Differenzierbarkeit in x_0=0 < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:27 Mi 22.10.2008 | | Autor: | Gopal |
| Aufgabe | Für welche reellen Parameter [mm] \alpha>0 [/mm] existiert die erste Ableitung [mm] f'_\alpha(0) [/mm] der folgenden Funktion
[mm] f_\alpha(x)=\begin{cases} |x|^{\alpha} sin\bruch{1}{x}, & \mbox{für } x\not= 0 \\ 0, & \mbox{für } x = 0 \end{cases}
[/mm]
im Punkt [mm] x_0=0? [/mm] |
Hallo!
Die erste Ableitung in [mm] x_0=0 [/mm] existiert doch dann, wenn der [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{f(x)-f(x_o)}{x-x_0} [/mm] existiert, oder?
Es ist aber
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{f(x)-0}{x-0} =\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{|x|^{\alpha} sin\bruch{1}{x}}{x} \le \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{|x|^{\alpha}}{x}=\limes_{x\rightarrow 0}|x|^{\alpha-1}
[/mm]
Das sieht nun so aus, als würde für alle [mm] \alpha\not=1 [/mm] der limes 0 sein und somit existieren. Für [mm] \alpha= [/mm] 1 ist aber [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{|x| sin\bruch{1}{x}}{x}\le \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{|x|}{x}=\limes_{x\rightarrow 0}1=1
[/mm]
Kann mir bitte jemand sagen ob man das so machen kann?
Das hieße ja, dass für alle [mm] \alpha [/mm] >0 die Funktion diff'bar wäre.
Gruß
Gopal
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:04 Do 23.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Für welche reellen Parameter [mm]\alpha>0[/mm] existiert die erste
> Ableitung [mm]f'_\alpha(0)[/mm] der folgenden Funktion
>
> [mm]f_\alpha(x)=\begin{cases} |x|^{\alpha} sin\bruch{1}{x}, & \mbox{für } x\not= 0 \\ 0, & \mbox{für } x = 0 \end{cases}[/mm]
>
> im Punkt [mm]x_0=0?[/mm]
> Hallo!
>
> Die erste Ableitung in [mm]x_0=0[/mm] existiert doch dann, wenn der
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{f(x)-f(x_o)}{x-x_0}[/mm]
> existiert, oder?
Genau.
> Es ist aber
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{f(x)-0}{x-0} =\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{|x|^{\alpha} sin\bruch{1}{x}}{x} \le \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{|x|^{\alpha}}{x}=\limes_{x\rightarrow 0}|x|^{\alpha-1}[/mm]
Also erstens ist [mm] $$\frac{|x|^\alpha}{x}=\begin{cases}x^{\alpha-1},&\text{für }x>0\\-(-x)^{\alpha-1}&\text{für }x<0\end{cases}$$ [/mm] D.h. insbesondere, dass dein rechter Grenzwert für [mm] $\alpha=1$ [/mm] nicht existiert und zweitens kannst du nicht einfach so abschätzen... die Abschätzung gilt sicherlich, falls beide Grenzwerte existieren, ABER sagt die Existenz des rechten Grenzwertes überhaupt nichts darüber aus, ob auch der linke Grenzwert existiert.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:18 Do 23.10.2008 | | Autor: | Gopal |
Wenn das mit der Abschätzung so nicht geht, was wäre dann der bessere Ansatz?
> > Für welche reellen Parameter [mm]\alpha>0[/mm] existiert die erste
> > Ableitung [mm]f'_\alpha(0)[/mm] der folgenden Funktion
> >
> > [mm]f_\alpha(x)=\begin{cases} |x|^{\alpha} sin\bruch{1}{x}, & \mbox{für } x\not= 0 \\ 0, & \mbox{für } x = 0 \end{cases}[/mm]
>
> >
> > im Punkt [mm]x_0=0?[/mm]
> > Hallo!
> >
> > Die erste Ableitung in [mm]x_0=0[/mm] existiert doch dann, wenn der
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{f(x)-f(x_o)}{x-x_0}[/mm]
> > existiert, oder?
> Genau.
>
> > Es ist aber
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{f(x)-0}{x-0} =\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{|x|^{\alpha} sin\bruch{1}{x}}{x} \le \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{|x|^{\alpha}}{x}=\limes_{x\rightarrow 0}|x|^{\alpha-1}[/mm]
>
> Also erstens ist
> [mm]\frac{|x|^\alpha}{x}=\begin{cases}x^{\alpha-1},&\text{für }x>0\\-(-x)^{\alpha-1}&\text{für }x<0\end{cases}[/mm]
> D.h. insbesondere, dass dein rechter Grenzwert für
> [mm]$\alpha=1$[/mm] nicht existiert und zweitens kannst du nicht
> einfach so abschätzen... die Abschätzung gilt sicherlich,
> falls beide Grenzwerte existieren, ABER sagt die Existenz
> des rechten Grenzwertes überhaupt nichts darüber aus, ob
> auch der linke Grenzwert existiert.
>
> Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:21 Do 23.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Wenn das mit der Abschätzung so nicht geht, was wäre dann
> der bessere Ansatz?
Tja du musst den Differentialquotient schon konkret ausrechnen. Am besten berechnest du den links- und rechtsseitigen Grenzwert. Ich vermute (das ist jetzt wirklich nur Intuition), dass es nur für [mm] $\alpha>2$ [/mm] klappt.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:26 Do 23.10.2008 | | Autor: | Gopal |
1. [mm] \alpha=1:
[/mm]
[mm] x^0 sin\bruch{1}{x}=sin\bruch{1}{x} [/mm] und
[mm] -(-x)^0 sin\bruch{1}{x}=-sin\bruch{1}{x}
[/mm]
wegen
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\pm sin\bruch{1}{x_k}=0 [/mm] mit [mm] x_k=\bruch{1}{k\pi} [/mm]
und
[mm] \limes_{k'\rightarrow\infty}\pm sin\bruch{1}{x_k'}= \pm [/mm] 1 mit [mm] x_k'=\bruch{1}{2k'\bruch{\pi}{2}}
[/mm]
existiert [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\pm sin\bruch{1}{x} [/mm] nicht.
Also ist [mm] f_1 [/mm] nicht in [mm] x_0=0 [/mm] diff'bar.
2. [mm] \alpha\not= [/mm] 1:
rechtsseitiger Grenzwert (x>0):
[mm] 0=\lim_{x\to 0}-x^{\alpha-1}\le \lim_{x \to 0} x^{\alpha-1} sin\bruch{1}{x} \le \lim_{x\to 0}x^{\alpha-1}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lim_{x \to 0} x^{\alpha-1} sin\bruch{1}{x}=0 [/mm] (a)
linksseitiger Grenzwert (x<0):
[mm] 0=\lim_{x\to 0}(-x)^{\alpha-1}\ge \lim_{x \to 0} -(-x)^{\alpha-1} sin\bruch{1}{x} \ge \lim_{x\to 0}-(-x)^{\alpha-1}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lim_{x \to 0} -(-x)^{\alpha-1} sin\bruch{1}{x}=0 [/mm] (b)
(a) und(b) [mm] \Rightarrow \lim_{x \to 0}\bruch{|x|^{\alpha}sin\bruch{1}{x}}{x}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow f_\alpha [/mm] diff'bar in [mm] x_0=0 [/mm] für alle [mm] \alpha \in \IR \backslash [/mm] {1}
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Do 23.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> 1. [mm]\alpha=1:[/mm]
>
> [mm]x^0 sin\bruch{1}{x}=sin\bruch{1}{x}[/mm] und
>
> [mm]-(-x)^0 sin\bruch{1}{x}=-sin\bruch{1}{x}[/mm]
>
> wegen
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\pm sin\bruch{1}{x_k}=0[/mm] mit
> [mm]x_k=\bruch{1}{k\pi}[/mm]
>
> und
>
> [mm]\limes_{k'\rightarrow\infty}\pm sin\bruch{1}{x_k'}= \pm[/mm] 1
> mit [mm]x_k'=\bruch{1}{2k'\bruch{\pi}{2}}[/mm]
>
> existiert [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\pm sin\bruch{1}{x}[/mm]
> nicht.
richtig
>
> Also ist [mm]f_1[/mm] nicht in [mm]x_0=0[/mm] diff'bar.
>
>
> 2. [mm]\alpha\not=[/mm] 1:
>
> rechtsseitiger Grenzwert (x>0):
>
> [mm]0=\lim_{x\to 0}-x^{\alpha-1}\le \lim_{x \to 0} x^{\alpha-1} sin\bruch{1}{x} \le \lim_{x\to 0}x^{\alpha-1}=0[/mm]
[mm] 0=\lim_{x\to 0}-x^{\alpha-1} [/mm] ist falsch fuer [mm] \alpha-1<0
[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \lim_{x \to 0} x^{\alpha-1} sin\bruch{1}{x}=0[/mm]
> (a)
>
>
>
> linksseitiger Grenzwert (x<0):
>
> [mm]0=\lim_{x\to 0}(-x)^{\alpha-1}\ge \lim_{x \to 0} -(-x)^{\alpha-1} sin\bruch{1}{x} \ge \lim_{x\to 0}-(-x)^{\alpha-1}=0[/mm]
[mm] (-x)^{\alpha-1} [/mm] ist fuer [mm] \alpha \not\in \IN [/mm] nicht definiert.
d.h. du kannst nur den rechtseitigen GW so ausrechnen
>
> [mm]\Rightarrow \lim_{x \to 0} -(-x)^{\alpha-1} sin\bruch{1}{x}=0[/mm]
> (b)
>
>
> (a) und(b) [mm]\Rightarrow \lim_{x \to 0}\bruch{|x|^{\alpha}sin\bruch{1}{x}}{x}=0[/mm]
>
>
>
>
> [mm]\Rightarrow f_\alpha[/mm] diff'bar in [mm]x_0=0[/mm] für alle [mm]\alpha \in \IR \backslash[/mm]
> {1} Damit gilt deine Betrachtung nicht fuer [mm] \alpha<1.
[/mm]
Deine Schreibweise ist gewoehnungsbeduerftig, aber wohl nicht falsch.
fuer mich wuerde das so aussehen: wegen [mm] -1\le [/mm] sin(1/x) [mm] \le1
[/mm]
gilt:
fuer [mm] \alpha>1
[/mm]
[mm] -|x|^{\alpa-1}|\le x^{\alpa-1}*sin(1/x) \le |x|^{\alpa-1}
[/mm]
dann erst li und du hast links und rechtsseitig aufeinmal . dasselbe.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Do 23.10.2008 | | Autor: | Gopal |
> Hallo
> > 1. [mm]\alpha=1:[/mm]
> >
> > [mm]x^0 sin\bruch{1}{x}=sin\bruch{1}{x}[/mm] und
> >
> > [mm]-(-x)^0 sin\bruch{1}{x}=-sin\bruch{1}{x}[/mm]
> >
> > wegen
> >
> > [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\pm sin\bruch{1}{x_k}=0[/mm] mit
> > [mm]x_k=\bruch{1}{k\pi}[/mm]
> >
> > und
> >
> > [mm]\limes_{k'\rightarrow\infty}\pm sin\bruch{1}{x_k'}= \pm[/mm] 1
> > mit [mm]x_k'=\bruch{1}{2k'\bruch{\pi}{2}}[/mm]
> >
> > existiert [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\pm sin\bruch{1}{x}[/mm]
> > nicht.
> richtig
> >
> > Also ist [mm]f_1[/mm] nicht in [mm]x_0=0[/mm] diff'bar.
> >
> >
> > 2. [mm]\alpha\not=[/mm] 1:
> >
> > rechtsseitiger Grenzwert (x>0):
> >
> > [mm]0=\lim_{x\to 0}-x^{\alpha-1}\le \lim_{x \to 0} x^{\alpha-1} sin\bruch{1}{x} \le \lim_{x\to 0}x^{\alpha-1}=0[/mm]
>
> [mm]0=\lim_{x\to 0}-x^{\alpha-1}[/mm] ist falsch fuer [mm]\alpha-1<0[/mm]
>
> >
> > [mm]\Rightarrow \lim_{x \to 0} x^{\alpha-1} sin\bruch{1}{x}=0[/mm]
> > (a)
> >
> >
> >
> > linksseitiger Grenzwert (x<0):
> >
> > [mm]0=\lim_{x\to 0}(-x)^{\alpha-1}\ge \lim_{x \to 0} -(-x)^{\alpha-1} sin\bruch{1}{x} \ge \lim_{x\to 0}-(-x)^{\alpha-1}=0[/mm]
>
> [mm](-x)^{\alpha-1}[/mm] ist fuer [mm]\alpha \not\in \IN[/mm] nicht
> definiert.
> d.h. du kannst nur den rechtseitigen GW so ausrechnen
aber ich betrachte doch nur x<0 also ist -x doch positiv und somit habe ich auch keine Wurzeln aus negativen Zahlen.
letztlich hätte ich wohl einfach die Betragsstriche lassen können und mir die Fallunterscheidung sparen können.
> >
> > [mm]\Rightarrow \lim_{x \to 0} -(-x)^{\alpha-1} sin\bruch{1}{x}=0[/mm]
> > (b)
> >
> >
> > (a) und(b) [mm]\Rightarrow \lim_{x \to 0}\bruch{|x|^{\alpha}sin\bruch{1}{x}}{x}=0[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow f_\alpha[/mm] diff'bar in [mm]x_0=0[/mm] für alle [mm]\alpha \in \IR^+ \backslash[/mm] {1}
>Damit gilt deine Betrachtung nicht fuer [mm]\alpha<1.[/mm]
Ja, das sehe ich ein wegen
> [mm]0=\lim_{x\to 0}-x^{\alpha-1}[/mm] ist falsch fuer [mm]\alpha-1<0[/mm]
Aber wie komme ich nun noch zu einer Assage über [mm] 0<\alpha<1?
[/mm]
Gruß
Gopal
> Deine Schreibweise ist gewoehnungsbeduerftig, aber wohl
> nicht falsch.
> fuer mich wuerde das so aussehen: wegen [mm]-1\le[/mm] sin(1/x)
> [mm]\le1[/mm]
> gilt:
> fuer [mm]\alpha>1[/mm]
> [mm]-|x|^{\alpha-1}\le |x|^{\alpha-1}*sin(1/x) \le |x|^{\alpha-1}[/mm]
>
> dann erst li und du hast links und rechtsseitig aufeinmal . dasselbe.
> Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 Do 23.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Bemerkung fuer neg. x war falsch, da hast du recht.
fuer [mm] \alpha<1 [/mm] einfach zeigen, dass lim nicht existiert das geht doch aehnlich wie bei [mm] \alpha=0
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Do 23.10.2008 | | Autor: | Gopal |
sorry,ich bin mir mit den ganzen Grenzwertsachen sehr unsicher. Desshalb noch mal nachgefragt: geht das so:
(die Unterscheidung in x>0 und x<0 scheint mir doch wichtig um das x im Nenner des ursprünglichen Differenzenquotienten wegzubekommen)
[mm] 0<\alpha<1 \Rightarrow \alpha-1<0
[/mm]
[mm] \alpha-1:=-\alpha'
[/mm]
x>0
[mm] x^{\alpha-1}sin\bruch{1}{x}=\bruch{1}{x^{\alpha'}}sin\bruch{1}{x} [/mm]
und [mm] \lim_{x\to 0}\bruch{1}{x^{\alpha'}}sin\bruch{1}{x}=\infty
[/mm]
somit existiert kein rechtsseitiger Grenzwert im eigentlichen Sinne und [mm] f_\alpha [/mm] ist folglich nicht diff'bar für [mm] 0<\alpha<1
[/mm]
die andere Seite braucht man dann eigentlich gar nicht mehr, oder?
x<0
[mm] -(-x)^{\alpha-1}sin\bruch{1}{x}=\bruch{1}{-(-x)^{\alpha'}}sin\bruch{1}{x} [/mm]
und [mm] \lim_{x\to 0}\bruch{1}{x^{\alpha'}}sin\bruch{1}{x}=-\infty
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 Do 23.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du kannst, musst aber nicht links und rechseitig unterscheiden, da [mm] -(x^r) [/mm] und [mm] +x^r [/mm] fuer r>0 ja beide gegen 0 konv. deshalb kannst du gleich mit dem Betrag der Steigung rechnen.wenn der 0 wird ist ja alles gut.
Gruss leduart
|
|
|
|
