Diffgleichung 2ter Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:32 Mo 21.04.2008 | | Autor: | Patr1ck |
| Aufgabe | Löse:
m*[zweite zeitliche Ableitung von x(t)] = -m*g + r*[erste zeitliche Ableitung von [mm] x(t)]^2
[/mm]
Anfangsbedingungen: x(t=0)=h, [erste zeitliche Ableitung von x(t=0)]=0 |
Die oben stehende Frage ist Teil einer Physikaufgabe über der ich zZ sitze. Ich weiß leider nicht, wie ich die Differentialgleichung zu lösen hab. Ich hoffe ihr könnt mir hier weiterhelfen. Vorallem die [erste zeitliche Ableitung von [mm] x(t)]^2 [/mm] bereitet mir Probleme, da ich mir nicht sicher bin wie ich damit umzugehen hab.
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Hallo Patr1ck,
> Löse:
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> m*[zweite zeitliche Ableitung von x(t)] = -m*g + r*[erste
> zeitliche Ableitung von [mm]x(t)]^2[/mm]
[mm]m*\ddot{x}\left(t\right)=-m*g+r*\left(\dot{x}\left(t\right)\right)^{2}[/mm]
Diese DGL erinnert mich an den freien Fall mit Berücksichtigung des Luftwiderstandes.
Substituiere hier zunächst [mm]v\left(t\right)=\dot{x}\left(t\right)[/mm]
Dann ergibt sich eine DGL 1. Ordung:
[mm]m*\dot{v}\left(t\right)=-m*g+r*v^{2}\left(t\right)[/mm]
Durch ![[]](/images/popup.gif) Trennung der Variablen folgt:
[mm]\bruch{dv}{r*v^{2}-m*g}=dt[/mm]
Hieraus ergibt sich nun [mm]v\left(t)[/mm].
Wovon Du jetzt die Stammfunktionen leicht ermitteln kannst:
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{r*v^{2}-m*g} \ dv}=\integral_{}^{}{1 \ dt}[/mm]
Beim dem linken Ausdruck wendest Du die Partialbruchzerlegung an.
Für die Funktion [mm]x\left(t\right)[/mm] ist nochmals zu integrieren:
[mm]x\left(t\right)=\integral_{}^{}{v\left(t\right) dt}[/mm]
>
> Anfangsbedingungen: x(t=0)=h, [erste zeitliche Ableitung
> von x(t=0)]=0
In die ermittelten Stammfunktionen setzt Du die Anfangsbedingung ein.
Zu lösen ist dann:
[mm]\dot{x}\left(0\right)=0=v\left(0)[/mm]
und
[mm]x\left(0\right)=h[/mm]
Daraus ergeben sich die bei den Integrationen angefallenen Konstanten.
> Die oben stehende Frage ist Teil einer Physikaufgabe über
> der ich zZ sitze. Ich weiß leider nicht, wie ich die
> Differentialgleichung zu lösen hab. Ich hoffe ihr könnt mir
> hier weiterhelfen. Vorallem die [erste zeitliche Ableitung
> von [mm]x(t)]^2[/mm] bereitet mir Probleme, da ich mir nicht sicher
> bin wie ich damit umzugehen hab.
>
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:34 Mo 21.04.2008 | | Autor: | Patr1ck |
Vielen Dank für die schnelle kompetente Antwort. Es handelt sich tatsächlich um eine Aufgabe zum freien Fall mit Luftwiderstand. :)
Die Substitution war der Trick auf den ich nicht kam. Jaja Analysis ist schon ne weile her... :P
Also vielen Dank nochmal> Hallo Patr1ck,
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