Differenzierbarkeit im R^N < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:51 Mo 05.12.2005 | | Autor: | Rahul_N |
Hallo an alle.
Wo genau unterscheidet sich die stetige Differenzierbarkeit von der Differenzierbarkeit von einer Abbildung f auf der offenen Umgebung U?
im Königsberger steht als Differenzierbarkeits Kriterium:
eine Abbildung ist genau dann differenzierbar im Punkt a, wenn alle partiellen Ableitungen in einer Umgebung von a existieren und im Punkt a stetig sind.
eine Abbildung f: U-> auf einer offenen Menge U [mm] \subset [/mm] X
heißt stetig differenzierbar in U, wenn
1. f in jedem Punkt x [mm] \in [/mm] U differenzierbar ist,
2. df: x [mm] \mapsto [/mm] df(x), stetig ist.
Bisher ist alles klar. Mein Problem taucht jetzt auf:
Durch das Reduktionslemma folgert er:
eine Abbildung f = [mm] (f_1,...,f_m) [/mm] : U [mm] \mapsto R^m, [/mm] U [mm] \in R^n
[/mm]
ist genau dann stetig differenzierbar, wenn alle Komponenten [mm] f_1,.. f_m [/mm] stetig differenzierbar sind, und das ist genau dann der Fall , wenn alle mn partiellen Ableitungen in U existieren und stetig sind.
dadurch könnte man folgern, dass eine differenzierbare Abbildung automatisch stetig differenzierbar ist (die Kriterien sind ja gleich: Existenz und Stetigkeit der mn partiellen Ableitungen in der Umgebung U)
Das stimmt aber nicht.
Wo hab ich mich vertan?
Danke Rahul.
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Hallo,
also was differenziuerbar bedeutet, ist dir ja sicher klar. Es gibt eine lineare Abbildung usw.!
Dann gibt es den Satz, dass differenzierbare Funktionen auch stetig sind! Das ist aber ziemlich klar und das hat man ja im Eindimensionalen auch schon.
Nun gibt es noch die partielle Differenzierbarkeit. Ist eine Funktion partiell differenzierbar, ist sie nicht automatisch stetig! Da gibt es Gegenbeispiele auch im Königsberger (Kapitel 2.1). Ist die Funktion partiell diffbar und die partiellen Ableitungen stetig, dann ist sie differenzierbar(oder auch stetig partiell differenzierbar). Das ist das Hauptkriterium für Differenzierbarkeit. Und schließlich ist eine Funktion stetig differenzierbar, dann ist sie also differenzierbar und die Ableitung ist stetig! Ich glaube, jetzt habe ich alles. Folg. Implikationen verkürzen das Ganze:
f diffbar [mm] \Rightarrow [/mm] f partiell diffbar
f diffbar [mm] \Rightarrow [/mm] f stetig
Die Umkehrungen gelten nicht!
f stetig partiell diffbar [mm] \gdw [/mm] f stetig diffbar
Hoffe, das hilft dir!
VG Daniel
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