Differenzierbarkeit in (0,0) < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 Do 06.05.2010 | | Autor: | Limaros |
| Aufgabe | | Sei f: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] gegeben duch [mm] f(x,y)=\frac{xy}{\wurzel{x^2+y^2}} [/mm] für [mm] (x,y)\not=(0,0) [/mm] und f(x,y)=0 für (x,y)=(0,0). Ist f in (0,0) total differenzierbar (und falls ja, wie ist die Ableitung)? |
Also, f ist doch in (0,0) total differenzierbar, falls es eine Umgebung von (0,0) gibt, in der die partiellen Ableitungen nach x und y stetig sind. Richtig?
Ich kriege die folgenden partiellen Ableitungen:
[mm] D_x f(x,y)=\frac{y\wurzel{x^2+y^2}-\frac{x^2y}{\wurzel{x^2+y^2}}}{x^2+y^2}
[/mm]
[mm] D_y f(x,y)=\frac{x\wurzel{x^2+y^2}-\frac{y^2x}{\wurzel{x^2+y^2}}}{x^2+y^2}
[/mm]
Soweit richtig?
Beide Ableitungen sind für (x,y)=(0,0) nicht definiert, also schon gar nicht stetig, also ist auch f in (0,0) nicht diffbar. Stimmt das?
Und noch eine Frage: Die Funktion f wurde ja einfach nach (0,0) stetig fortgesetzt, würde es für die Differenzierbarkeit von f einen Unterschied machen, ob die partiellen Ableitungen nach (0,0) stetig fortsetzbar wären?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 Do 06.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Du gehst nicht richtig heran an diese Aufgabe !
Wir berechnen mal die partiellen Ableitungen in (0,0):
[mm] \bruch{f(x,0)-f(0,0)}{x-0} [/mm] = 0 für jedes x [mm] \ne [/mm] 0. Folglich existiert [mm] f_x(0,0) [/mm] und = 0.
Analog: [mm] f_y(0,0) [/mm] =0.
Nun setze A:=(0,0) und untersuche
$h(x,y):= [mm] \bruch{f(x,y)-f(0,0)-A*(x,y)^T}{||(x,y)||}$
[/mm]
Geht h(x,y) [mm] \to [/mm] 0 für (x,y) [mm] \to [/mm] (0,0), so ist f in (0,0) diffbar, anderenfalls nicht.
Tipp: betrachte h(t,t) für t > 0.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Fr 07.05.2010 | | Autor: | Limaros |
Dann erhalte ich h(t,t)=1/2 für alle t>0, also inbesondere [mm] \lim_{t \to 0} [/mm] h(t,t)=1/2 und folglich ist f in (0,0) nicht differenzierbar. Richtig?
Und noch eine Frage zu derselben Funktion, um zu sehen, ob ich langsam ein bißchen durchsteige: Angenommen, ich würde nach der Richtungsdiffbarkeit von f fragen. Dann gebe ich mir ein [mm] (v_1,v_2) [/mm] mit [mm] \parallel (v_1,v_2) \parallel=1 [/mm] vor und mache folgenden Ansatz:
h(t)= [mm] \frac{f(tv_1, tv_2)-f(0,0)}{t}
[/mm]
mit t>0 und untersuche dann [mm] \lim_{t \to 0} [/mm] h(t).
Dann bekomme ich [mm] \lim_{t \to 0} h(t)=v_1v_2
[/mm]
Das hieße dann, daß f in jede Richtung in (0,0) richtungsdiffbar ist, aber eben nicht total diffbar.
Danke für Korrektur!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 Fr 07.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Alles richtig erkannt
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:25 Sa 08.05.2010 | | Autor: | Limaros |
So an der Aufgabe habe ich doch das ein oder andere noch kapiert. Das Forum hier ist wirklich eine tolle Unterstützung!
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