Differenzierbarkeit von komplexen Funktionen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Do 22.01.2004 | | Autor: | dizzie |
Hallo Ihr!
Ich steh' gerade total auf'm Schlauch.
Ich hab hier eine komplexe Funktion f(z) = x³y² + ix²y³ und soll nun sagen, wo die Funktion komplex differenzierbar und wo holomorph ist.
Ich hab versucht, die Differenzierbarkeit über die Cauchy-Riemannschen-DGL nachzuweisen, aber irgendwie komm' ich da nicht so richtig weiter.
Und wie zeige ich, wo die Funktion holomorph ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:58 Do 22.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo dizzie,
> Ich steh' gerade total auf'm Schlauch.
> Ich hab hier eine komplexe Funktion f(z) = x³y² + ix²y³
> und soll nun sagen, wo die Funktion komplex differenzierbar
> und wo holomorph ist.
Der Unterschied ist mir nicht klar, in meinen Augen ist die komplexe Diffbarkeit einer Funktion gleichbedeutend mit holomorph.
> Ich hab versucht, die Differenzierbarkeit über die
> Cauchy-Riemannschen-DGL nachzuweisen, aber irgendwie komm'
> ich da nicht so richtig weiter.
Ich versuche es mal:
[mm] f(z) = x^3y^2 + ix^2y^3 [/mm]
[mm] \frac{ \partial(Re f) }{ \partial x } = 3x^2y^2 [/mm]
[mm] \frac{ \partial(Re f) }{ \partial y } = x^3*2y [/mm]
[mm] \frac{ \partial(Im f) }{ \partial x } = 2xy^3 [/mm]
[mm] \frac{ \partial(Im f) }{ \partial y } = x^2*3y^2 [/mm]
Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen
[mm] \; \; \frac{ \partial(Re f) }{ \partial x } = \frac{ \partial(Im f) }{ \partial y } [/mm]
[mm] \wedge \; \frac{ \partial(Im f) }{ \partial x } = -\frac{ \partial(Re f) }{ \partial y } [/mm]
lauten dann für [mm] f [/mm]
[mm] \;\; 3x^2y^2 = x^2*3y^2 [/mm]
[mm] \wedge \; 2xy^3 = - x^3*2y [/mm]
Die erste Gleichung ist offenbar für alle x,y erfüllt, nur die zweite schränkt die Stellen der komplexen Diffbarkeit ein:
[mm] 2xy^3 = - x^3*2y [/mm]
[mm] \gdw xy^3 = - x^3y [/mm]
[mm] \gdw x=0 \vee y=0 \vee y^2 = - x^2 [/mm]
Die dritte Gleichung ist nicht erfüllbar, also ist f nur entlang der Koordinaten-Achsen komplex diffbar.
[mm] \gdw x=0 \vee y=0 [/mm]
> Und wie zeige ich, wo die Funktion holomorph ist?
s.o.
Alles Gute,
Marc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:26 Do 22.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo dizzie, hallo Marc,
ich nehme mir jetzt mal die Freiheit bei Marc eine Stelle zu kommentieren. Die Lösung ist grundsätzlich vollkommen richtig!
> Der Unterschied ist mir nicht klar, in meinen Augen ist die komplexe
> Diffbarkeit einer Funktion gleichbedeutend mit holomorph.
Eine Funktion heißt in einem Punkt holomorph, wenn es eine Umgebung um diesen Punkt gibt, auf der sie komplex differenzierbar ist.
> also ist f nur entlang der Koordinaten-Achsen komplex diffbar.
Richtig.
Und daher nirgends holomorph! Denn es gibt keine Umgebung, auf der f holomorph ist, da die Koordinatenachsen keine inneren Punkte haben.
Alles Gute
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:34 Do 22.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Stefan,
> ich nehme mir jetzt mal die Freiheit bei Marc eine Stelle
> zu kommentieren. Die Lösung ist grundsätzlich vollkommen
Dankeschön!
> Und daher nirgends holomorph! Denn es gibt keine Umgebung,
> auf der f holomorph ist, da die Koordinatenachsen keine
> inneren Punkte haben.
Genau das kam mir komisch vor, danke für die Klärung.
Viele Grüße,
Marc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:00 Do 22.01.2004 | | Autor: | dizzie |
Okay, vielen Dank Euch beiden!
Ich war mir ebenfalls nicht bewusst, dass es einen Unterschied zwischen "holomorph" und "differenzierbar" gibt, daher fand ich die Aufgabenstellung etwas irritierend.
Aber danke für die Klärung, ich hab jetzt alles verstanden und schaff' die restlichen Aufgaben hoffentlich auch alleine. ;)
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