Differenzvektor/Skalarprodukt < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Thema Differenzvektor/Skalarprodukt:
Was sollte man im Umgang damit beachten ?
Grüße
masaat
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 Mi 06.12.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo masaat,
du müsstest mit deiner Fragestellung noch ein bisschen genauer werden - ich kann damit nicht so viel anfangen ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
gibt es bei irgendeiner Formulierung Probleme, oder einer Aufgabe?
Liebe Grüße
Herby
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Mi 06.12.2006 | | Autor: | Fulla |
Hi masaat234!
Zum Differenzvektor:
Für zwei Punkte A und B im Raum (z.B. [mm] \IR^3) [/mm] ist [mm] \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A} [/mm] der Vektor von A nach B (ander herum ist [mm] \overrightarrow{BA} [/mm] der Vektor von B nach A).
Der Betrag von [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] ist der ![[]](/images/popup.gif) euklidische Abstand der Punkte A und B.
Beispiel:
A=(-1,4,3), B=(5,6,12)
[mm] \overrightarrow{AB}=\vektor{6\\2\\9}
[/mm]
[mm] |\overrightarrow{AB}|=\wurzel{36+4+81}=\wurzel{121}=11
[/mm]
Zum Skalarprodukt:
Für zwei Vektoren [mm] \overrightarrow{a} [/mm] und [mm] \overrightarrow{b} [/mm] definiert man das (Standard-) Skalarprodukt als:
[mm] \overrightarrow{a}*\overrightarrow{b}=<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=|\overrightarrow{a}|*|\overrightarrow{b}|*\cos(\measuredangle(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}))
[/mm]
Praktisch multipliziert man die Einträge der beiden Vektoren komponentenweise und addiert dann alles.
Beispiel:
Die Punkte aus dem obigen Beispiel kann man auch als Vekoren interpretieren:
[mm] \overrightarrow{a}=\vektor{-1\\4\\3}, \overrightarrow{b}=\vektor{5\\6\\12}
[/mm]
Dann ist [mm] \overrightarrow{a}*\overrightarrow{b}=((-1)*5)+(4*6)+(3*12)=-5+24+36=55
[/mm]
Stellt man die Formel nach dem Winkel um, erhält man:
[mm] \cos\measuredangle(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\bruch{\overrightarrow{a}*\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|*|\overrightarrow{b}|}
[/mm]
Beispiel:
Wieder mit den gleichen Vektoren: [mm] \cos(\alpha)=\bruch{55}{\wurzel{26}*\wurzel{205}}\approx0,7533...
[/mm]
[mm] \Rightarrow\alpha\approx41,12° [/mm]
Wichtig wäre hier noch, dass das Skalarprodukt verschwindet (d.h. gleich null wird), wenn die Vektoren einen rechten Winkel bilden, denn [mm] \cos(90°)=0 [/mm] .
So, mehr fällt mir nicht dazu ein. Wenn du noch konkrete Fragen hast, schreib einfach nochmal.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:29 Sa 09.12.2006 | | Autor: | masaat234 |
Hallo und auch herzlichen Dank an Fulla und Herby,
hab den Thread schon fast vergessen, Tschuldigung
Worauf ich hinaus wollte war im Bezug auf die Orientierung bei der Differenzvektorbildung: Woran kann ich mich da orientieren, damit ich nicht den grob gesagt "gegenteiligen Differenzvektor bilde ohne es zu merken"
Nochmal anders, der Differenzvektor befindet sich ja immer zwischen zwei Vektoren (Punkten), nur, wie weiss ich was anfang und was ende ist, nicht das man da was beim berechnen durcheinander bringt ?
Ein typisches Beispiel ist das was beim Beweis vom Satz des Thales über Vektoren ???
Grüße
masaat
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Hallo masaat234!
> Hallo und auch herzlichen Dank an Fulla und Herby,
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> hab den Thread schon fast vergessen, Tschuldigung
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> Worauf ich hinaus wollte war im Bezug auf die Orientierung
> bei der Differenzvektorbildung: Woran kann ich mich da
> orientieren, damit ich nicht den grob gesagt "gegenteiligen
> Differenzvektor bilde ohne es zu merken"
>
> Nochmal anders, der Differenzvektor befindet sich ja immer
> zwischen zwei Vektoren (Punkten), nur, wie weiss ich was
> anfang und was ende ist, nicht das man da was beim
> berechnen durcheinander bringt ?
Na, das hat Fulla doch eigentlich schon beschrieben. Wenn du zwei Punkte hast, musst du dich entscheiden, bei welchem Punkt der Vektor anfangen soll, und am einfachsten zeichnest du dann einen Pfeil, von wo nach wo der Differenzvektor gehen soll. Und für die Berechnung musst du dir nur merken, dass du immer bei der Spitze anfängst und davon den "Anfang" des Vektors subtrahierst. Halt immer genauso, wenn man sich das irgendwann mal angewöhnt hat, macht man da eigentlich nichts mehr verkehrt.  Und bei vielen Aufgaben kann man auch beide Vektoren ausrechnen (also z. B. von A nach B und von B nach A) und dann überprüfen, ob das richtige rauskommt.
> Ein typisches Beispiel ist das was beim Beweis vom Satz
> des Thales über Vektoren ???
Ich weiß zwar nicht mehr, was man beim Satz des Thales mit Vektoren macht, aber diese Fragestellung ist grammatikalisch irgendwie nicht korrekt und ich weiß ehrlich gesagt nicht, was du meinst. ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:16 So 10.12.2006 | | Autor: | masaat234 |
Hallo,
der verdrehte Satz drückt das aus, was ich bei der Vektororientierung empfunden habe.
Deine Erkärung hat alles nochmal viel verständlicher gemacht, Danke.gerade weil in Büchern immer nur eine Richtung dasteht und wenn man selber einen DV auf Basis eines anderen Stützvektors geildet hat als der bei dem Ergebnis im Buch ....
Grüße un eine geruhsame Nach noch .
masaat
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