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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:20 Di 14.06.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo lieber Mathematiker/in. Schon wieder bin ich stehen geblieben.
Sei K ein Körper, n eine Natürliche Zahl n [mm] \ge [/mm] 2, und [mm] f_{1},.... f_{n} \in [/mm] K[X] Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] n-2 Ferner seien [mm] a_{1},.... a_{n} \in [/mm] K beliebiger feste Elemente.
Die Frage ist, welche Dimension hat der Vektorraum der Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] n-2.
Jetz weiß ich ja die geraden haben die Dimension 1, . und hier ist die dimension glaube ich unendlich oder?
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Hallo NECO,
> Die Frage ist, welche Dimension hat der Vektorraum der
> Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] n-2.
Die Antwort: n-1.
Die Polynome über K vom Grad (n-2) sehen doch so aus:
> [mm] a_{n-2}x^{n-2}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0}x^{0}= \summe_{i=0}^{n-2}a_{i}x^{i} [/mm] mit [mm] a_{i} \in [/mm] K.
Aus (1, x, [mm] x^{2},..., x^{n-3}, x^{n-2}) [/mm] kannst Du Dir per Linearkombination mit Elementen aus K jedes Polynom vom Grad n-2 erzeugen, nach dem Dir gelüstet.
Es ist aber auch keine der Potenzen oben verzichtbar. Fehlt z.B. [mm] x^{3} [/mm] kannst Du das Polynom [mm] x^{4}+2x^{3}+5 [/mm] nicht erzeugen. Komm bloß nicht auf die Idee, daß das doch geht, nämlich so: [mm] 1*x^{4}+x*x^{2}+5*1... [/mm] x [mm] \not\in [/mm] K ! Und die Koeffizienten müssen aus K sein.
> Jetz weiß ich ja die geraden haben die Dimension 1,
Neeeeeeeein! Wenn Du allerdings nur gerade Polynome betrachtest, also solche, die man als [mm] \summe_{i=0}^{k}a_{2k}x^{2k} [/mm] mit [mm] a_{2k} \in [/mm] K
schreiben kann, ist Deine Basis kleiner als oben. Es reicht (1, [mm] x^{2}, x^{4},..., x^{2k-2}, x^{2k}). [/mm] Die Dimension ist also k+1.
Ist irgendetwas klarer jetzt?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Di 14.06.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo lieber Mathematiker/in.
SO jetz ist alles klar. Ich hatte mal in einem Script gelsen dass die Polynom Vektorräume unendlich dimensional sind. Aber wir haben ja hier spezialfall.
Also bei den Teilaufgabe muss muss ich zeigen.
[mm] \delta:f \mapsto(f(a_{1}),......f(a_{n})) [/mm] eine lineare Abbildung von K[X] nach [mm] K^{n} [/mm] ist.
jet weiß ich ja dass die bedingungen gelten müssen.
1) [mm] \delta(x+y)= \delta(x)+ \delta(y)
[/mm]
2) [mm] \delta(\alpha x)=\alpha\delta(x)
[/mm]
Ich weiß dass das einfach ist. Ich brauche noch eine polynom. worauf muss ich achten? Wenn jemand mir die erste bedingung zeigt dann schafe ich schon alleine. Danke
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Hallo!
Der Nachweis der ersten Bedingung geht wie folgt:
Seien [mm] $f,g\in \IK[X]$. [/mm] (Damit meinst du den Raum der Polynome über [mm] $\IK$, [/mm] oder?).
Dann ist [mm] $\delta(f+g)=\vektor{(f+g)(a_1)\\\vdots\\(f+g)(a_n)}=\vektor{f(a_1)+g(a_1)\\\vdots\\f(a_n)+g(a_n)}=\vektor{f(a_1)\\\vdots\\f(a_n)}+\vektor{g(a_1)\\\vdots\\g(a_n)}=\delta(f)+\delta(g)$...
[/mm]
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Di 14.06.2005 | | Autor: | NECO |
Ok. Danke Rest kann ich schon alleine. Vielen DANK.
Ich wollte die Fragen kurz fassen, damit man auch lust hat die Aufagen zu lesen. Jetz habe ich noch eine verständnisfrage.
det [mm] \pmat{ f_{1}(a_{1}) & . & . & . & f_{n}(a_{n})\\ . & . & . & . & .\\ . & . & . & . & .\\ . & . & . & . & . \\f_{1}(a_{1}) & . & . & . & f_{n}(a_{n}) }=0
[/mm]
Wieso ist die Determinante 0? Kannst du mir das bitte sagen?Woher das kommt? Danke dir.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 Di 14.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo NECO!
> det [mm]\pmat{ f_{1}(a_{1}) & . & . & . & f_{n}(a_{n})\\ . & . & . & . & .\\ . & . & . & . & .\\ . & . & . & . & . \\f_{1}(a_{1}) & . & . & . & f_{n}(a_{n}) }=0[/mm]
>
> Wieso ist die Determinante 0? Kannst du mir das bitte
> sagen?Woher das kommt? Danke dir.
So, wie du es aufgeschrieben hast, sind alle Zeilen genau gleich (also insbesondere linear abhängig). Also ist die Determinante natürlich gleich $0$.
Oder hast du dich bei der Matrix vertippt?
Viele Grüße
Stefan
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