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f(x) = [mm] (cos(x))^{4/x^2} [/mm] für [mm] x\not=0
[/mm]
e^-2 für x=0
ich soll das auf stetigkeit und differenzierbarkeit auf dem intervall
[mm] [\bruch{- \pi}{2} [/mm] , [mm] \bruch{\pi}{2}] [/mm] , untersuchen
ich würd sagen an null nicht stetig da [mm] f(0)=1/(e^2)
[/mm]
und f(x) [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] = 1
da die funktion an null nicht stetig ist kann sie da auch nicht diff.bar sein
also kann sie höchstens auf den intervallen
[mm] [\bruch{- \pi}{2} [/mm] , 0) (0 , [mm] \bruch{\pi}{2}] [/mm] diff.bar sein
und da cos diffbar auf R und potenzfunktion auch diff.bar auf R ist sollte diese funktion auch sein
meine fragen jetzt
1. stimmt das was ich mir überlegt habe
2. reicht das bereits als beweiß
3. wie ist das bei der differenzierbarkeit eigentlich bei solchen funktionen wie bei dieser cos funktion leitet man da einfach ab und schaut für welche x die ableitung deffiniert ist oder muß man das auch mit
[mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{(f(x+h) - f(x)}{h} [/mm] = c
machen
mfg berni
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Du hast den Fehler gemacht, [mm]1^{\infty} = 1[/mm] zu setzen. Hier handelt es sich aber um einen unbestimmten Ausdruck. Vergleiche
[mm]\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = \operatorname{e}[/mm]
Betrachte die Funktion
[mm]g(x) = \frac{4 \, \ln{\cos{x}}}{x^2}[/mm]
in einer punktierten Umgebung von 0. Es ist [mm]f(x) = \operatorname{e}^{g(x)}[/mm]. Mit Hilfe einer begrenzten Potenzreihenentwicklung oder zweimaliger Anwendung der L'Hospitalschen Regel kannst du
[mm]\lim_{x \to 0} g(x) = -2[/mm]
berechnen, woraus sich
[mm]\lim_{x \to 0} f(x) = \operatorname{e}^{-2}[/mm]
ergibt.
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Hallo
mal danke dür den hinweiß mit der stetigkeit hat mir sehr weitergeholfen
f(x) = [mm](cos(x))^{4/x^2}[/mm] für [mm]x\not=0[/mm]
> e^-2 für x=0
>
> ich soll das auf stetigkeit und differenzierbarkeit auf dem
> intervall
> [mm][\bruch{- \pi}{2}[/mm] , [mm]\bruch{\pi}{2}][/mm] , untersuchen
ich hab die funktion auch einmal abgeleitet da
komm ich auf
[mm] e^{\bruch{4*ln(cos(x))}{x^2}}*(\bruch{-4 sin(x)}{x^2}-\bruch{8*ln(cos(x))}{x^3})
[/mm]
und das ist ja deffiniert auf den vorher genannten Intervall ohne null
1. reicht das bereits als beweiß für die diverenzierbarkeit?
2. oder würde es als beweiß für die differenzierbarkeit bereits genügen das ich sage die funktion ist in diesem intervall stetig und cos, potenz und exponential funktion sind auf R diff.bar dadurch auch auf diesem Intervall
DANKE in vorhinein
mfg berni
> > mfg berni
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Ob die von dir berechnete Ableitung stimmt, habe ich nicht nachgerechnet. Die Ableitung zu berechnen ist auch gar nicht nötig. Denn die Differentiationsregeln (Summenregel, Kettenregel usw.) garantieren, daß die Ableitung existiert, wenn die Einzelglieder differenzierbar sind. Die Differenzierbarkeit für [mm]x \neq 0[/mm] ist also klar. Übrig bleibt [mm]x=0[/mm]. Daß [mm]f[/mm] hier stetig ist, scheint dir klar zu sein. Normalerweise reicht dies aber nicht, um auf die Differenzierbarkeit schließen zu können. Hier jedoch handelt es sich um eine sogenannte holomorphe Funktion, denn [mm]g[/mm] und somit auch [mm]f[/mm] ist durch eine Potenzreihe darstellbar. Und für holomorphe Funktionen gilt, daß die stetige Fortsetzung automatisch wieder holomorph, also auch differenzierbar ist.
Und wenn du dir weiter überlegst, daß [mm]f[/mm] eine gerade Funktion ist, kannst du auch ohne jede Rechnung sofort [mm]f'(0)[/mm] angeben.
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