Differenzierbarkeit zeigen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 Di 03.03.2015 | | Autor: | soulflow |
Hallo Matheraum-User,
wir behandeln in der Vorlesung gerade die Differenzierbarkeit im Mehrdimensionalen, davor haben wir uns mit der Stetigkeit beschäftigt.
Leider verstehe ich noch nicht so ganz, wie man eine Abbildung auf Differenzierbarkeit überprüft. Im Eindimensionalen habe ich das soweit verstanden.
Wir haben verschiedene Differenzierbarkeits-Begriffe eingeführt: partielle Differenzierbarkeit, Richtungsableitung, total differenzierbar.
Nehmen wir beispielsweise die Abbildung
[mm]f: \IR^2 \rightarrow \IR, (x,y) \rightarrow \wurzel{x^2+y^2} [/mm]
und die Fragestellung, ob diese differenzierbar ist.
Was kann ich jetzt unter "differenzierbar" verstehen?
Soll ich dann überprüfen ob sie total differenzierbar, differenzierbar in alle Richtungen oder partiell Differenzierbar ist? Soweit ich das verstanden habe, folgt aus total differenzierbar auch, dass sie differenzierbar in alle Richtungen und somit auch partiell Differenzierbar ist. Die Umkehrung gilt ja nicht. Würde es jetzt reichen zu zeigen, dass sie partiell Differenzierbar ist? Ich hoffe mir kann jemand Helfen, bin von dem ganzen ziemlich verwirrt und möchte nicht den Anschluss verlieren.
Viele Dank schonmal
Mfg:)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:47 Di 03.03.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo soulflow!
> Wir haben verschiedene Differenzierbarkeits-Begriffe
> eingeführt: partielle Differenzierbarkeit,
> Richtungsableitung, total differenzierbar.
Dann habt ihr auch mit Sicherheit Sätze dazu bewiesen.
> Würde es jetzt reichen zu zeigen, dass sie partiell Differenzierbar ist?
Nein, denn damit ist sie nicht unbedingt stetig und somit auch
nicht total differenzierbar. In der Regel ist das aber der An-
satz um total differenzierbare Funktionen zu identifizieren:
Man zeigt, dass die Funktion partiell differenzierbar ist und
die partiellen Ableitungen stetig. Wegen [mm] \wurzel{x^2+y^2}=\|(x,y)\| [/mm] liegt
es sehr Nahe $(x,y)=(0,0)$ genauer zu betrachten.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Di 03.03.2015 | | Autor: | soulflow |
Vielen Dank für deine Antwort. Ich habe das Skript vor mir liegen. Wir haben ziemlich viele Sätze bewiesen, einer davon besagt, dass f auf einer offenen Teilmenge D differenzierbar ist, wenn f stetig ist, die partiellen Ableitungen existieren und diese ebenfalls stetig sind. Das sollte ja gerade das sein, was du geschrieben hast.
Für das Beispiel, würde es dann reichen zu zeigen, dass:
[mm]f_x(x,y)= \bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2}}
[/mm]
und die partielle Ableitung in (0,0) nicht stetig ist.
Habe ich das so richtig verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 Di 03.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für deine Antwort. Ich habe das Skript vor mir
> liegen. Wir haben ziemlich viele Sätze bewiesen, einer
> davon besagt, dass f auf einer offenen Teilmenge D
> differenzierbar ist, wenn f stetig ist, die partiellen
> Ableitungen existieren und diese ebenfalls stetig sind.
dort stehen also HINREICHENDE BEDINGUNGEN für die Differenzierbarkeit.
(bei $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ ist [mm] $A\,$ [/mm] die hinreichende Bedingung).
> Das sollte ja gerade das sein, was du geschrieben hast.
Ja, man zeigt, dass die Voraussetzungen (A) erfüllt sind, um B einzusehen.
> Für das Beispiel, würde es dann reichen zu zeigen, dass:
> [mm]f_x(x,y)= \bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2}}
[/mm]
> und die partielle
> Ableitung in (0,0) nicht stetig ist.
> Habe ich das so richtig verstanden?
Nein. Denn oben stehen hinreichende Bedingungen (A) für die
Differenzierbarkeit (B).
Das heißt aber noch lange nicht, dass, wenn A nicht gilt, dann auch B nicht
gilt. ($A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ ist *nur* gleichwertig mit [mm] $(\neg [/mm] B) [mm] \Rightarrow (\neg [/mm] A)$).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 Di 03.03.2015 | | Autor: | soulflow |
Da hast du natürlich recht. Ich habe ja bereits in der Ausgangsfrage geschrieben, dass der Umkehrschluss nicht gilt, daher es Differenzierbare Funktionen gibt, die nicht stetig partiell differenzierbar sind. Wenn ich das Richtig verstehe, hilft mir der Satz nur um zu zeigen, dass eine Funktion differenzierbar ist. Da stellt sich mir die Frage, wie ich widerlegen kann, dass diese Funktion nicht differenzierbar ist? Ich glaube, ich stehe gerade auf dem Schlauch. Vielleicht klappt es ja morgen früh
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:31 Di 03.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo soulflow,
> Da hast du natürlich recht. Ich habe ja bereits in der
> Ausgangsfrage geschrieben, dass der Umkehrschluss nicht
> gilt, daher es Differenzierbare Funktionen gibt, die nicht
> stetig partiell differenzierbar sind.
genau.
> Wenn ich das Richtig
> verstehe, hilft mir der Satz nur um zu zeigen, dass eine
> Funktion differenzierbar ist.
"Nur" ist gut. 
> Da stellt sich mir die Frage,
> wie ich widerlegen kann, dass diese Funktion nicht
> differenzierbar ist? Ich glaube, ich stehe gerade auf dem
> Schlauch. Vielleicht klappt es ja morgen früh
Ja, schlaf' mal drüber. Oft fängt man an mit: Angenommen, sie wäre doch
differenzierbar...
Nebenbei (und dafür hilft auch der Schlaf): Würdest Du widerlegen, dass
die Funktion NICHT differenzierbar ist, so hättest Du die Diff'barkeit
gezeigt. (Doppelte Verneinung quasi.)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:00 Mi 04.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo soulflow,
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> um zu zeigen f ist (nicht) differenzierbar, solltest du
> dich fragen:
> Ist f stetig?
> JA NEIN
> [mm]\Rightarrow[/mm] f ist nicht total differenzierbar
> Ex. eine partielle Ableitung?
>
> JA NEIN [mm]\Rightarrow[/mm] f ist nicht total
> differenzierbar
> Sind diese Ableitungen stetig?
> JA NEIN [mm]\Rightarrow[/mm] Wende die Def.
> der totalen Differenzierbarkeit an.
> JA [mm]\Rightarrow[/mm] f total differenzierbar!
> Gilt zudem nicht, dass
> [mm]\partial_x\partial_yf=\partial_y\partial_xf,[/mm] dann ist f
> nicht total differenzierbar.
Da habe ich Zweifel !
Betrachten wir
[mm] $f:\IR^2 \to \IR$ [/mm] mit f(0,0) = 0 und
$f(x,y) = [mm] \frac{x^3y - xy^3}{x^2+y^2}$ [/mm] für $(x,y) [mm] \neq [/mm] (0,0). $
Die zweiten partiellen Ableitungen von f existieren auf ganz [mm] \IR^2, [/mm] und es gilt
[mm] $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} [/mm] (0,0) = 1 [mm] \ne [/mm] -1= [mm] \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} [/mm] (0,0) $
f ist aber in (0,0) total differenzierbar !
FRED
> Wenn
> [mm]\partial_x\partial_yf=\partial_y\partial_xf[/mm] gilt, dann
> frage dich, ob die partiellen Ableitungen stetig sind
> (s.o.).
> Diese Art Kette wird sehr viel schöner in
> ![[]](/images/popup.gif) Tutorium Analysis 2 und Lineare Algebra 2 von Modler und Kreh (S. 108)
> dargestellt. Die zugrundeliegenden Sätze sollten dir
> bekannt sein. Es ist lohnenswert die jeweiligen Sätze mit
> dem Schema zu verbinden!
>
> Hier
> findest du das Schema noch mal etwas schöner
> Ich hoffe, dass das ganze etwas Odnung rein bringt. Mir
> hat das Buch jedenfalls geholfen meine Gedanken etwas zu
> ordnen, als ich mich mit Ana 2 beschäftigt habe. 
>
> MfG
> Ladon
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:28 Do 05.03.2015 | | Autor: | Ladon |
Vielen Dank für deine Nachricht!
Ich schätze mal, dass Modler und Kreh auf den Satz von Schwarz anspielen (zumindest fällt mir bei Vertauschbarkeit partieller Ableitungen der Satz von Schwarz als sehr naheliegend ein):
Sei [mm] $U\subseteq \IR^n$ [/mm] offen und [mm] f:U\to\IR^m [/mm] zweimal stetig partiell differenzierbar. Dann [mm] $\partial_i\partial_jf(a)=\partial_j\partial_if(a)\forall a\in [/mm] U$, [mm] $i,j\in\{1,...,n\}$. [/mm]
Gilt nun [mm] $\partial_i\partial_jf(a)\neq\partial_j\partial_if(a)\mbox{ für ein } a\in [/mm] U$, dann ist [mm] f:U\to\IR^m [/mm] nicht zweimal stetig partiell differenzierbar.
Aber es genügt ja, dass f einmal stetig partiell differenzierbar ist; dann ist f total differenzierbar.
Und ich denke da liegt der Hund begraben!
Vielen Dank jedenfalls für deinen Hinweis. Ich werde die fragwürdige Aussage mal streichen.
LG
Ladon
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:42 Mi 04.03.2015 | | Autor: | fred97 |
Nun machen wir mal Nägel mit Köpfen.
Die partiellen Ableitungen obiger Funktion sind auf [mm] \IR^2 \setminus \{(0,0)\} [/mm] gegeben durch
[mm] f_x(x,y)=\bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2}} [/mm] und [mm] f_y(x,y)=\bruch{y}{\wurzel{x^2+y^2}}.
[/mm]
[mm] f_x [/mm] und [mm] f_y [/mm] sind ohne Zweifel auf [mm] \IR^2 \setminus \{(0,0)\} [/mm] stetig, somit ist f auf [mm] \IR^2 \setminus \{(0,0)\} [/mm] differenzierbar.
Nun zum Punkt (0,0): f ist in (0,0) weder nach x noch nach y partiell differenzierbar ! Zeige dies.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Mi 04.03.2015 | | Autor: | soulflow |
Vielen Dank für die ganzen Antworten. Konnte nicht eher antworten, da ich bis gerade eben Vorlesungen hatte.
Unser Prof. hat heute zufällig selbst gezeigt, dass die euklidische Norm in (0,0) nicht partiell Differenzierbar ist. Er hat nur gezeigt, dass die partielle Ableitung in (0,0) nicht exisitert, also eben:
[mm]f_x(x,y)= \limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h}[/mm]
Desweiteren hat er an einem Beispiel gezeigt, dass es eben auch total differenzierbare Funktionen gibt, die nicht stetig partiell differenzierbar sind. Warum reicht es dann hier nur zu zeigen, dass die Funktion in (0,0) nicht partiell differenzierbar ist, wenn er doch danach dann zeigt, dass es eben auch total differenzierbare funktionen gibt, die nicht partielle Differenzierbar sind? Oder habe ich hier meinen Prof. falsch verstanden?
Wäre es nicht auch möglich zu zeigen, dass [mm]h \rightarrow f((0,0)+(h,h))-f(0,0)[/mm] nicht durch eine lineare Abbildung approximiert werden kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 Mi 04.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für die ganzen Antworten. Konnte nicht eher
> antworten, da ich bis gerade eben Vorlesungen hatte.
> Unser Prof. hat heute zufällig selbst gezeigt, dass die
> euklidische Norm in (0,0) nicht partiell Differenzierbar
> ist. Er hat nur gezeigt, dass die partielle Ableitung in
> (0,0) nicht exisitert, also eben:
> [mm]f_x(x,y)= \limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h}[/mm]
> Desweiteren hat er an einem Beispiel gezeigt, dass es eben
> auch total differenzierbare Funktionen gibt, die nicht
> stetig partiell differenzierbar sind. Warum reicht es dann
> hier nur zu zeigen, dass die Funktion in (0,0) nicht
> partiell differenzierbar ist, wenn er doch danach dann
> zeigt, dass es eben auch total differenzierbare funktionen
> gibt, die nicht partielle Differenzierbar sind? Oder habe
> ich hier meinen Prof. falsch verstanden?
Ja, da hast Du ihn falsch verstanden !
Du musst unterscheiden zwischen "partiell differenzierbar" und "stetig partiell differenzierbar"
Es gelten folgende Implikationen:
stetig partiell differenzierbar [mm] \Rightarrow [/mm] (total) differenzierbar [mm] \Rightarrow [/mm] partiell differenzierbar.
Keine dieser Implikationen lässt sich umkehren.
FRED
> Wäre es nicht auch möglich zu zeigen, dass [mm]h \rightarrow f((0,0)+(h,h))-f(0,0)[/mm]
> nicht durch eine lineare Abbildung approximiert werden
> kann?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Mi 04.03.2015 | | Autor: | soulflow |
Vielen Dank, jetzt fange ich langsam an dahinter zu kommen. Unser Prof. hat da von "starker" und "schwacher" Differenzierbarkeit gesprochen. Ich versuche mal mein Glück:
Falls die partiellen Ableitungen exisitieren, also die Funktion in Richtung der Koordinatenachsen differenzierbar sind ist das die "schwächste" Form der Differenzierbarkeit. Danach sollte dann der Begriff der Richtungsableitung kommen, daher f ist in jede Richtung v und nicht nur in Richtung der Einheitsvektoren der Standardbasis differenzierbar. Zuletzt dann die (totale) Differenzierbarkeit, also: f lässt sich in einem Punkt, ähnlich wie im Eindimensionalen Fall, durch eine lineare Abbildung approximieren.
Falls f beidseitig differenzierbar ist, so ist sie auch partiell Differenzierbar und im Fall, dass f total differenzierbar ist, muss f natürlich auch beidseitig differenzierbar und somit partiell differenzierbar sein.
Habe ich die Implikationen so richtig verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Mi 04.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank, jetzt fange ich langsam an dahinter zu kommen.
> Unser Prof. hat da von "starker" und "schwacher"
> Differenzierbarkeit gesprochen. Ich versuche mal mein
> Glück:
> Falls die partiellen Ableitungen exisitieren, also die
> Funktion in Richtung der Koordinatenachsen differenzierbar
> sind ist das die "schwächste" Form der
> Differenzierbarkeit. Danach sollte dann der Begriff der
> Richtungsableitung kommen, daher f ist in jede Richtung v
> und nicht nur in Richtung der Einheitsvektoren der
> Standardbasis differenzierbar. Zuletzt dann die (totale)
> Differenzierbarkeit, also: f lässt sich in einem Punkt,
> ähnlich wie im Eindimensionalen Fall, durch eine lineare
> Abbildung approximieren.
Bis hier ist es O.K.
> Falls f beidseitig differenzierbar ist, so ist sie auch
> partiell Differenzierbar und im Fall, dass f total
> differenzierbar ist, muss f natürlich auch beidseitig
> differenzierbar und somit partiell differenzierbar sein.
> Habe ich die Implikationen so richtig verstanden?
Hä ? Was ist denn "beidseitig differenzierbar " ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:51 Mi 04.03.2015 | | Autor: | soulflow |
Dieser Begriff wurde im Zusammenhang mit der Richtungsableitung eingeführt:
Die Richtungsableitung im Punkt [mm]x_0[/mm] entlang v exisitert, wenn:
[mm]\limes_{h\rightarrow 0, h>0}\bruch{f(x_0+hv)-f(x_0)}{h} = \limes_{h\rightarrow 0, h<0}\bruch{f(x_0+hv)-f(x_0)}{h}[/mm]
Stimmen diese nicht überein ist f im Punkt nur (einseitig) differenzierbar, nicht jedoch beidseitig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:58 Mi 04.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> Dieser Begriff wurde im Zusammenhang mit der
> Richtungsableitung eingeführt:
>
> Die Richtungsableitung im Punkt [mm]x_0[/mm] entlang v exisitert,
> wenn:
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0, h>0}\bruch{f(x_0+hv)-f(x_0)}{h} = \limes_{h\rightarrow 0, h<0}\bruch{f(x_0+hv)-f(x_0)}{h}[/mm]
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> Stimmen diese nicht überein ist f im Punkt nur (einseitig)
> differenzierbar, nicht jedoch beidseitig.
Jetzt hast Du aber immer noch nicht gesagt, was "einseitig differenzierbar" bzw."beidseitig differenzierbar" bedeutet !!
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 Mi 04.03.2015 | | Autor: | soulflow |
Was genau mein Prof. mir damit sagen wollte, weiß ich selbst noch nicht. Der linke Ausdruck entspricht aber der linksseitigen Richtungsableitung und der rechte Ausdruck analog die rechtsseitige Richtungsableitung. Er meinte nur, dass die einseite Richtungsableitung in der Optimierung genutzt wird - wir aber nicht damit arbeiten werden. Deshalb werde ich das wohl erstmal getrost ignorieren und mich auf den Rest konzentrieren.
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