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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:14 Mo 25.06.2007 | | Autor: | Leader |
Hallo allerseits,
ich möchte für eine Funktion f(x) nachweisen, dass sie für alle x>0 differenzierbar ist. Die Stetigkeit habe ich bereits gezeigt, die Frage ist nun noch, wie ich die Differenzierbarkeit zeige.
Wenn ich das richtig sehe, dann gilt: Wenn die Gleichung f(x) = [mm] \bruch{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} [/mm] einen Grenzwert besitzt (wobei x gegen [mm] x_0 [/mm] läuft), dann ist sie in dem Punkt [mm] x_0 [/mm] differenzierbar. Alles gut und schön, nur möchte ich die Differenzierbarkeit nicht an einem Punkt, sondern überall nachweisen.
In der Wikipedia wird in einem Beispiel für [mm] x_0 [/mm] dann einfach 0 eingesetzt und x läuft gegen 0. Stimmt das, d. h. zeigt man so die Differenzierbarkeit einer Funktion an jedem Punkt? Und wenn ja: Warum zeigt man damit gerade die Differenzierbarkeit (ich versteh nicht ganz, warum man für [mm] x_0 [/mm] 0 einsetzen kann und damit nachweist, dass die Funktion überall differenzierbar ist).
Freundliche Grüße,
Leader.
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Morgen! :)
Grundsätzlich gilt: Ist eine Funktion f(x) stetig im Intervall [mm] a,b\in [/mm] I, dann ist sie "wahrscheinlich" differenzierbar. Richtig heißt's eigentlich: Jede in [mm] x_{0} [/mm] differenzierbare Funktion f ist in [mm] x_{0} [/mm] stetig. (Randbemerkung)
1) Angenommen, du hast eine Funktion, bei der du sofort "siehst", dass sie auf dem Intervall [mm] a,b\in [/mm] I stetig ist, zB [mm] f(x)=x^{2}, [/mm] dann reicht es normalerweise, wenn du sagst, es existieren keine Unstetigkeitsstellen. Fazit: Die Funktion ist auf dem Intervall [mm] f(x)=x^{2} [/mm] differenzierbar.
2) Wenn zB die Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{x} [/mm] gegeben ist, sieht man, dass bei x=0 der Funktionswert [mm] \infty [/mm] ist. Tipp: Untersuche die Stelle x=0 mit dem Limes. Nähere dich von beiden Seiten (dh x=0+ und x=0-) an. Wenn du von rechts kommst, ergibt das einen Grenzwert von [mm] +\infty, [/mm] wenn du von links kommst erhältst du den Grenzwert [mm] -\infty. [/mm] Hier hast du zB eine Unstetigkeitsstelle (Polstelle mit Vorzeichenwechsel). Polstellen allgemein sind ein heißer Tipp dafür, dass Unstetigkeit herrscht. Nun kannst du sagen, dass die Funktion f(x) überall differenzierbar ist, außer bei x=0. Musst du das Intervall [mm] (-\infty,+\infty) [/mm] betrachten, dann ist die Funktion differenzierbar, außer im Punkt x=0.
3) Gegeben ist die Funktion [mm] \bruch{1}{\sqrt{x}}. [/mm] Du weißt, dass [mm] \sqrt{x} [/mm] für negative x nicht definiert ist, dh x>0. Größer 0 deshalb, weil 1/0 ins Unendliche geht. Wenn du die Funktion auf dem Intervall [mm] (0,\infty) [/mm] untersuchen musst, so ist die Funktion überall differenzierbar. Warum das auf einmal? Nun, aufgrund der runden Klammer bei 0 kannst du das behaupten. Sie sagt aus, dass es sich hier um eine offene Menge handelt, dh die 0 wird nie erreicht. Und wenn die 0 nie erreicht wird, dann ...
Wie du siehst ist das Bestimmen der Diffbarkeit eine schöne Interpretationssache. Wenn du zB eine Funktion gegeben hast, dann versuche sie in mehrere Teile aufzuteilen. Danach analysiere jeden Teil davon.
Viel Erfolg!
PS: Allgemein ist die Diffbarkeit wichtig bei Kurvendiskussionen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:48 Mo 25.06.2007 | | Autor: | Leader |
Hallo Braunstein,
vielen Dank für deine umfangreiche Antwort. Also gibt es quasi kein "Allheil-Mittel" mit dem ich nachweisen kann, dass eine gesamte Funktion differenzierbar ist (macht auch irgendwie Sinn, dass das nicht so einfach geht).
Interessant ist vielleicht nur die Funktion f(x) = |x|, die ja überall stetig, aber bei x = 0 nicht differenzierbar ist. Ich schätze, so was muss man einfach wissen, weil sonst würde man sich wohl schnell dazu verleiten lassen zu sagen: Die Funktion ist überall differenzierbar, weil sie überall definiert ist.
Freundliche Grüße,
Leader.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:57 Mo 25.06.2007 | | Autor: | Braunstein |
Versuch mal bei f(x)=|x| den Punkt x=0 mit Hilfe des Limes anzunähern, und zwar von beiden Seiten. Wichtig:
[mm] f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \mbox{ >= 0} \\ -x, & \mbox{für } x \mbox{ <0} \end{cases}
[/mm]
Huch, unterschiedliche Grenzwerte ...
;)
Gruß, h.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:41 Mo 25.06.2007 | | Autor: | Braunstein |
Noch ein Tipp am Rande:
Wenn du eine Funktion und ein best. Intervall gegeben hast, und du in diesem Intervall einen Punkt findest, der nicht stetig ist (zB Polstelle), dann hast du bereits bewiesen, dass die Funktion im Punkt [mm] x_{0} [/mm] nicht diffbar ist.
Wenn du zB |x| gegeben hast, dann ist die Funktion schon diffbar, aber im Punkt x=0 nicht. Zu sagen, dass die gesamte Funktion nicht diffbar ist, ist meines Wissens nicht ganz so richtig. Denn sie ist es ja, nur nicht im Punkt x=0. Um das zu beweisen verwendest du den Limes.
Gruß, h.
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