Differenzieren und integrieren < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:22 Mi 30.04.2014 | | Autor: | ito |
| Aufgabe | X sei eine stetige ZV mit Dichte f(x). Ich möchte für einen Beweis folgende Identität einsehen...
[mm] \bruch{\partial}{\partial c}\integral_{-\infty}^{c}{xf(x) dx}=cf(c) [/mm] |
ist das die einfache Anwendung des Hauptsatzes der Integral- und Differentialrechnung oder muss man das Integral vllt. mit der partiellen Integration erst umschreiben um es dann zu sehen.
Vielen Dank und viele Grüße
ito
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> X sei eine stetige ZV mit Dichte f(x). Ich möchte für
> einen Beweis folgende Identität einsehen...
> [mm]\bruch{\partial}{\partial c}\integral_{-\infty}^{c}{xf(x) dx}=cf(c)[/mm]
>
> ist das die einfache Anwendung des Hauptsatzes der
> Integral- und Differentialrechnung oder muss man das
> Integral vllt. mit der partiellen Integration erst
> umschreiben um es dann zu sehen.
> Vielen Dank und viele Grüße
> ito
Hallo ito und herzlich
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Antwort:
Ersteres trifft zu: einfache Anwendung des Hauptsatzes.
benötigt wird nur noch, dass x*f(x) stetig ist, und das
ist offensichtlich auch der Fall.
LG , Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:42 Fr 02.05.2014 | | Autor: | ito |
wofür die Stetigkeit?
ich denke mal wegen der unteren Grenze...
$ [mm] \bruch{\partial}{\partial x }\integral_{-\infty}^{x}{tf(t) dt}=\bruch{\partial}{\partial x}\limes_{a\rightarrow\infty}\integral_{-a}^{x}{tf(t) dt}=\limes_{a\rightarrow\infty}\bruch{\partial}{\partial x}\integral_{-a}^{x}{tf(t) dt}=\limes_{a\rightarrow\infty}xf(x)=xf(x)
[/mm]
damit man die Ableitung und den Grenzprozess vertauschen darf?!
oder an welcher stelle wird die Steigkeit benötigt?
vg ito
|
|
|
| |
|
> wofür die Stetigkeit?
>
> ich denke mal wegen der unteren Grenze...
> $ [mm]\bruch{\partial}{\partial x }\integral_{-\infty}^{x}{tf(t) dt}=\bruch{\partial}{\partial x}\limes_{a\rightarrow\infty}\integral_{-a}^{x}{tf(t) dt}=\limes_{a\rightarrow\infty}\bruch{\partial}{\partial x}\integral_{-a}^{x}{tf(t) dt}=\limes_{a\rightarrow\infty}xf(x)=xf(x)[/mm]
>
> damit man die Ableitung und den Grenzprozess vertauschen
> darf?!
>
> oder an welcher stelle wird die Steigkeit benötigt?
>
> vg ito
Hallo ito
Den Hinweis betr. Stetigkeit habe ich eigentlich nur
angefügt, weil daraus die Existenz des Integrals folgt.
Außerdem war ja von Anfang an von einer stetigen
Verteilung die Rede.
Die Sache mit der Untergrenze [mm] -\infty [/mm] habe ich dabei
allerdings noch gar nicht beachtet.
Eigentlich sollte man sich also noch überlegen, ob
und weshalb man denn annehmen darf, dass es eine
gewisse Zahl [mm] a\in\IR [/mm] geben muss, so dass
[mm] $\integral_{-\infty}^{a}t*f(t)\ [/mm] dt$
überhaupt endlich wird.
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Sa 17.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Mi 05.11.2014 | | Autor: | ito |
| Aufgabe | Berechne das folgenende Integral
[mm] \frac{\partial}{\partial c}\integral_{-\infty}^{c}{(c-x)f(x) dx} [/mm] |
Ich versuche es noch einmal...
Wer kann mir die folgende Identität erläutern, es soll wohl die partielle Integration angewendet worder sein.
[mm] \frac{\partial}{\partial c}\integral_{-\infty}^{c}{(c-x)f(x) dx}=(c-x)f(x)|^{c}_{-\infty} [/mm] + [mm] \integral_{-\infty}^{c}{\frac{\partial}{\partial c}(c-x)f(x) dx}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:59 Mi 05.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechne das folgenende Integral
> [mm]\frac{\partial}{\partial c}\integral_{-\infty}^{c}{(c-x)f(x) dx}[/mm]
>
> Ich versuche es noch einmal...
> Wer kann mir die folgende Identität erläutern, es soll
> wohl die partielle Integration angewendet worder sein.
> [mm]\frac{\partial}{\partial c}\integral_{-\infty}^{c}{(c-x)f(x) dx}=(c-x)f(x)|^{c}_{-\infty}[/mm] + [mm]\integral_{-\infty}^{c}{\frac{\partial}{\partial c}(c-x)f(x) dx}[/mm]
ich finde die Formel komisch - stimmt sie? Denn [mm] $\frac{\partial}{\partial c}$ [/mm] in ein
Integral zu ziehen, dessen obere Grenze [mm] $c\,$ [/mm] ist???
Vielleicht kann man aber sowas machen?
[mm] $\frac{\partial}{\partial c}\integral_{-\infty}^{c}{(c-x)f(x) dx}=\frac{\partial}{\partial c}\left(c*\integral_{-\infty}^{c}{f(x) dx}\right)-\frac{\partial}{\partial c} \int_{-\infty}^c [/mm] xf(x)dx$
[mm] $=\integral_{-\infty}^{c}f(x) dx+c*\frac{\partial}{\partial c}\int_{-\infty}^c f(x)dx-\frac{\partial}{\partial c} \int_{-\infty}^c [/mm] xf(x)dx$
[mm] $=\integral_{-\infty}^{c}f(x) dx+c*f(\red{\,c\,})-\red{\,c\,}f(\red{\,c\,})$
[/mm]
[mm] $=\integral_{-\infty}^{c}f(x) [/mm] dx$
Dabei habe ich mir aber keine Gedanken über "Erlaubnis des Aufsplittens"
gemacht - sondern einfach mal nur blind drauf losgerechnet. Eventuell
kannst Du meine Schritte ja begründen...?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Mi 05.11.2014 | | Autor: | ito |
vielen Dank schon mal!
ich hatte mich auf die partiellen Integration versteift...
[mm] \frac{\partial}{\partial c}\integral_{-\infty}^{c}{(c-x)f(x) dx}=\frac{\partial}{\partial c}\left(c\cdot{}\integral_{-\infty}^{c}{f(x) dx}\right)-\frac{\partial}{\partial c} \int_{-\infty}^c{xf(x)dx}
[/mm]
sollte erlaubt sein, da das Integral linear ist. dann müsste aber gelten
[mm] \integral_{-\infty}^{c}f(x) dx+c\cdot{}\frac{\partial}{\partial c}\int_{-\infty}^c{ f(x)dx}-\frac{\partial}{\partial c} \int_{-\infty}^c{xf(x)dx}=
[/mm]
[mm] \integral_{-\infty}^{c}{f(x)dx}+cf(c)-cf(c),
[/mm]
oder?
Das Ergebnis sollte auch rauskommen...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:51 Mi 05.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> vielen Dank schon mal!
> ich hatte mich auf die partiellen Integration
> versteift...
> [mm]\frac{\partial}{\partial c}\integral_{-\infty}^{c}{(c-x)f(x) dx}=\frac{\partial}{\partial c}\left(c\cdot{}\integral_{-\infty}^{c}{f(x) dx}\right)-\frac{\partial}{\partial c} \int_{-\infty}^c{xf(x)dx}[/mm]
>
> sollte erlaubt sein, da das Integral linear ist.
das ist klar, Du musst kurz aber auch die Existenz der beiden Integrale
rechterhand begründen!
> dann müsste aber gelten
> [mm]\integral_{-\infty}^{c}f(x) dx+c\cdot{}\frac{\partial}{\partial c}\int_{-\infty}^c{ f(x)dx}-\frac{\partial}{\partial c} \int_{-\infty}^c{xf(x)dx}=[/mm]
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{c}{f(x)dx}+cf(c)-cf(c),[/mm]
> oder?
Da sind auf jeden Fall noch Rechenfehler in meiner Rechnung - es gilt ja
[mm] $\frac{d}{dc}\int_{a}^c f(t)dt=f(c)\,,$
[/mm]
nicht [mm] $f(t)\,$ [/mm] ... ich korrigiere das mal, schau' gleich nochmal in die korrigierte
alte Antwort.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:00 Mi 05.11.2014 | | Autor: | ito |
ja genau, hatte ich auch schon gesehen und in meiner vorherigen Frage berücksichtigt...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:08 Mi 05.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ja genau, hatte ich auch schon gesehen und in meiner
> vorherigen Frage berücksichtigt...
okay, ich hab's mir gerade nochmal angeguckt. Ich muss sowas aber immer
auch selber nochmal rechnen (auch, damit ich solche blöden Fehler nicht
aus Versehen in meinem Kopf spreichere ^^).
Also: Ja, Deine Korrektur war korrekt. Gut aufgepasst. 
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
