Differenzierbarkeit im R^n < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo @ all,
ich habe eine Frage zum differenzieren im [mm] R^n:
[/mm]
Es gibt ja (zumindest soweit wir es bei uns in der Vorlesung hatten) 3 Arten von differenziationen: Die parielle Ableitung, die totale Ableitung und die stetig partielle Ableitung.
Die partielle Ableitung am Pkt a in Richtung [mm] \vec{v} [/mm] ist, wenn ich das richtig verstanden habe, genau dann vorhanden, wenn [mm] \limes_{t\rightarrow 0} (f(a+t*\vec{v})-f(a))/t [/mm] existiert und dieser Grenzwert ist dann auch die Ableitung. Hier meine erste Frage: Muss f in a stetig sein, damit die partielle Ableitung existiert?
Dann gibt es die totale Ableitung. Damit die totale Ableitung in einem Punkt a existiert, muss die Funktion f in a stetig sein und die partielle Ableitung in alle Richtungen existieren. Stimmt das soweit? Wie berechne ich dann die totale Ableitung?
Als drittes gibt es noch die stetig partielle Ableitung. f ist in a stetig partiell ableitbar, wenn die partiellen Ableitungen in a in richtung [mm] x_{i} [/mm] stetig sind. Ist das so richtig?
Als letzte Frage (oh Gott, ist das schon viel) möchte ich noch wissen, was i.A. gemeint ist, wenn da steht "ist f in a differenzierbar?" Welche Differenzierbarkeit ist damit gemeint?
Vielen Dank an alle, die versuchen, mir weiterzuhelfen.
Liebste Grüße
der Mathenator
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Mo 19.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
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> Hallo @ all,
>
> ich habe eine Frage zum differenzieren im [mm]R^n:[/mm]
> Es gibt ja (zumindest soweit wir es bei uns in der
> Vorlesung hatten) 3 Arten von differenziationen: Die
> parielle Ableitung, die totale Ableitung und die stetig
> partielle Ableitung.
> Die partielle Ableitung am Pkt a in Richtung [mm]\vec{v}[/mm] ist,
> wenn ich das richtig verstanden habe, genau dann vorhanden,
> wenn [mm]\limes_{t\rightarrow 0} (f(a+t*\vec{v})-f(a))/t[/mm]
> existiert und dieser Grenzwert ist dann auch die Ableitung.
aber nicht die totale Ableitung von f in a, sondern die Richtungsableitung von f in a in [mm] Richtung\vec{v} [/mm]
> Hier meine erste Frage: Muss f in a stetig sein, damit die
> partielle Ableitung existiert?
Nein. Beispiel:
$f(x,y) = [mm] \bruch{xy}{x^2+y^2}$ [/mm] für (x,y) [mm] \ne [/mm] (0,0) und f(0,0)=0
f ist in (0,0) nicht stetig, aber die partiellen Ableitungen [mm] f_x(0,0) [/mm] und [mm] f_y(0,0) [/mm] existieren
> Dann gibt es die totale Ableitung. Damit die totale
> Ableitung in einem Punkt a existiert, muss die Funktion f
> in a stetig sein und die partielle Ableitung in alle
> Richtungen existieren. Stimmt das soweit?
Ja, man kann zeigen : ist f in a total differenzierbar [mm] \Rightarrow [/mm] f ist in a stetig und f hat in a Richtungsableitungen in jeder Richtung. Aber Vorsicht: die Umkehrung hiervon ist i.a. nicht richtig
> Wie berechne ich
> dann die totale Ableitung?
Wenn Du mal festgestellt hast, dass f in a total differenzierbar ist, so gilt: $f'(a)= gradf(a)$
> Als drittes gibt es noch die stetig partielle Ableitung. f
> ist in a stetig partiell ableitbar, wenn die partiellen
> Ableitungen in a in richtung [mm]x_{i}[/mm] stetig sind. Ist das so
> richtig?
Ja
> Als letzte Frage (oh Gott, ist das schon viel) möchte ich
> noch wissen, was i.A. gemeint ist, wenn da steht "ist f in
> a differenzierbar?" Welche Differenzierbarkeit ist damit
> gemeint?
Die totale
FRED
>
> Vielen Dank an alle, die versuchen, mir weiterzuhelfen.
>
> Liebste Grüße
> der Mathenator
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Vielen Dank erstmal soweit. Eine Frage noch:
> > Wie berechne ich
> > dann die totale Ableitung?
>
> Wenn Du mal festgestellt hast, dass f in a total
> differenzierbar ist, so gilt: [mm]f'(a)= gradf(a)[/mm]
Wie zeige ich denn, dass die totale Ableitung existiert? Wir hatten in der Vorlesung nur eine sehr praxisfremde Definition :(
Gruß
Mathenator
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Mo 19.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank erstmal soweit. Eine Frage noch:
>
> > > Wie berechne ich
> > > dann die totale Ableitung?
> >
> > Wenn Du mal festgestellt hast, dass f in a total
> > differenzierbar ist, so gilt: [mm]f'(a)= gradf(a)[/mm]
>
> Wie zeige ich denn, dass die totale Ableitung existiert?
> Wir hatten in der Vorlesung nur eine sehr praxisfremde
> Definition :(
Na dann mal her damit ................
FRED
>
> Gruß
> Mathenator
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Unsere Definition:
Seien [mm] B\subset \IR^{m} [/mm] offene Teilmenge und f: [mm] B\to \IR^{n} [/mm] eine Abbildung.
Sei a [mm] \in [/mm] B. Eine Abbildung f ist in a (total) differenzierbar, falls es eine lineare Abbildung L: [mm] \IR^{m} \to \IR^{n} [/mm] gibt und eine Abbildung r: B [mm] \to \IR^{n} [/mm] gibt, so dass gilt:
1) f(x)-f(a)=L(x-a)+r(x), [mm] x\in [/mm] B
2) [mm] \limes_{x\rightarrow a} (r(x))/\parallel [/mm] x-a [mm] \parallel=0
[/mm]
Und dann f ist total diffbar, wenn es in allen Punkten [mm] a\in [/mm] B total diffbar ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 Mo 19.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Unsere Definition:
> Seien [mm]B\subset \IR^{m}[/mm] offene Teilmenge und f: [mm]B\to \IR^{n}[/mm]
> eine Abbildung.
> Sei a [mm]\in[/mm] B. Eine Abbildung f ist in a (total)
> differenzierbar, falls es eine lineare Abbildung L: [mm]\IR^{m} \to \IR^{n}[/mm]
> gibt und eine Abbildung r: B [mm]\to \IR^{n}[/mm] gibt, so dass
> gilt:
> 1) f(x)-f(a)=L(x-a)+r(x), [mm]x\in[/mm] B
> 2) [mm]\limes_{x\rightarrow a} (r(x))/\parallel[/mm] x-a
> [mm]\parallel=0[/mm]
Diese lineare Abbildung L hat (bezgl. der Standardbasen im [mm] \IR^n [/mm] bzw. [mm] \IR^m) [/mm] die Abbildungsmatrix A
Es ist A = f'(a) = Jacobimatrix von f in a
FRED
> Und dann f ist total diffbar, wenn es in allen Punkten
> [mm]a\in[/mm] B total diffbar ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:00 Mo 19.07.2010 | | Autor: | Mathenator |
Okay, vielen Dank erstmal. Werde mir das später nochmal in Ruhe angucken, muss erstmal ein paar andere Dinge erledigen. Hast mir aber soweit schon viel weitergeholfen :)
Gruß
Mathenator
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Mo 19.07.2010 | | Autor: | gfm |
> > Unsere Definition:
> > Seien [mm]B\subset \IR^{m}[/mm] offene Teilmenge und f: [mm]B\to \IR^{n}[/mm]
> > eine Abbildung.
> > Sei a [mm]\in[/mm] B. Eine Abbildung f ist in a (total)
> > differenzierbar, falls es eine lineare Abbildung L: [mm]\IR^{m} \to \IR^{n}[/mm]
> > gibt und eine Abbildung r: B [mm]\to \IR^{n}[/mm] gibt, so dass
> > gilt:
> > 1) f(x)-f(a)=L(x-a)+r(x), [mm]x\in[/mm] B
> > 2) [mm]\limes_{x\rightarrow a} (r(x))/\parallel[/mm] x-a
> > [mm]\parallel=0[/mm]
>
>
>
> Diese lineare Abbildung L hat (bezgl. der Standardbasen im
> [mm]\IR^n[/mm] bzw. [mm]\IR^m)[/mm] die Abbildungsmatrix A
>
> Es ist A = f'(a) = Jacobimatrix von f in a
Wenn f total diff'bar ist, stimmen die Einträge der Abbildungmatrix von L mit [mm] (\partial_if^{k})(a) [/mm] überein. Und das tut Sie genau dann, wenn die [mm] \partial_if^{k} [/mm] in einer Umgebung von a existieren und bei a stetig sind, richtig?
Und damit muss man nicht den Weg über das Auswerten von f(x)-f(a)=L(x-a)+r(x) gehen, richtig?
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Mo 19.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Wenn f total diff'bar ist, stimmen die Einträge der
> Abbildungmatrix von L mit [mm](\partial_if^{k})(a)[/mm] überein.
> Und das tut Sie genau dann, wenn die [mm]\partial_if^{k}[/mm] in
> einer Umgebung von a existieren und bei a stetig sind,
> richtig?
>
> Und damit muss man nicht den Weg über das Auswerten von
> f(x)-f(a)=L(x-a)+r(x) gehen, richtig?
>
Was ist wenn dieses Verfahren für ein [mm] \partial_{i_0}f^{k_{0}} [/mm] fehlschlägt, aber so dass noch nicht die totale Diff'barkeit in Frage gestellt ist, also wenn [mm] \partial_{i_0}f^{k_{0}} [/mm] bei a existiert und stetig ist, aber jede Umgebung Punkte enthält, in denen sie nicht existiert. Geht so etwas? Muss man dann die Matrix von L komplett anders bestimmen?
LG
gfm
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:55 Di 20.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Vorgehensweise:
(I) Ist f in a partiell differenzierbar nach allen Variablen ?
Wenn nein, so ist f in a nicht total differenzierbar.
Wenn ja, weiter mit (II)
(II) Mit L:= jacobimatrix von f in a, setze
$r(x):=f(x)-f(a)-L(x-a)$
Existiert der Grenzwert [mm] $\limes_{x\rightarrow a}\bruch{r(x)}{||x-a||} [/mm] $ und ist dieser =0 ?
Wenn ja, so ist f in a total differenzierbar.
Wenn nein, so ist f in a nicht total differenzierbar.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:03 Di 20.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Vorgehensweise:
>
> (I) Ist f in a partiell differenzierbar nach allen
> Variablen ?
>
> Wenn nein, so ist f in a nicht total differenzierbar.
>
> Wenn ja, weiter mit (II)
>
>
> (II) Mit L:= jacobimatrix von f in a, setze
>
> [mm]r(x):=f(x)-f(a)-L(x-a)[/mm]
>
> Existiert der Grenzwert [mm]\limes_{x\rightarrow a}\bruch{r(x)}{||x-a||}[/mm]
> und ist dieser =0 ?
>
> Wenn ja, so ist f in a total differenzierbar.
>
> Wenn nein, so ist f in a nicht total differenzierbar.
>
>
Danke.
LG
gfm
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Mo 19.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > Unsere Definition:
> > > Seien [mm]B\subset \IR^{m}[/mm] offene Teilmenge und f: [mm]B\to \IR^{n}[/mm]
> > > eine Abbildung.
> > > Sei a [mm]\in[/mm] B. Eine Abbildung f ist in a (total)
> > > differenzierbar, falls es eine lineare Abbildung L: [mm]\IR^{m} \to \IR^{n}[/mm]
> > > gibt und eine Abbildung r: B [mm]\to \IR^{n}[/mm] gibt, so dass
> > > gilt:
> > > 1) f(x)-f(a)=L(x-a)+r(x), [mm]x\in[/mm] B
> > > 2) [mm]\limes_{x\rightarrow a} (r(x))/\parallel[/mm] x-a
> > > [mm]\parallel=0[/mm]
vll. ist Dir die ![[]](/images/popup.gif) Definition 19.6 von hier zugänglicher? Sie sagt allerdings nicht wirklich etwas anderes aus (erinnere Dich mal an die Lineare Algebra).
> >
> >
> > Diese lineare Abbildung L hat (bezgl. der Standardbasen im
> > [mm]\IR^n[/mm] bzw. [mm]\IR^m)[/mm] die Abbildungsmatrix A
> >
> > Es ist A = f'(a) = Jacobimatrix von f in a
>
> Wenn f total diff'bar ist, stimmen die Einträge der
> Abbildungmatrix von L mit [mm](\partial_if^{k})(a)[/mm] überein.
Siehe etwa Satz 19.10.
> Und das tut Sie genau dann, wenn die [mm]\partial_if^{k}[/mm] in
> einer Umgebung von a existieren und bei a stetig sind,
> richtig?
Ich tue mich mit dem "genau dann" gerade etwas schwer. Dass Deine Aussage mit den partiellen Ableitungen hinreichend für totale Diff'barkeit ist, entnimmst Du etwa Satz 19.13. (Dort steht auch "nur" etwas von Stetigkeit der partiellen Ableitungen im Punkt [mm] $x^{(0)}\,,$ [/mm] was schon weniger ist als die Stetigkeit in einer Umgebung.)
Bei der Umkehrung dieser Aussage bin ich skeptisch (sowohl bzgl. der "Umgebungsvariante" als auch der "Punktvariante"). Mit etwas Recherche bin ich zudem auf
dieses hier
gestoßen, d.h. es gibt also in der Tat eine (im Nullpunkt) (total) diff'bare Funktion, deren partiellen Ableitungen dort nicht alle stetig sind. Also notwendig ist Deine Aussage mit den partiellen Ableitungen nicht!
> Und damit muss man nicht den Weg über das Auswerten von
> f(x)-f(a)=L(x-a)+r(x) gehen, richtig?
>
> LG
>
> gfm
P.S.:
Schöner Link zum Nachlesen
Beste Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:47 Mo 19.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo,
>
> > > > Unsere Definition:
> > > > Seien [mm]B\subset \IR^{m}[/mm] offene Teilmenge und f: [mm]B\to \IR^{n}[/mm]
> > > > eine Abbildung.
> > > > Sei a [mm]\in[/mm] B. Eine Abbildung f ist in a (total)
> > > > differenzierbar, falls es eine lineare Abbildung L: [mm]\IR^{m} \to \IR^{n}[/mm]
> > > > gibt und eine Abbildung r: B [mm]\to \IR^{n}[/mm] gibt, so dass
> > > > gilt:
> > > > 1) f(x)-f(a)=L(x-a)+r(x), [mm]x\in[/mm] B
> > > > 2) [mm]\limes_{x\rightarrow a} (r(x))/\parallel[/mm] x-a
> > > > [mm]\parallel=0[/mm]
>
> vll. ist Dir die
> Definition 19.6 von hier
> zugänglicher? Sie sagt allerdings nicht wirklich etwas
> anderes aus (erinnere Dich mal an die Lineare Algebra).
>
> > >
> > >
> > > Diese lineare Abbildung L hat (bezgl. der Standardbasen im
> > > [mm]\IR^n[/mm] bzw. [mm]\IR^m)[/mm] die Abbildungsmatrix A
> > >
> > > Es ist A = f'(a) = Jacobimatrix von f in a
> >
> > Wenn f total diff'bar ist, stimmen die Einträge der
> > Abbildungmatrix von L mit [mm](\partial_if^{k})(a)[/mm] überein.
>
> Siehe etwa
> Satz 19.10.
>
> > Und das tut Sie genau dann, wenn die [mm]\partial_if^{k}[/mm] in
> > einer Umgebung von a existieren und bei a stetig sind,
> > richtig?
>
> Ich tue mich mit dem "genau dann" gerade etwas schwer. Dass
> Deine Aussage mit den partiellen Ableitungen hinreichend
> für totale Diff'barkeit ist, entnimmst Du etwa
> Satz 19.13.
> (Dort steht auch "nur" etwas von Stetigkeit der partiellen
> Ableitungen im Punkt [mm]x^{(0)}\,,[/mm] was schon weniger ist als
> die Stetigkeit in einer Umgebung.)
> Bei der Umkehrung dieser Aussage bin ich skeptisch (sowohl
> bzgl. der "Umgebungsvariante" als auch der
> "Punktvariante"). Mit etwas Recherche bin ich zudem auf
> dieses hier
>
> gestoßen, d.h. es gibt also in der Tat eine (im Nullpunkt)
> (total) diff'bare Funktion, deren partiellen Ableitungen
> dort nicht alle stetig sind. Also notwendig ist Deine
> Aussage mit den partiellen Ableitungen nicht!
>
Ja, da hast Du recht. Man hat also:
Total diff'bar an [mm] Punkt\Rightarrow [/mm] partiell diff'bar an Punkt
Partiell diff'bar in Umgebung um Punkt und stetig partiell diff'bar an [mm] Punkt\Rightarrow [/mm] Total diff'bar an Punkt
In beiden Fällen liefert die Jacobimatrixx die Abbildungmatrix.
LG und Danke
gfm
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