www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Differentiation" - Differenzierbarkeitsbeweis
Differenzierbarkeitsbeweis < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Differenzierbarkeitsbeweis: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 03:45 Do 03.03.2011
Autor: kushkush

Aufgabe
Es sei [mm] $U=U_{\epsilon}(a)$ [/mm] und $f:U [mm] \rightarrow \IR$ [/mm] in [mm] $\dot{U}=U \backslash \{a\}$ [/mm] differenzierbar. Zeige: Wenn [mm] $\limes_{x\rightarrow a} [/mm] f'(x)$ existiert, dann ist $f$ in $a$ differenzierbar und es gilt [mm] $f'(a)=\limes_{x\rightarrow a}f'(x)$ [/mm]

Hallo,

Wofür steht das Epsilon bei [mm] $U_{\epsilon}? [/mm] Was bedeutet der Punkt über [mm] $\dot{U}$ [/mm] ?

Es wird angenommen dass f' differenzierbar ist (also die 2te ableitung existiert) und ich soll zeigen dass f ebenfalls differenzierbar sein muss und f' auch stetig.  

Wenn ich das mit dem Mittelwertsatz beweisen will, dann brauche ich ja die Stetigkeit schon, aber die muss ich zeigen...

Womit zeige ich das??

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt


Danke und Gruss

kushkush

        
Bezug
Differenzierbarkeitsbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:27 Do 03.03.2011
Autor: Fulla

Hallo kushkush,

> Es sei [mm]U=U_{\epsilon}(a)[/mm] und [mm]f:U \rightarrow \IR[/mm] in
> [mm]\dot{U}=U \backslash \{a\}[/mm] differenzierbar. Zeige: Wenn
> [mm]\limes_{x\rightarrow a} f'(x)[/mm] existiert, dann ist [mm]f[/mm] in [mm]a[/mm]
> differenzierbar und es gilt [mm]f'(a)=\limes_{x\rightarrow a}f'(x)[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> Wofür steht das Epsilon bei [mm]$U_{\epsilon}?[/mm] Was bedeutet
> der Punkt über [mm]\dot{U}[/mm][/mm] ?

[mm]U_\varepsilon(a)[/mm] soll wohl eine [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebung von [mm]a[/mm] sein, d.h. [mm]U_\varepsilon(a)=\{x\ |\ |x-a|<\varepsilon\}[/mm] und [mm]\dot{U}[/mm] ist quasi das "punktierte" [mm]U[/mm], also [mm]U[/mm] ohne den Punkt [mm]a[/mm].

> Es wird angenommen dass f' differenzierbar ist (also die
> 2te ableitung existiert) und ich soll zeigen dass f
> ebenfalls differenzierbar sein muss und f' auch stetig.  

Nein, es wird angenommen, dass [mm]f[/mm] differenzierbar in [mm]U\backslash \{a\}[/mm] ist. Du sollst zeigen, dass [mm]f[/mm] dann auch in [mm]a[/mm] differenzierbar ist, wenn der Grenzwert [mm]\lim_{x\to a}f^\prime(x)[/mm] existiert.

> Wenn ich das mit dem Mittelwertsatz beweisen will, dann
> brauche ich ja die Stetigkeit schon, aber die muss ich
> zeigen...
>
> Womit zeige ich das??

Da bin ich momentan überfragt...

> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
>
>
> Danke und Gruss
>  
> kushkush


Lieben Gruß,
Fulla


Bezug
        
Bezug
Differenzierbarkeitsbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:43 Do 03.03.2011
Autor: fred97


> Es sei [mm]U=U_{\epsilon}(a)[/mm] und [mm]f:U \rightarrow \IR[/mm] in
> [mm]\dot{U}=U \backslash \{a\}[/mm] differenzierbar. Zeige: Wenn
> [mm]\limes_{x\rightarrow a} f'(x)[/mm] existiert, dann ist [mm]f[/mm] in [mm]a[/mm]
> differenzierbar und es gilt [mm]f'(a)=\limes_{x\rightarrow a}f'(x)[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> Wofür steht das Epsilon bei [mm]$U_{\epsilon}?[/mm] Was bedeutet
> der Punkt über [mm]$\dot{U}$[/mm] ?
>
> Es wird angenommen dass f' differenzierbar ist (also die
> 2te ableitung existiert)

Davon steht oben nix !!!!

>  und ich soll zeigen dass f
> ebenfalls differenzierbar sein muss



Du sollst zeigen, dass f in a differenzierbar ist !!


>  und f' auch stetig.  

Davon steht oben ebenfalls nix !!!



>
> Wenn ich das mit dem Mittelwertsatz beweisen will, dann
> brauche ich ja die Stetigkeit schon, aber die muss ich
> zeigen...


?????ß

>
> Womit zeige ich das??

Ich habe den Eindruck, dass Du hier 2 Aufgaben durcheinander wirfst: die obige und eine andere ...


Teile also mal die Aufgabe mit

FRED

>  
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
>
>
> Danke und Gruss
>  
> kushkush


Bezug
                
Bezug
Differenzierbarkeitsbeweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:52 Do 03.03.2011
Autor: kushkush

Hallo,

< Teile also mal die Aufgabe mit


Das ist die unveränderte Aufgabenstellung.


< Fulla

Dann kann ich ja einsetzen: [mm] $\limes_{h\rightarrow 0} \frac{f(a+x)-f(a)}{h}=f'(a+h)$ [/mm]

und damit wäre alles gezeigT?

Danke


Gruss

kushkush

Bezug
                        
Bezug
Differenzierbarkeitsbeweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:57 Fr 04.03.2011
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> < Teile also mal die Aufgabe mit
>
>
> Das ist die unveränderte Aufgabenstellung.
>
>
> < Fulla
>  
> Dann kann ich ja einsetzen: [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \frac{f(a+x)-f(a)}{h}=f'(a+h)[/mm]
>
> und damit wäre alles gezeigT?


  nichts hast Du gezeigt

FRED

>
> Danke
>  
>
> Gruss
>  
> kushkush


Bezug
        
Bezug
Differenzierbarkeitsbeweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:49 Fr 04.03.2011
Autor: Walde

Hi Leute,

ich muss selbst mal zu der Aufgabe ne Frage stellen:

Kann es sein, dass die Stetigkeit von f in a als Vorraussetzung noch fehlt?

Betrachtet zB $a=0$, $U=(-1;1)$, [mm] \dot{U}=(-1;0)\cup(0;1) [/mm] und

[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{falls }x\le 0 \\ 1, & \mbox{falls } x>0 \end{cases} [/mm]

f ist auf [mm] \dot{U} [/mm] diffbar und $f'(x)=0$ für [mm] x\in\dot{U}, [/mm] d.h. [mm] \limes_{x\to 0}f'(x)=\limes_{x\to 0}0=0 [/mm] exisitert.

Aber f ist nicht diffbar in 0.

Oder hab ich ein Brett vorm Kopf?

Lg walde

Bezug
                
Bezug
Differenzierbarkeitsbeweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Fr 04.03.2011
Autor: steppenhahn

Hallo,

ich würde dir zustimmen.

Viele Grüße,
Stefan

Bezug
                
Bezug
Differenzierbarkeitsbeweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:01 Di 09.08.2011
Autor: kushkush

Aufgabe
Es sei [mm] $U=U_{\epsilon}(a)$, [/mm] $f:U [mm] \rightarrow \IR$ [/mm] stetig und $f:U [mm] \rightarrow \IR$ [/mm] in [mm] $\dot{U}=U \backslash \{a\}$ [/mm] differenzierbar. Zeige: Wenn [mm] $\limes_{x\rightarrow a} [/mm] f'(x)$ existiert, dann ist $f$ in $a$ differenzierbar und es gilt [mm] $f'(a)=\limes_{x\rightarrow a}f'(x)$ [/mm]




Hallo,


> Ohne Stetigkeit kein Beweis.


Angenommen es sei auf $f: U [mm] \rightarrow \IR$ [/mm] stetig. Sei [mm] $(k_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] eine beliebige Folge mit [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty} k_{n} [/mm] = 0$ und  [mm] $0\ne k_{n} \forall [/mm] \ n [mm] \in \IN$. [/mm] Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung existiert für jedes [mm] $n\in \IN$ [/mm] ein [mm] $x_{n} [/mm] \ [mm] \in ]a,a+k_{n}[ [/mm] $ so dass dann gilt:

                   [mm] $\frac{f(a+k_{n})-f(a)}{k_{n}} [/mm] =  [mm] f'(x_{n})$ [/mm]


Da [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty} k_{n} [/mm] = 0$ und [mm] $x\in [/mm] ]a, [mm] a+k_{n} [/mm] [$ ist [mm] $lim_{n\rightarrow \infty} x_{n} [/mm] = a$ und damit :

                   [mm] $\lim_{n \rightarrow \infty} f'(x_{n}) [/mm] = [mm] \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{f(a+k_{n})-f(x)}{k_{n}} [/mm] $



Mit [mm] $(k_{n})_{n\in \IN}$ [/mm] beliebig [mm] $lim_{n\rightarrow \infty} {k_{n}}= [/mm] 0 , [mm] k_{n} \ne [/mm] 0 \ [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN$ [/mm]

folgt

                   $ [mm] \lim_{x\rightarrow a } [/mm] f'(x)= f'(a) $




Wäre das so richtig??






Gruss und Dank
kushkush

Bezug
                        
Bezug
Differenzierbarkeitsbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:05 Di 09.08.2011
Autor: Dath

Ja. Bloß solltest du am Ende aufpassen - es ist zwar klar, dass du den Limes von f(x) mit x -> a nimmst, aber die Bezeichnungen waren anders. Ansonsten stimmt das.

Bezug
                                
Bezug
Differenzierbarkeitsbeweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:06 Di 09.08.2011
Autor: kushkush

Hallo Dath,


> Ja , pass auf die Bezeichnungen auf


OK.


Danke sehr!



Gruss
kushkush

Bezug
        
Bezug
Differenzierbarkeitsbeweis: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 04:20 Sa 05.03.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de