Diffusionsprozess < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Mi 28.07.2004 | | Autor: | AndiKay |
- Die Frage ist nur hier gestellt! -
Hallo allerseits,
wieder mal stoch. Prozesse: ein Preisgenerierungsprozess wird als Diffusionsprozess angenommen.
Ich habe nachgelesen und folgende Definition gefunden:
Als Diffusionsprozess wird ein stoch. Prozess bezeichnet, der für kleine Zeitintervalle durch die ersten beiden Momente bestimmt ist. Die Verteilung der Übergangsws. entspricht bei geg. x zum ZP t dann einer Normalverteilung mit Erwartungswert x.
=> Aber welche Varianz liegt in t vor?
Ist der Diffusionsprozess dann auch ein spezieller Markov-Prozess, da die Verteilung für t+1 ja nur vom Zustand in t abhängt?
Ist wahrscheinlich banal, aber bin ja nur ein (angehender) Betriebswirt 
MfG
Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 Mi 28.07.2004 | | Autor: | Astrid |
Hallo Andreas,
versuchen wir mal Schritt für Schritt an die Frage heranzugehen...
> wieder mal stoch. Prozesse: ein Preisgenerierungsprozess
> wird als Diffusionsprozess angenommen.
Wie ist ein Diffusionsprozess mathematisch definiert?
Grob gesagt, ist so ein Prozess erstmal nicht explizit gegeben, sondern nur durch eine Art "Differenzengleichung". Nennen wir den ganzen Prozess mal [mm]X[/mm] und seine Werte im Zeitpunkt [mm]t[/mm] nennen wir [mm]X_t[/mm]. Dann schauen wir, was der Prozess zwischen den Zeitpunkten [mm]t[/mm] und [mm]t+\Delta t[/mm] macht:
[mm] X_{t+\Delta t} - X_t = \mu(t,X_t) * \Delta t + \sigma(t,X_t) * \Delta W_t)[/mm]
Da bedarf jetzt noch ein paar Erklärungen:
Das [mm] \mu [/mm] und das [mm] \sigma [/mm] sind Funktionen, man könnte sich zum Beispiel vorstellen [mm]\mu(t,X_t)=r*X_t[/mm] und [mm]\sigma(t,X_t)=\tilde \sigma * X_t[/mm]
Das [mm]\Delta W_t = W_{t+\Delta t} - W_t [/mm] ist normalverteilt mit Erwartungswert [mm] 0 [/mm] und Varianz [mm]\Delta t[/mm], also der Zeitdifferenz und stellt den unsicheren Faktor dar. (Genauer: W ist ein Wiener Prozess.)
Hast du das so weit verstanden? Denn wir gehen jetzt einen Schritt weiter:
Jetzt will man nicht mehr nur bestimmte Zeitpunkte betrachten, also z.B. [mm]t, t+\Delta t, t+2*\Delta t,...[/mm], sondern jeden beliebigen Zeitpunkt zwischen z.B. [mm]0[/mm] und [mm]T[/mm]. Dafür machen wir die Differenz zwischen den Zeitpunkten, also das [mm]\Delta t[/mm], immer kleiner:
Für [mm] \Delta t \rightarrow 0[/mm] soll dann gelten:
[mm] dX_t = \mu(t,X_t) dt + \sigma(t,X_t) dW_t [/mm]
Siehst du die Analogie zur Differenzengleichung oben?
Noch einmal: ein Diffusionsprozess ist also definiert, indem man eine Aussage über seine Änderung bzw. seine Dynamik macht.
Jetzt ist die nächste Frage, ob es eine Lösung zu so einer Gleichung gibt, ob man also einen Prozess [mm]X[/mm] finden kann, für den die Gleichung wie oben angegeben gilt.
Die Antwort ist meistens ja, aber es ist nicht unbedingt einfach zu berechnen. (Das hast du dir sicher schon gedacht. )
Was man aber sagen kann ist, dass ein solcher Prozess X dann ein Markov-Prozess ist! (wie du schon bemerkt hast) Das heißt also, sein Zustand im nächsten Moment hängt nur ab vom aktuellen Zustand.
Nun noch einmal zu deinen konkreten Fragen:
>
> Ich habe nachgelesen und folgende Definition gefunden:
>
> Als Diffusionsprozess wird ein stoch. Prozess bezeichnet,
> der für kleine Zeitintervalle durch die ersten beiden
> Momente bestimmt ist. Die Verteilung der Übergangsws.
> entspricht bei geg. x zum ZP t dann einer Normalverteilung
> mit Erwartungswert x.
>
Den ersten Satz der Definition verstehe ich leider nicht ganz, kann also nichts dazu sagen.
Den zweiten Satz sehe ich etwas kritisch. Wenn das erfüllt sein soll, muss unser [mm] \mu [/mm] gleich [mm]0[/mm] sein!
Wir hätten also nur [mm]dX(t)=\sigma(t,X_t) dW(t)[/mm]
Dann ist die "Verteilung" der Übergangswahrscheinlichkeit beim Übergang von Zeitpunkt t auf Zeitpunkt s die Verteilung von unserem [mm]W_s-W_t[/mm], allerdings unter Beachtung von [mm] \sigma. [/mm] (Das hatte ich oben abgegeben.) Wenn wir also im Zeitpunkt [mm]t[/mm] den Wert [mm]x[/mm] haben, dann ist der Erwartungswert [mm]x+0=x[/mm] und die Varianz [mm](\sigma(t,X_t))^2*(s-t)[/mm]. $ [mm] \leftarrow $ [Das stimmt so nicht!]
(Bedenke aber, dass wir jetzt nicht mehr schrittweise von einem Zustand in den nächsten übergehen, sondern dieser Übergang eher fließend passiert.)
> => Aber welche Varianz liegt in t vor?
das wissen wir ja nun schon...
>
> Ist der Diffusionsprozess dann auch ein spezieller
> Markov-Prozess, da die Verteilung für t+1 ja nur vom
> Zustand in t abhängt?
>
Der Prozess ist ein Markovprozess, allerdings gibt es kein richtiges "t+1" mehr, da wie gesagt die Übergänge fließend sind.
Ich hoffe, ich habe dich jetzt nicht erschlagen [Stefan, wo ist ein Smiley mit einem Hammer???] [hammer] [Ha, hab ihn gefunden!!!] mit Text und Formeln. Wenn dir etwas unklar ist, dann frag bitte nach!
Und bitte auch auf (Denk-)Fehler hinweisen...
Viele Grüße
Astrid
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:36 Do 29.07.2004 | | Autor: | AndiKay |
Hallo Astrid,
vielen Dank für deine ausführlichen Erläuterungen. Hier noch ein paar Fragen:
1) Gibt es irgendwelche Beschränkungen für die Funktionen [mm]\mu[/mm] und [mm]\sigma[/mm] oder können die beliebig gewählt werden?
2) Die Zuwächse von Wiener-Prozessen sind doch immer Normalverteilt mit Erwartungswert 0 und Varianz (t-s) oder?
3) Es existiert wohl kein eindeutiger Algorhitmus um diese Differentialgleichung zu lösen. [mm]dX_t = \mu(t,X_t) dt + \sigma(t,X_t) dW_t[/mm]. Wie geht man da üblicherweise vor?
4) Zum ersten Satz in der Definition: das erste Moment einer ZV ist der Erwartungswert und das zweite (zentrale) Moment die Varianz.
Die Normalverteilung ist die einzige mir bekannte Verteilung, die durch diese beiden Parameter vollständig beschrieben ist, oder kennst du noch andere?
5) Die Varianz der Verteilung der Ü-WS ist linear in [mm]\Wurzel(t-s)[/mm]; das resultiert wohl aus dem Wiener-Prozess?
- Hab nochmal nachgelesen: Der Erwartungswert zum ZP t ist nicht [mm]X_t[/mm] sondern eine Funktion von t und [mm]X_t[/mm], wie du ja schon festgestellt hattest : E([mm]X_t[/mm])=[mm]\mu(t,X_t)[/mm].
Vielen Dank nochmals; ich hoffe die Symbole kommen einigermaßen richtig an, muss ws. noch etwas üben!
Schönen Gruß,
Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Do 29.07.2004 | | Autor: | Astrid |
Hallo Andreas,
das sind ja gleiche 'ne ganze Menge Fragen...
> 1) Gibt es irgendwelche Beschränkungen für die Funktionen
> [mm]\mu[/mm] und [mm]\sigma[/mm] oder können die beliebig gewählt > werden?
[mm]\mu[/mm] und [mm]\sigma[/mm] müssen durch den Zustand des Wiener Prozesses bis zum Zeitpunkt t eindeutig bestimmt sein, sind also adaptierte Prozesse.
> 2) Die Zuwächse von Wiener-Prozessen sind doch immer
> Normalverteilt mit Erwartungswert 0 und Varianz (t-s)
> oder?
![[bindafuer]](/images/smileys/bindafuer.gif "[bindafuer]")
Das steht in der Definition eines Wiener Prozesses, ja.
> 3) Es existiert wohl kein eindeutiger Algorhitmus um diese
> Differentialgleichung zu lösen. [mm]dX_t = \mu(t,X_t) dt + \sigma(t,X_t) dW_t[/mm].
> Wie geht man da üblicherweise vor?
Wenn du eine Geometr. Brownsche Bewegung hast, d.h.
[mm]dX_t = \mu * X_t dt + \sigma*X_t dW_t[/mm]
[mm]X_0=x_0[/mm]
wobei [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma [/mm] jetzt Konstanten sind.
Dann lautet die Lösung:
[mm]X(t)=x_0*\exp((\mu-\bruch{\sigma^2}{2})*t+\sigma W(t)) [/mm]
Ich glaube, eine ausführliche Beschreibung liest du besser in einem Buch nach uns stellst dann konkrete Fragen.
> 4) Zum ersten Satz in der Definition: das erste Moment
> einer ZV ist der Erwartungswert und das zweite (zentrale)
> Moment die Varianz.
> Die Normalverteilung ist die einzige mir bekannte
> Verteilung, die durch diese beiden Parameter vollständig
> beschrieben ist, oder kennst du noch andere?
Keine Ahnung, aber wenn du das so siehst, dann ist ja unser Prozess durch die ersten beiden Momente beschrieben.
> 5) Die Varianz der Verteilung der Ü-WS ist linear in
> [mm]\Wurzel(t-s)[/mm]; das resultiert wohl aus dem Wiener-Prozess?
Schaue bitte noch in meine Mitteilung!
> - Hab nochmal nachgelesen: Der Erwartungswert zum ZP t ist
> nicht [mm]X_t[/mm] sondern eine Funktion von t und [mm]X_t[/mm], wie du ja
> schon festgestellt hattest : E([mm]X_t[/mm])=[mm]\mu(t,X_t)[/mm].
Bitte ebenfalls: Mitteilung!
>
> Vielen Dank nochmals; ich hoffe die Symbole kommen
> einigermaßen richtig an, muss ws. noch etwas üben!
Sind angekommen, man gewöhnt sich schnell dran!
Wenn du sowieso den ganzen theoretischen Kram brauchst, dann würde ich dir die Kapitel 3 und 4 aus
![[buchlesen]](/images/smileys/buchlesen.gif "[buchlesen]") Tomas Björk: "Arbitrage Theory in continuous time"
empfehlen. Da werden die theoretischen Grundlagen recht gut verständlich erklärt und decken genau deine ganzen Fragen ab. (auch die mit der Fokker-Planck-Gleichung)
Viele Grüße
Astrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:27 Do 29.07.2004 | | Autor: | Astrid |
Hallo nochmal!
Mir ist doch noch etwas aufgefallen. Habe vorhin etwas zu schnell gelesen oder war noch nicht ganz wach.
> - Hab nochmal nachgelesen: Der Erwartungswert zum ZP t ist
> nicht [mm]X_t[/mm] sondern eine Funktion von t und [mm]X_t[/mm], wie > du ja schon festgestellt hattest : E([mm]X_t[/mm])=[mm]\mu(t,X_t)[/mm].
Das kannst du so nicht schreiben.
Denn das [mm] \mu [/mm] macht ja nur eine Aussage über die Änderung in [mm] X_t, [/mm] nicht aber über [mm] X_t [/mm] selbst und ist selbst wieder abhängig von [mm] X_t.
[/mm]
Wenn du z.B. wieder die Geometr. Brownsche Bewegung hast (siehe meine letzte Antwort), dann ist [mm]E[X_t]=x_0*e^{\mu*t}[/mm]. (Das ist die Lösung einer DGL! Ich empfehle noch einmal den Björk!)
> 5) Die Varianz der Verteilung der Ü-WS ist linear in
> [mm]\Wurzel(t-s)[/mm]; das resultiert wohl aus dem Wiener-Prozess?
(Eine Übergangswahrscheinlichkeit hat weder eine Varianz noch eine Verteilung, sondern nur eine Zufallsvariable hat Vert. und Var.)
Die Varianz ist nicht linear in [mm]\wurzel {t-s}[/mm] oder in t-s, sondern
hängt eben ab von der Varianz des Wiener Prozesses. Über den kann man aber sagen, dass die Zuwächse die Varianz [mm]t-s[/mm] haben.
Ich denke mittlerweile allerdings, dass die Aussage über die Varianz (aus der ersten Antwort, ich möchte sie nicht wiederholen) nicht ganz richtig ist, denn so einfach kann man das leider nicht sagen. Es würde wohl zutreffen, falls [mm] \sigma [/mm] konstant wäre.
Sorry für die Verwirrung, aber das Thema ist relativ komplex. Wir können die Fragen nur beantworten, wenn wir uns das ganze hier gemeinsam erarbeiten!
Viele Grüße
Astrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 Do 29.07.2004 | | Autor: | AndiKay |
- Die Frage ist nur hier gestellt! -
Hallo zusammen,
kennt jemand im Zusammenhang mit Diffusionsprozessen die Fokker-Planck-Gleichung? Wenn ja, was sagt diese aus?
Ich habe einen Prozess als partielle stoch. Differentialgleichung gegeben, welcher dieser Gleichung genügen soll.
Ein Merkmal ist, dass die Änderungen für kleine Zeitintervalle nur lokalen Änderungen unterliegen; heisst das, dass der Prozess keine Sprünge sondern einen stetigen Zufallspfad besitzt?
MfG
Andreas
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Hallo Andreas!
> kennt jemand im Zusammenhang mit Diffusionsprozessen die
> Fokker-Planck-Gleichung? Wenn ja, was sagt diese aus?
Wenn ein stochastischer Prozess $X$ die Lösung einer stochastischen Differentialgleichung ist und dieser Prozess eine Übergangsdichte besitzt, dann kann man für diese Dichte eine partielle Differentialgleichung (nicht stochastisch) herleiten. Diese Gleichung wird Fokker-Planck-Gleichung genannt, oder auch Kolmogoroff-Vorwärtsgleichung. Mit Hilfe der Übergangsdichte kann man dann Wahrscheinlichkeiten berechnen (wie bei einer "normalen" stetig verteilten Zufallsvariablen durch Integration über die Dichte), dass der Prozess zum Zeitpunkt $s$ Werte in einem bestimmten Bereich/Intervall $B$ annimmt, gegeben dass er zum Zeitpunkt $t<s$ den Wert $x$ hat, also [mm] $P(X_s\in [/mm] B| [mm] X_t=x)$.
[/mm]
Für nähere Informationen und vor allem Beispiele empfehle ich wie Astrid den Björk. Da steht das wirklich ganz schön drin, auch für Nichtmathematiker.
> Ich habe einen Prozess als partielle stoch.
> Differentialgleichung gegeben, welcher dieser Gleichung
> genügen soll.
Bist Du sicher, dass sie stochastich ist (s.o.)? Das ist nämlich so ziemlich das Komplizierteste, was man sich vorstellen kann. Meinen Informationen nach ist das gerade aktuelles Forschungsthema (in der Mathematik), aber da kenne ich mich überhaupt nicht aus.
Wie gesagt: zu einer stochastischen DGL kann man sich eine partielle DGL (die Fokker-Planck-Gleichung) herleiten, aber letztere ist nicht stochastisch, dh. da taucht kein $dW$-Term o.ä. auf.
> Ein Merkmal ist, dass die Änderungen für kleine
> Zeitintervalle nur lokalen Änderungen unterliegen; heisst
> das, dass der Prozess keine Sprünge sondern einen stetigen
> Zufallspfad besitzt?
Da kann ich leider nichts zu sagen, da ich nicht weiß, was genau mit lokalen Änderungen gemeint. Solange Du nur [mm] $W_t$ [/mm] in Deinen Gleichungen hast und keinen anderen merkwürdigen Prozess, sind die Pfade immer (mathematisch: fast sicher) stetig.
Viele Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:36 So 08.08.2004 | | Autor: | AndiKay |
Hallo Brigitte,
vielen Dank für deine Antwort und sorry dass meine etwas länger gedauert hat.
Du hattest natürlich Recht, in dem Artikel steht drin, dass die Ü-WS einer partiellen DGL genügen - nun ja, wer lesen kann ist klar im Vorteil (mit dem Englischen hapert es etwas bei mir und da überlese ich manchmal was; bemühe mich aber in Zukunft genauer zu sein!).
Bis dann, kannst ja mal bei meine anderen Frage vorbeischauen
Gruß Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 So 08.08.2004 | | Autor: | AndiKay |
- Diese Frage ist in keinem anderem Forum gestellt -
Hallo,
es geht nochmal mal um einen Diffusionsprozess. Ich habe gelesen, dass dieser Prozess X(t) einerseits als (eine) Lösung der stoch. DGL
(0) [mm]dX(t)=a(t,X(t))dt + b(t,X(t))dW(t)[/mm]
mit W(t) als Wiener-Prozess, Funktion a als Driftkoeffizient und Funktion b als Diffusionskoeffizient.
Alternativ kann der Diffusionsprozess auch über Übergangsdichtefunktionen mit bestimmten Eigenschaften definiert werden.
1) Kennt jemand diese Eigenschaften?
2) Was ist unter der Driftkomponente zu verstehen? Eine Art Trend bei der Entwicklung des Prozesses?
Gruß Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 Mo 09.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Andi!
> 1) Kennt jemand diese Eigenschaften?
Ja, generall natrülich schon, aber um sie exakt aufzuschreiben, brauche ich meine Lehrbücher. Da ich hier (defekter Computer) notwendigerweise in einem Internetcafé sitze, kann ich dir leider zur Zeit nicht mit einer Antwort dienen. Geht es auch in ein paar Tagen noch (die abgelaufene Fälligkeit deutet ja leider nicht darauf hin)?
> 2) Was ist unter der Driftkomponente zu verstehen? Eine
> Art Trend bei der Entwicklung des Prozesses?
Ja, dies ist etwas salopp ausgedrückt sozusagen die durchschnittliche deterministische infinitesimale Rate (Steigung). Male dir eine Funktion mit dieser deterministischen Steigung auf, und dein Diffusionsprozess bewegt sich schwankend (stochastisch) darum herum.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:07 Di 10.08.2004 | | Autor: | AndiKay |
Hi Stefan,
vielen Dank und wie gesagt, habe noch ein bisschen Zeit.
Gruß Andi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Mi 11.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Andreas!
Hier die alternative Definition eines Diffusionsprozesses mittels Übergangswahrscheinlichkeiten (entnommen aus dem Klassiker "Stochastische Differentialgleichungen" von L. Arnold, ergänzt von meiner Wenigkeit):
Definition (Diffusionsprozess)
Ein Markov-Prozess [mm] $(X_t)_{t_0 \le t \le T}$ [/mm] mit Werten in [mm] $\IR^d$ [/mm] und fast sicher stetigen Realisierungen heißt Diffusionsprozess, wenn für seine Übergangswahrscheinlichkeit $P(s,x,t,B)$ für jedes $s [mm] \in [t_0,T)$, [/mm] $x [mm] \in \IR^d$ [/mm] und [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] folgende drei Bedingungen gelten:
a) [mm] $\lim\limits_{t \downarrow s} \frac{1}{t-s} \int\limits_{\{|y-x|> \varepsilon\}} [/mm] P(s,x,t,dy) = 0$.
b) Es gibt eine [mm] $\IR^d$-wertige [/mm] Funktion $f(s,x)$ mit
[mm] $\lim\limits_{t \downarrow s} \frac{1}{t-s} \int\limits_{\{|y-x| \le \varepsilon\}} (x-y)\, [/mm] P(s,x,t,dy) = f(s,x)$.
c) Es gibt eine $d [mm] \times [/mm] d$-matrixwertige Funktion $B(s,x)$ mit
[mm] $\lim\limits_{t \downarrow s} \frac{1}{t-s} \int\limits_{\{|y-x| \le \varepsilon\}} (y-x)(y-x)^T \, [/mm] P(s,x,t,dy) = B(s,x)$.
Die Funktionen $f$ und $B$ heißen die Koeffizienten des Diffusionsprozesses. Speziell heißt $f$ Driftvektor und $B$ Diffusionsmatrix. $B(s,x)$ ist symmetrisch und nicht-negativ definit.
Bemerkung 1
In den Bedingungen b) und c) der obigen Definition mussten wir abgeschnittene Momente benutzen, das [mm] $E_{s,x}[X_t]$ [/mm] bzw. [mm] $E_{s,x}[X_t X_t^T]$ [/mm] nicht notwendig existieren müssen! Gilt jedoch für ein [mm] $\delta [/mm] >0$
[mm] $\lim\limits_{t \downarrow s} \frac{1}{t-s} E_{s,x}[|X_t [/mm] - [mm] X_s \vert^{2 + \delta} [/mm] ] = [mm] \lim\limits_{t \downarrow s} \frac{1}{t-s} \int\limits_{\IR^d} \vert [/mm] y-x [mm] \vert^{2 + \delta} \, [/mm] P(s,x,t,dy) = 0$,
so ist wegen
[mm] $\int\limits_{\{|y-x| > \varepsilon\}} |y-x|^k \, [/mm] P(s,x,t,dy) [mm] \le \frac{1}{\varepsilon^{2+\delta - k}} \int\limits_{\IR^d} |y-x|^{2+ \delta} \, [/mm] P(s,x,t,dy)$
für $k=0,1,2$ die Bedingung a) automatisch erfüllt, und in den Bedingungen b) und c) kann man als Integrationsbereich den [mm] $\IR^d$ [/mm] wählen.
Bemerkung 2
Wir wollen uns klarmachen, was die Bedingungen a), b) und c) anschaulich bedeuten:
Bedingung a) macht große Veränderungen von [mm] $X_t$ [/mm] in kurzer Zeit unwahrscheinlich:
[mm] $P(|X_t [/mm] - [mm] X_s [/mm] | [mm] \le \varepsilon \, \vert\, X_s [/mm] = x) = 1 - o(t-s)$.
Denken wir uns einmal in b) und c) die abgeschnittenen Momente durch gewöhnliche ersetzt, so gilt für die ersten beiden Momente des Zuwachses [mm] $X_t [/mm] - [mm] X_s$ [/mm] unter der Bedingung [mm] $X_s=x$ [/mm] für $t [mm] \downarrow [/mm] s$:
[mm] $E_{s,x}[X_t [/mm] - [mm] X_s] [/mm] = f(s,x) (t-s) + o(t-s)$
und
[mm] $E_{s,x}[(X_t [/mm] - [mm] X_s) (X_t [/mm] - [mm] X_s)^T] [/mm] = B(s,x) (t-s) + o(t-s)$,
also:
[mm] $Cov_{s,t}[X_t [/mm] - [mm] X_s] [/mm] = B(s,x)(t-s) + o(t-s)$,
wobei [mm] $Cov_{s,t}[X_t [/mm] - [mm] X_s]$ [/mm] die Kovarianzmatrix von [mm] $X_t -X_s$ [/mm] bezüglich der Wahrscheinlichkeit [mm] $P(s,x,t,\cdot)$ [/mm] ist. $f(s,x)$ ist also der mittlere Geschwindigkeitsvektor der durch [mm] $X_t$ [/mm] beschriebenen zufälligen Bewegung unter der Voraussetzung [mm] $X_s=x$, [/mm] während $B(s,x)$ ein Maß für die lokalelokale Stärke der Fluktuation von [mm] $X_t [/mm] - [mm] X_s$ [/mm] um den Mittwelwert ist. Bei Vernachlässigung der $o(t-s)$-Terme kann man schreiben:
[mm] $X_t [/mm] - [mm] X_s \approx f(s,X_s)(t-s) [/mm] + [mm] G(s,X_s)\, \xi$
[/mm]
mit [mm] $E_{s,x}[\xi] [/mm] = 0$, [mm] $Cov_{s,x}[\xi] [/mm] = (t-s) [mm] \mathbb{I}$, [/mm] $G(s,x)$ irgendeine $d [mm] \times [/mm] d$.Matrix mit der Eigenschaft [mm] $GG^t [/mm] = B$ (etwa die Cholesky-Wurzel). Nun haben die Zuwächse [mm] $W_t [/mm] - [mm] W_s$ [/mm] des Wiener-Prozesses die Verteilung [mm] ${\cal N}(0,(t-s)\mathbb{I})$. [/mm] Da es uns nur auf die Verteilungen ankommt, können wir schreiben:
[mm] $X_t [/mm] - [mm] X_s \approx f(s,X_s) [/mm] (t-s) + [mm] G(s,X_s) (W_t [/mm] - [mm] W_s)$.
[/mm]
Der in der Analysis übliche Übergang zu Differentialen ergibt
[mm] $dX_t [/mm] = [mm] f(t,X_t)\, [/mm] dt + [mm] G(t,X_t)\, dW_t$.
[/mm]
Dies ist eine stochastische Differentialgleichung, die bei geeigneter Definition von "Lösung" den Diffusionsprozess [mm] $X_t$, [/mm] von dem wir ausgegangen sind, als Lösung besitzt.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:53 Mi 11.08.2004 | | Autor: | AndiKay |
Hi Stefan,
wow, vielen Dank für diese ausführliche Antwort. Hab allerdings heute aben keine Zeit um mir dies zu verinnerlichen, daher werde ich ws. morgen oder übermorgen noch ein paar Fragen dazu haben.
Viele Grüße
Andreas
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:06 So 08.08.2004 | | Autor: | AndiKay |
- Die Frage ist nur hier gestellt -
Hallo nochmals, diesmal werde ich konkreter und hoffe nichts überlesen zu haben:
Ein Preisprozess ist als stoch. DGL gegeben.
[mm] (1) [/mm] [mm] dPi/Pi=\alpha_i dt + \sigma_i dz_i [/mm]
mit [mm]dz_i =[/mm] Veränderung ??? eines Wiener-Prozess
[mm]\alpha_i =[/mm] Erwartete Momentanrendite des i-ten Wertpapiers
[mm]\sigma_i [/mm]= Momentan-Varianz des i-ten Wertpapiers
Zusätzlich sind noch DGL für [mm] \alpha_i [/mm] und [mm] \sigma_i [/mm] gegeben, die angeblich die Markov-Eigenschaft für (1) sicherstellen:
[mm] (2)[/mm] [mm] d\alpha_i = a_i dt + b_i dq_i [/mm]
[mm] (3)[/mm] [mm] d\sigma_i= f_i dt + g_i dx_i [/mm]
mit [mm] dq_i, dx_i [/mm] = Wiener-Prozess
Meine Interpretation von (1):
Die linke Seite beschreibt eine infinitesimal kleine Preisänderung bezogen auf den Preis, gibt also eine Momentanrendit an;
die rechte Seite beschreibt, wie sich diese Rendite aus der erw. Momentanrendite (gew. mit einer infinitesimal kleinen Zeiteinheit)
und einem mit der Varianz gewichteten Störterm (dz) zusammensetzt.
=> Richtig ???
Fragen:
Vorab: Ist eine DGL eine stochastische DGL wenn in ihr eine Zufallsvariable auftaucht oder gibt es speziellere Eigenschaften?
1) Ist [mm] \alpha [/mm] der Driftkoeffizient und [mm] \sigma [/mm] der Diffusionskoeffizient? Wie sind diese allgemein zu interpretieren?
Ist der Drift sowas wie ein zeitlich beschränkt andauernder Trend für die Preisentwicklung?
2) Reicht Gleichung (1) nicht schon aus um eine Lösung für den Preisprozess anzugeben?
3) Vom Aufbau sind die 3 Gleichungen ja identisch, ohne nähere Spezifikation der Funktionen a, b, f und g weiss ich nicht viel mit
den Gl. (2) und (3) anzufangen. Welche Implikationen enthalten diese (etwa wie behauptet die Markov-Eigenschaft?)?
Schöne Grüße
Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:18 Mo 09.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Andi!
Ich habe nur noch eine Minute im Internetcafé, und mehr Geld möchte ich jetzt nicht ausgeben. Wenn du auch in ein paar Tagen (wenn mein Computer hoffentlich wieder läuft) noch an einer Antwort interessiert bist, dann wäre eine kurze diesbezügliche Mitteilung schön. Ich antworte dir dann.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:01 Di 10.08.2004 | | Autor: | AndiKay |
Hi Stefan,
klar, das hat noch Zeit; gebe meine Diplomarbeit erst in 10 Tagen ab.
Bis dann
Andi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 Mi 11.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Andreas!
Hier kann ich dir nicht hundertprozentig weiterhelfen, aber ich schreibe trotzdem mal was dazu.
Deine Interpretation von (1) ist aus meiner Sicht richtig.
Vergleiche dazu bitte auch meine andere Antwort und mein Skript, insbesondere die Bemerkungen zu stochastischen Integralen im Vorkurs. Dort wird auch erklärt, was eine stochastische Differentialgleichung genau ist. Du verstehst sicherlich, dass ich das jetzt hier nicht alles wiederholen kann.
Zu deiner Frage 2)
Ja, im allgemeinen schon. Dann sind die Koeffizienten einfach deterministische Funktionen (in die dann der Prozess eingesetzt wird). Hier sollen aber anscheinend auch allgemeinere stochastische Koeffizienten zugelassen werden, sonst verstehe ich die Bedingungen nicht. Anscheinend (das ist mir neu, siehe unten) müssen die stochastischen Koeffizienten Itô-Prozesse sein, damit insgesamt für den Lösungsprozess die Markov-Eigenschaft erhalten bleibt.
Ich kenne es nur so (verkürzt):
Erfüllt die stochastische Differentialgleichung
[mm] $dX_t [/mm] = [mm] \beta(t,X_t)\, [/mm] dt + [mm] \sigma(t,X_t)\, dW_t$
[/mm]
die Voraussetzungen des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes, dann ist die Lösung [mm] $X_t$ [/mm] der Gleichung für beliebige Anfangswerte ein Markov-Prozess.
Deine Frage 3) ist mir, wie gesagt, unklar (damit, so fürchte ich, aber auch jedem anderem im Forum). Woher hast du diese Aussage denn?
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:13 Fr 13.08.2004 | | Autor: | AndiKay |
Hallo Stefan,
danke erstmal, jetzt noch 2 Fragen:
1) Steht die Funktion [mm]\sigma(t,X_t)[/mm] in dem Itô-Prozess für die Varianz dieses Prozesses (weil dieses Symbol ja üblicherweise für die Stdabw. steht) oder ist die Varianz nur von den Eigenschaften des Wiener-Prozesses bestimmt?
2) Wann heisst ein Diffgl. stochastisch - nur wenn in ihr eine Zufallsvariable auftaucht oder gibt es andere Eigenschaften die erfüllt sein müssen (muss eine ZV bspw. Argument einer Funktion sein?)?
Ist bspw. [mm]y'=y''*Z[/mm] wenn Z eine Zufallsvariable ist eine stoch. DGL?
Das Skript ist übrigens sehr gut!
Mfg
Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 Fr 13.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Andreas!
> 1) Steht die Funktion [mm]\sigma(t,X_t)[/mm] in dem Itô-Prozess für
> die Varianz dieses Prozesses (weil dieses Symbol ja
> üblicherweise für die Stdabw. steht) oder ist die Varianz
> nur von den Eigenschaften des Wiener-Prozesses bestimmt?
Nein, weder noch. Es hat was mit der Varianz zu tun, ja. Denn [mm] $\sigma(t,X_t)\sigma(t,X_t)^T$ [/mm] ist sozusagen die infinitesimale Rate der Kovarianzmatrix (also im eindimensionalen Fall der Varianz selbst).
Genauer gilt folgendes:
Für die stochastische Differentialgleichung
[mm] $dX_t [/mm] = [mm] \beta(t,X_t)\, [/mm] dt + [mm] \sigma(t,X_t)\, dW_t$, $X_{t_0} [/mm] = c$, [mm] $t_0 \le [/mm] t [mm] \le [/mm] T$,
[mm] $X_t, \beta(t,x) \in \IR^d$, $W_t \in \IR^m$, $\sigma(t,x)$ [/mm] eine $d [mm] \times [/mm] m$-Matrix,
gelten die Voraussetzungen des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes.
Sind die Funktionen [mm] $\beta$ [/mm] und [mm] $\sigma$ [/mm] darüberhinaus stetig in $t$, so ist die Lösung [mm] $X_t$ [/mm] ein $d$-dimensionaler Diffusionsprozess in [mm] $[t_0,T]$ [/mm] mit dem Driftvektor [mm] $\beta(t,x)$ [/mm] und der Diffusionsmatrix [mm] $\sigma(t,x)\sigma(t,x)^T$.
[/mm]
Insbesondere gilt also:
[mm] $E[(X_t-x)(X_t-x)^T \, [/mm] | [mm] \, X_s=x] [/mm] = [mm] \sigma(s,x)\sigma(s,x)^T \, [/mm] (t-s) + o(t-s)$.
Hieran siehst du, was mit "infinitesimaler Rate der Kovarianzmatrix" [mm] $E[(X_t-x)(X_t-x)^T]$ [/mm] gemeint ist.
> 2) Wann heisst ein Diffgl. stochastisch - nur wenn in ihr
> eine Zufallsvariable auftaucht oder gibt es andere
> Eigenschaften die erfüllt sein müssen (muss eine ZV bspw.
> Argument einer Funktion sein?)?
Die Gleichung muss wirklich von der Form
[mm] $dX_t [/mm] = [mm] \beta(t,X_t)\, [/mm] dt + [mm] \sigma(t,X_t)\, dW_t$
[/mm]
sein, wobei $W$ ein Wiener-Prozess (eine Brownsche Bewegung) ist. Es gibt Verallgemeinerungen, dass man nicht nur normalverteilte Zuwächse zulässt, aber das lassen wir hier mal beiseite.
> Ist bspw. [mm]y'=y''*Z[/mm] wenn Z eine Zufallsvariable ist eine
> stoch. DGL?
Nein (i.A.).
> Das Skript ist übrigens sehr gut!
Danke, das freut mich. ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]") Ich habe das ohnehin schon sehr gute Buch von Bjoerk vielleicht (aber das sollen andere beurteilen) didaktisch noch etwas verbessert.
Liebe Grüße
Stefan
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