Differenzierbarkeit von Fkt < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:49 Di 06.11.2007 | | Autor: | Seppi |
| Aufgabe | Für welche x [mm] \in \IR [/mm] ist die folgende Funkion differenzierbar:
f(x) = |1- [mm] e^{x}| [/mm] |
Mein Gedankengang war folgendermaßen:
für x < 0 gilt: [mm] e^{x} [/mm] < 1 [mm] \Rightarrow 0<1-e^{x}<1
[/mm]
in diesem Bereich ist die Funkion stetig und differenzierbar.
für x > 0 gilt: [mm] e^{x} [/mm] > 1 [mm] \Rightarrow |1-e^{x}|>0 [/mm] und monoton steigend
in diesem Fall ist die Funktion auch stetig und differenzierbar.
ich hab also nur ein Problem mit dem Punkt x = 0
Wenn ich in diesem Punkt die Ableitung berechne komme ich auf den Ausdruck [mm] "\bruch{0}{0}"
[/mm]
Reicht dieses Argument, um zu sagen, dass die Funktion in x=0 nicht differenzierbar ist?
Und wenn nicht, wie sieht die Lösung aus?
Vielen Dank für die Mühen mit dieser Aufgabe, falls sie sich jemand macht:)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Fälligkeit gibt es übrigens keine. Ich weiß nur nicht, wie man das abstellt.
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> Für welche x [mm]\in \IR[/mm] ist die folgende Funkion
> differenzierbar:
>
> f(x) = |1- [mm]e^{x}|[/mm]
> Mein Gedankengang war folgendermaßen:
>
> für x < 0 gilt: [mm]e^{x}[/mm] < 1 [mm]\Rightarrow 0<1-e^{x}<1[/mm]
> in
> diesem Bereich ist die Funkion stetig und differenzierbar.
>
> für x > 0 gilt: [mm]e^{x}[/mm] > 1 [mm]\Rightarrow |1-e^{x}|>0[/mm] und
> monoton steigend
> in diesem Fall ist die Funktion auch stetig und
> differenzierbar.
>
> ich hab also nur ein Problem mit dem Punkt x = 0
> Wenn ich in diesem Punkt die Ableitung berechne komme ich
> auf den Ausdruck [mm]"\bruch{0}{0}"[/mm]
Ich glaube nicht, dass das herauskommen sollte. Der Grenzwert sollte aus einem anderen Grund nicht existieren: weil zwar die einseitigen Grenzwerte (einseitigen Ableitungen von $f(x)$ an der Stelle $x=0$) existieren, aber nicht gleich sind.
> Reicht dieses Argument, um zu sagen, dass die Funktion in
> x=0 nicht differenzierbar ist?
> Und wenn nicht, wie sieht die Lösung aus?
Ich würde an Deiner Stelle die einseitigen Ableitungen berechnen (dies sind einfach die Ableitungen für die Funktionen [mm] $f_1(x)=1-e^x$ [/mm] bzw. [mm] $f_2(x)=-(1-e^x)$ [/mm] die Du für [mm] $x\geq [/mm] 0$ bzw. [mm] $x\leq [/mm] 0$ aus der gegebenen Funktion $f(x)$ erhältst).
Also die rechtsseitige Ableitung:
[mm] [center]$\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=f_1'(0)=\ldots$[/center]
[/mm]
und die linksseitige Ableitung:
[mm] [center]$\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=f_2'(0)=\ldots$[/center]
[/mm]
Falls gilt: [mm] $f_1'(0)=f_2'(0)$ [/mm] existiert auch $f'(0)$ und es ist [mm] $f'(0)=f_1'(0)=f_2'(0)$, [/mm] andernfalls existiert $f'$ an der Stelle $x=0$ nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Di 06.11.2007 | | Autor: | Seppi |
Hallo somebody,
wenn ich [mm] \lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} [/mm] rechne, warum erhalte ich dann nicht den ausdruck "0/0"
Ich hab doch eine unendlich kleine Zahl, die ich durch eine weitere unendlich kleine Zahl dividiere, weil f(o+h)-f(0) eine sehr kleine Zahl darstellt und h selbst auch eine sehr kleine Zahl ist.
Ich steh irgendwie voll auf dem Schlauch, vielleicht hast du noch einen hinweis?
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Hallo Seppi!
Du hast ja schon Recht, dass dort jeweils der Ausdruck [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] entsteht.
Aber 1. ist das ein unbestimmter Ausdruck, der jeden Wert annehmen kann.
Und 2. entsteht dieser Ausdruck immer beim Differenzialquotient (einer differenzierbaren Funktion).
Mit diesem entstehenden Ausdruck kannst Du also keine Aussage über die Differenzierbarkeit an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ machen.
Von daher schlage ich auch die o.g. Lösungsvariante vor.
Gruß vom
Roadrunner
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