Differenzierbarkeit im IR^n < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich kämpfe im Moment mit der Differenzierbarkeit im Mehrdimensionalen, und was am Anfang leicht aussah, entpuppt sich jetzt doch als etwas komplizierter, als ich mir das dachte... die Aufgabe:
Sei $f: [mm] \IR^2 \to \IR$ [/mm] gegeben durch:
$f(x,y) = [mm] \begin{cases} \bruch{x^3+y^3}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y) \not= (0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y) = (0,0) \end{cases}$
[/mm]
a) Ist f stetig?
b) Ist f differenzierbar?
c) Zeigen Sie: Die Komposition $f [mm] \gamma$ [/mm] von f mit jedem differenzierbaren Weg [mm] $\gamma: \IR \to \IR^2$ [/mm] ist eine differenzierbare Funktion.
zu a)
Hier ist eigentlich nur die Stetigkeit im Punkt (0,0) zu untersuchen. Es gilt:
[mm] $\left| \bruch{x^3+y^3}{x^2+y^2} \right| \le [/mm] |x| [mm] \underbrace{\left| \bruch{x^2}{x^2+y^2} \right|}_{\le 1} [/mm] + |y| [mm] \underbrace{\left| \bruch{y^2}{x^2+y^2} \right|}_{\le 1} \le [/mm] |x| + |y| [mm] \to [/mm] 0$ für $|x| [mm] \to [/mm] 0, |y| [mm] \to [/mm] 0$, also f stetig in (0,0). Soweit richtig?
zu b)
Ich will zeigen, dass f nicht differenzierbar ist in (0,0). Dazu bilde ich die Jacobi-Matrix $J(f)(0,0)$ (wenn f in diesem Punkt diff.bar wäre, müsste die Ableitung ja bzgl. der Standardbasen die Jacobi-Matrix sein) und zeige dann, dass [mm] $\limes_{h \rightarrow 0} \bruch{f(h)-J(f)(0,0) * h}{||h||} \not= [/mm] 0$ ist. Ist diese Vorgehensweise richtig?
(Ich möchte jetzt nicht unnötigerweise meine ganze Rechnung aufschreiben, wenn schon der Ansatz falsch ist ... aber ich bekomme als Jacobi-Matrix $J(f)(0,0) = (1, 1)$ heraus und dann ist der obige Ausdruck nach meiner Rechnung eine Konstante ungleich Null.)
zu c)
Ich vermute, ich muss auch wieder nur den Fall betrachten, dass es ein $a [mm] \in \IR$ [/mm] gibt mit [mm] $\gamma [/mm] (a) = (0,0)$, da die Differenzierbarkeit in allen anderen Punkten doch eigentlich klar sein müsste (wg. Verkettung diff.barer Funktionen), oder?! Das $f [mm] \gamma$ [/mm] ist dann ja eine Funktion von [mm] $\IR$ [/mm] nach [mm] $\IR$, [/mm] weshalb ich nur zeigen müsste, dass der Differenzenquotient im Punkt a existiert, d.h.
[mm] $\limes_{h \rightarrow 0} \bruch{f \gamma (a+h)-f \gamma (a)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h \rightarrow 0} \bruch{1}{h} [/mm] * [mm] \bruch{\gamma_x^3(a+h) + \gamma_y^3(a+h)}{\gamma_x^2(a+h) + \gamma_y^2(a+h)}$,
[/mm]
wobei [mm] $\gamma_x$ [/mm] und [mm] $\gamma_y$ [/mm] die Funktionen sein sollen, die jeweils die x- bzw. die y-Koordinate von [mm] $\gamma$ [/mm] als Wert liefern. Bei diesem Ausdruck weiß ich jetzt allerdings nicht mehr so recht weiter.
Ich bin für jeden erhellenden Kommentar dankbar, denn ich fühle mich noch sehr unsicher bei all dem, was ich da tue. :)
- Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:07 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Marcel,
> zu a)
> Hier ist eigentlich nur die Stetigkeit im Punkt (0,0) zu
> untersuchen. Es gilt:
> [mm]\left| \bruch{x^3+y^3}{x^2+y^2} \right| \le |x| \underbrace{\left| \bruch{x^2}{x^2+y^2} \right|}_{\le 1} + |y| \underbrace{\left| \bruch{y^2}{x^2+y^2} \right|}_{\le 1} \le |x| + |y| \to 0[/mm]
> für [mm]|x| \to 0, |y| \to 0[/mm], also f stetig in (0,0). Soweit
> richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Folgenkriterium für Stetigkeit.
> zu b)
> Ich will zeigen, dass f nicht differenzierbar ist in
> (0,0). Dazu bilde ich die Jacobi-Matrix [mm]J(f)(0,0)[/mm] (wenn f
> in diesem Punkt diff.bar wäre, müsste die Ableitung ja
> bzgl. der Standardbasen die Jacobi-Matrix sein) und zeige
> dann, dass [mm]\limes_{h \rightarrow 0} \bruch{f(h)-J(f)(0,0) * h}{||h||} \not= 0[/mm]
> ist. Ist diese Vorgehensweise richtig?
> (Ich möchte jetzt nicht unnötigerweise meine ganze
> Rechnung aufschreiben, wenn schon der Ansatz falsch ist ...
> aber ich bekomme als Jacobi-Matrix [mm]J(f)(0,0) = (1, 1)[/mm]
> heraus und dann ist der obige Ausdruck nach meiner Rechnung
> eine Konstante ungleich Null.)
Ich hätte direkt gezeigt, dass der Grenzwert für zwei verschiedene Richtungen andere Werte angibt. Wählt man [mm] $h_1=(x;0)$ [/mm] gilt [mm] $\frac{\partial f}{\partial h_1}(0;0)=1$. [/mm] Nimmt man hingegen [mm] $h_2=(x;-x)$ [/mm] gilt [mm] $\frac{\partial f}{\partial h_2}(0;0)=0$. [/mm] Damit ist der Grenzwert nicht für alle [mm] $h\to [/mm] 0$ gleich, also $f$ nicht in $(0;0)$ differenzierbar.
> zu c)
> Ich vermute, ich muss auch wieder nur den Fall betrachten,
> dass es ein [mm]a \in \IR[/mm] gibt mit [mm]\gamma (a) = (0,0)[/mm], da > die
> Differenzierbarkeit in allen anderen Punkten doch
> eigentlich klar sein müsste (wg. Verkettung diff.barer
> Funktionen), oder?! Das [mm]f \gamma[/mm] ist dann ja eine Funktion
> von [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IR[/mm], weshalb ich nur zeigen müsste, dass der
> Differenzenquotient im Punkt a existiert, d.h.
> [mm]\limes_{h \rightarrow 0} \bruch{f \gamma (a+h)-f \gamma (a)}{h} = \limes_{h \rightarrow 0} \bruch{1}{h} * \bruch{\gamma_x^3(a+h) + \gamma_y^3(a+h)}{\gamma_x^2(a+h) + \gamma_y^2(a+h)}[/mm],
>
> wobei [mm]\gamma_x[/mm] und [mm]\gamma_y[/mm] die Funktionen sein sollen, die
> jeweils die x- bzw. die y-Koordinate von [mm]\gamma[/mm] als Wert
> liefern. Bei diesem Ausdruck weiß ich jetzt allerdings
> nicht mehr so recht weiter.
In Teil c) würde ich argumentieren, dass mit jedem differenzierbaren Weg [mm] $\gamma(t)$ [/mm] auch die Richtung fetsgelegt ist, mit der man den Punkt [mm] $(0;0)\in\IR^2$ [/mm] durchläuft. Da für jede Richtung der Grenzwert existiert - halt nur je nach Richtung unterschiedliche Werte annimmt - ist dann die Komposition [mm] $f(\gamma(t))$ [/mm] auch differenzierbar.
Gruß Max
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