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| Aufgabe | Betrachtet man die Funktion [mm] g:\IR \to \IR
[/mm]
g(x):= [mm] g(x):=\begin{cases} x^2sin(\bruch{1}{x)}, & x\not=0 \mbox \\ 0, & x=0 \end{cases}
[/mm]
a) Zeige: Die Funktion ist differenzierbar und geben Sie g´an
b) Untersuche g´auf Stetigkeit |
Wie zeige ich denn, dass die Funktion differenzierbar ist? Reicht es dafür einfach nur die Ableitung g´zu bilden?
g´(x)= [mm] 2x*sin(\bruch{1}{x})+ x^2*cos(\bruch{1}{x)}
[/mm]
aber ich glaube so ist das falsch, ich müsste die kettenregel anwenden oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:09 Sa 16.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Betrachtet man die Funktion [mm]g:\IR \to \IR[/mm]
>
> g(x):= [mm]g(x):=\begin{cases} x^2sin(\bruch{1}{x}), & x\not=0 \\ 0, & x=0 \end{cases}[/mm]
>
> a) Zeige: Die Funktion ist differenzierbar und geben Sie
> g´an
> b) Untersuche g´auf Stetigkeit
> Wie zeige ich denn, dass die Funktion differenzierbar ist?
> Reicht es dafür einfach nur die Ableitung g´zu bilden?
>
> g´(x)= [mm]2x*sin(\bruch{1}{x})+ x^2*cos(\bruch{1}{x})[/mm]
>
> aber ich glaube so ist das falsch, ich müsste die
> kettenregel anwenden oder?
Ja, das auch: der erste Summand ist richtig, der zweite falsch. Aber das ist nur einer der beiden wesentlichen Punkte. Indem du die Ableitungsregeln anwendest, setzt du bereits voraus, dass die Funktion differenzierbar ist. Du musst nachweisen, dass der Grenzwerte des Differenzenquotienten
[mm] \lim_{x\to x_0} \bruch{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} [/mm]
existiert.
Für [mm] $x\not=0$ [/mm] brauchst du eigentlich gar nichts zu tun, denn die Funktion $g(x)$ entsteht durch Komposition von Funktionen wie [mm] $x^2$, $\sin [/mm] x$ und [mm] $\bruch{1}{x}$, [/mm] die für [mm] $x\not=0$ [/mm] alle differenzierbar sind. Damit darfst du für [mm] $x\not=0$ [/mm] die Ableitungsregeln anwenden (diesmal mit Kettenregel).
Es bleibt aber noch der Fall $x=0$ zu überprüfen:
[mm] \lim_{x\to 0} \bruch{g(x)-g(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0} \bruch{x^2\sin\bruch{1}{x} - 0}{x-0} = \lim_{x\to 0} \bruch{x^2\sin\bruch{1}{x}} {x} = \lim_{x\to 0} x\sin\bruch{1}{x}[/mm] .
Dieser Grenzwert ist dann der Wert der Ableitung am Punkt $x=0$ (wenn er existiert).
Zur Berechnung dieses Grenzwerts solltest du die Tatsache ausnutzen, dass [mm] $|\sin [/mm] x| [mm] \le [/mm] 1$ für alle möglichen Wete von x ist.
Ein Tipp: male dir die Funktion $g(x)$ doch auf; du wirst sehen, dass sie in der Nähe des Punktes $x=0$ wild oszilliert.
Viele Grüße
Rainer
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okay, ich habe mir die Funktion mal aufgemalt und man sieht, das sie in Richtung (0,0) ziemlich "springt"
Also einen richtigen Grenzwert konnte ich auch nicht feststellen.
Jetzt habe ich mich nochmal an der Ableitung probiert:
g´(x):= [mm] x^2*cos((\bruch{1}{x})*\bruch{1}{x^2}*2x*sin(\bruch{1}{x})
[/mm]
= [mm] cos((\bruch{1}{x})*\bruch{1}{x^2}*2x*sin(\bruch{1}{x})
[/mm]
ich hoffe, das das jetzt so stimmt?
Oder kann man das noch zusammen fassen?
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> okay, ich habe mir die Funktion mal aufgemalt und man
> sieht, das sie in Richtung (0,0) ziemlich "springt"
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> Also einen richtigen Grenzwert konnte ich auch nicht
> feststellen.
>
> Jetzt habe ich mich nochmal an der Ableitung probiert:
>
> g´(x):=
> [mm]x^2*cos((\bruch{1}{x})*\bruch{1}{x^2}*2x*sin(\bruch{1}{x})[/mm]
>
> = [mm]cos((\bruch{1}{x})*\bruch{1}{x^2}*2x*sin(\bruch{1}{x})[/mm]
>
> ich hoffe, das das jetzt so stimmt?
> Oder kann man das noch zusammen fassen?
Hallo,
das stimmt natürlich nicht.
Du hast ein Produkt zu integrieren, also ist doch aufgrund der Produktregel zu erwarten, daß irgendwo Terme sind, die durch + oder - verbunden werden.
Möglicherweise sind das nur ein paar Tippfehler in Deiner ersten Zeile.
Was dann allerdings zur nächsten Zeile hin passiert, überfordert meine Fantasie bzw. mein Vermögen zur Fehlernalyse komplett.
Gruß v. Angela
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ja, ich habe mich nur vertippt. es müsste natürlich heißen:
[mm] x^2*cos(\bruch{1}{x})*\bruch{1}{x^2}+2x*sin(\bruch{1}{x})
[/mm]
so und im ersten Term habe ich in schritt 2 [mm] x^2 [/mm] und [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] zusammengefasst...und es müsste eine 1 bei raus kommen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 Sa 16.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathegirl!
Das hat schon starke Ähnlichkeit mit der Ableitung, aber nur Ähnlichkeit.
Überprüfe nochmals die innerste Ableitung von [mm] $\bruch{1}{x}$ [/mm] .
Welches Vorzeichen hat die entsprechende Ableitung?
Gruß
Loddar
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ich hab wohl das Minus vergessen *schäm* ...also kommt das Minuszeichen vor den cosinus!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 Sa 16.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Genau ...
Gruß
Loddar
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...Endlich!!! 
Aber eine Frage habe ich noch zum Grenzwert...den bekomme ich nämlich nicht richtig heraus...auch beim zeichnen sehe ich, dass er Richtung 0 stark "springt"
Grüße
Mathegirl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:54 Sa 16.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathegirl!
Siehe mal hier; da wurde exakt derselbe Grenzwert bereits behandelt.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Sa 16.01.2010 | | Autor: | johnyan |
hier nochmal den wichtigsten teil aus dem querverweis
$ -|x| [mm] \le [/mm] x [mm] \sin(1/x) \le [/mm] |x| $
da 0 [mm] \le [/mm] |sin x| [mm] \le [/mm] 1
da x gegen 0 gehen soll, hätten wir also $ -0 [mm] \le [/mm] x [mm] \sin(1/x) \le [/mm] 0 $, und dann kann der mittlere ausdruck nur noch 0 sein.
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okay, also ist
[mm] \limes_{x\rightarrow0}x^2sin(\bruch{1}{x})= [/mm] 0
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Hallo Mathegirl,
> okay, also ist
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> [mm]\limes_{x\rightarrow0}x^2sin(\bruch{1}{x})=[/mm] 0 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 02:11 Mi 26.01.2011 | | Autor: | yuppi |
Hallo,
habe die Aufgabe nun nachgearbeitet und verstehe nicht so ganz wie man das mit diesen Sandwich - Lemma sieht.
Der Querverweis sagt ja aus, das über l Hospital das selbe rauskommt. Aber da betrachtet man ja die erste Ableitung als Quotient und die wird ja dann noch abgeleitet. Kann das dann noch immer den selben Grenzwert ergeben ?
Also Bezug : Querverweis..
Gruß yuppi
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> Hallo,
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> habe die Aufgabe nun nachgearbeitet und verstehe nicht so
> ganz wie man das mit diesen Sandwich - Lemma sieht.
Hallo,
wir wollen nicht den ganzen Thread durcharbeiten und auch noch nach Querverweisen suchen...
Stelle doch jetzt zunächst einmal dar, was Du gerade untersuchst, wie weit Du gekommen bist und mit welchen Ergebnissen.
Welchen GW möchtest Du gerade weshalb berechnen,
wie weit kommst Du mit der Berechnung? (Vorrechnen)
An welcher Stelle genau scheiterst Du?
Dies mal deutlich herauszuarbeiten, ist kein Fehler, es kann auch Dir nur nützen - auch wenn Du ein wenig tippen mußt.
Dafür müssen sich dann Deine Helfer weniger anstrengen.
> Der Querverweis sagt ja aus, das über l Hospital das selbe
> rauskommt. Aber da betrachtet man ja die erste Ableitung
> als Quotient und die wird ja dann noch abgeleitet. Kann das
> dann noch immer den selben Grenzwert ergeben ?
Ja. Das ist halt die Regel von l'Hospital.
Wenn Du's nicht glaubst, schnapp Dir ein Buch und arbeite den Beweis durch.
Gruß v. Angela
> Also Bezug : Querverweis..
>
> Gruß yuppi
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