgendwie habe ich gerade eine Wissenslücke.

[mm] y=\bruch{3x^{2}-8}{x^{2}} [/mm]

ist als Funktion gegeben.

Ich weis das diese unstetig ist, da der "0" eine Polstelle ist.

Kann mir evtl. bitte jemand einen Tip geben wie ich jetzt eine Aussage über die Differenzierbarkeit treffen kann?
Ich weis nur soviel das ich den links und rechtsseitigen Grenzwert betrachten muss. Und wenn dieser ungleich ist dann ist die Funktion nicht differenzierbar.
Wäre das soweit schon korrekt?

Vielen Dank schon einmal.

        
Bezug
Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:02 Fr 16.08.2013
Autor: Fulla

Hallo Ice-Man!

> Hallo,

>

> ich habe mal bitte eine Frage zur Differenzierbarkeit, denn
> irgendwie habe ich gerade eine Wissenslücke.

>

> [mm]y=\bruch{3x^{2}-8}{x^{2}}[/mm]

>

> ist als Funktion gegeben.

>

> Ich weis das diese unstetig ist, da der "0" eine Polstelle
> ist.

[ok] Genauso wichtig ist, dass die Funktion an dieser Stelle gar nicht definiert ist.

> Kann mir evtl. bitte jemand einen Tip geben wie ich jetzt
> eine Aussage über die Differenzierbarkeit treffen kann?

Ja, sie ist an der Stelle [mm]x=0[/mm] nicht differenzierbar. Was soll man denn differenzieren? [mm]y(0)[/mm] ist ja nicht definiert...

> Ich weis nur soviel das ich den links und rechtsseitigen
> Grenzwert betrachten muss. Und wenn dieser ungleich ist
> dann ist die Funktion nicht differenzierbar.
> Wäre das soweit schon korrekt?

Ja, wenn die Grenzwerte ungleich sind, macht der Graph der Funktion an der Stelle einen "Sprung". Wenn wir den Grenzwert [mm]\pm\infty[/mm] mal ausschließen, heißt das, dass die Funktion dort nicht stetig ist - also schon gar nicht differenzierbar.

Lassen wir [mm]\pm\infty[/mm] zu, liegt eine Polstelle vor und die Funktion ist - siehe oben - an dieser Stelle nicht definiert, also ist die Frage nach Differenzierbarkeit sinnlos.

Allerdings kannst du mit derlei Überlegungen nicht begründen, dass die Funktion dort differenzierbar ist. Betrachte z.B. [mm]f(x)=|x|[/mm]. Die Grenzwerte [mm]\lim_{x\to\pm 0} |x|[/mm] sind beide gleich 0, aber die Funktion ist bei [mm]x=0[/mm] nicht differenzierbar (sie hat da einen "Knick").


Reicht dir das schon? Ansonsten präzisiere deine Frage.
Lieben Gruß,
Fulla

Bezug
                
Bezug
Differenzierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:59 Fr 16.08.2013
Autor: Ice-Man

Vielen Dank, das hilft mir schon viel weiter.

Also wäre es soweit richtig wenn ich sage, die Funktion ist aufgrund der Polstelle (x=0) unstetig und deswegen auch an dieser besagten Stelle nicht differenzierbar?

Oder verwechsel ich da jetzt schon wieder etwas?

Bezug
                        
Bezug
Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:14 Fr 16.08.2013
Autor: leduart

Hallo
die fkz ist bei 0 nicht definiert, also kann sie ja auch nicht differenzierbar sein, man kann die Definitionslücke auch nicht stetig  schließen.
aber eigentlich stand das doch im vorigen post schon, Wie liest du?
Gtuss leduart

Bezug
        
Bezug
Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:12 Fr 16.08.2013
Autor: Thomas_Aut

Hallo Iceman,


Du willst [mm]f(x) = \frac{3x^2-8}{x^2}[/mm] auf Diffbarkeit überprüfen.

Wo genau liegt dein Problem? Die Antwort von Fulla müsste doch alles geklärt haben...

Also wie du bereits richtig ersehen hast liegt bei x = 0 offensichtlich ein undefinierter Fall vor. Somit kannst du Diffbarkeit dort ausschließen.

Überlege ob bis auf x = 0 ein weiterer kritischer Fall eintreten könnte.. falls dir keine weiteren problematischen Punkte begegnen so hast du deine Antwort - und bestimmt auf welchem Bereich f diffbar ist und zwar: f ist beliebig oft diffbar [mm] \forall [/mm] x [mm] \neq [/mm] 0.



Gruß Thomas



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