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| Aufgabe | Lösen Sie folgendes homogenes Diffglsystem mit der Eigenwertmethode und geben Sie ein Fundamentalsystem an
[mm] \vektor{x' \\ y'}=\pmat{ -1 & -1 \\ 1& -1 }*\vektor{x \\ y} [/mm] |
Hallo
Ich hoffe mir kann jemand von euch weiterhelfen Biiiiiiiiitte:)
Ich bestimme mal die Eigenwerte
[mm] \vmat{ -1-\lambda & -1 \\ 1 & -1-\lambda }=o
[/mm]
[mm] \lamda_{1,2}=-1\pm [/mm] i
jetzt bestimme ich die Eigenvektoren
[mm] \lambda_{1}=-1+i
[/mm]
[mm] \pmat{ -i & -1 \\ 1& -i }*\vektor{x \\ y}=o
[/mm]
[mm] x_{1}=\vektor{i \\ 1}=\vektor{0\\ 1}+i*\vektor{1 \\ 0}
[/mm]
[mm] x_{2}=\vektor{1 \\ -i}=\vektor{1\\ 0}-i*\vektor{0 \\ 1}
[/mm]
[mm] \lambda_{1}=-1-i
[/mm]
[mm] \pmat{ i & -1 \\ 1& i }*\vektor{x \\ y}=o
[/mm]
[mm] x_{3}=\vektor{1 \\ i}=\vektor{1\\ 0}+i*\vektor{0 \\ 1}
[/mm]
[mm] x_{4}=\vektor{i \\ -1}=\vektor{0\\ -1}+i*\vektor{1 \\ 0}
[/mm]
Jetzt komm ich leider nicht mehr weiter in der Lösung steht folgendes
[mm] x_{1}=e^{-t}*(cost\vektor{1 \\ 0}-sint\vektor{0 \\ -1})
[/mm]
[mm] x_{2}=e^{-t}*(sint\vektor{1 \\ 0}+cost\vektor{0 \\ -1})
[/mm]
es wird also nur mein [mm] x_{2} [/mm] von oben als Lösung angschrieben.
Was ist aber mit [mm] x_{1,3,4} [/mm] wieso fallen die weg????????? Hab nächsten Freitag Prüfung eine Antwort darauf würde mir sehr viel weiterhelfen.
Danke
lg Stevo
[mm] x_{2,3} [/mm] sind konjungiert komplex
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:05 Mo 25.09.2006 | | Autor: | stevarino |
Hallo
Kennt dieses Verfahren niemand, oder hab ich mich umständlich ausgedrückt?
Hat keine eine Vermutung
need help please!!!!!!!!!!!!!
danke Stevo
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:57 Mo 25.09.2006 | | Autor: | ullim |
Hi stevarino,
die Eigenwerte sind vollkommen korrekt. Eigentlich auch die Eigenvektoren, nur muss Du berücksichtigen das die Eigenvektoren [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] sowie [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] linear abhängig sind. Muss ja auch so sein, da es in diesem Fall zu jedem Eigenwert nur einen Eigenvektor geben kann. Es ist [mm] -i*x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] und [mm] i*x_3*x_4
[/mm]
D.h. wir nehmen uns eine Eigenvektor heraus z.B. [mm] x_2=\vektor{1 \\ 0}+i\vektor{0 \\ -1} [/mm] zum Eigenwert [mm] \lambda=-1+i
[/mm]
Daraus ergibt sich die komplexe Lösung [mm] y(t)=x_2*e^{(-1+i)*t}
[/mm]
Diese Lösung spaltet man in Realteil und Imaginärteil auf die wiederum Lösung der Differentialgleichung sind und erhält die in Deiner Lösung vorgegebene Lösungen.
Man erhält auch nicht mehr Lösungen, da zu dem kunjugiert komplexen Eigenwert auch ein konjugiert komplexer Eigenvektor gehört, der ebenfalls zu einer konjugiert komplexen Lösung führt, die wiederum identisch zu obiger Lösung ist.
mfg ullim
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:14 Di 26.09.2006 | | Autor: | stevarino |
Hallo
Danke für die Antwort jetzt ist alles klar
lg Stevo
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