Dimension K-Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:34 Sa 19.11.2005 | | Autor: | Niente |
Hallo,
ich weiß bei den folgenden Aufgabenstellungen gar nicht, was ich machen soll:
1. Sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum. Definiere
d(V) = max [mm] {n\in \IN| Es gibt Untervektorräume U_{0}, U_{1}, ... U_{n} von V, so dass U_{0} \subset U_{1} \subset ... \subset U_{n}}. [/mm] Die Gleichheit der Teilmengen wird ausgeschlossen ( [mm] \subseteq [/mm] - Zeichen mit Strich "/" durch das "Gleich"_)
zu zeigen ist, dass d(V) = dim (V) gilt.
2. Sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und seien [mm] U_{1}, [/mm] ..., U{k} Untervektorräume von V. Zeigen Sie:
dim [mm] (U_{1} \cap [/mm] ... [mm] \cap U_{k}) \ge \summe_{i=1}^{k} [/mm] dim [mm] (U_{i}) [/mm] - (k-1) dim (V).
Ich weiß, dass man eigene Vorschläge machen müsste... würde ich ja auch gerne tun, aber ich habe wirklich KEINE Ahnung, was ich machen soll. Ich hoffe, mir hilft trotzdem jemand!!
Viiielen lieben Dank im Voraus!!!!
Ich verstehe leider GAR nicht, was ich hier machen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:28 Sa 19.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> 1. Sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum. Definiere
> d(V) = max [mm]{n\in \IN| Es gibt Untervektorräume U_{0}, U_{1}, ... U_{n} von V, so dass U_{0} \subset U_{1} \subset ... \subset U_{n}}.[/mm]
> Die Gleichheit der Teilmengen wird ausgeschlossen (
> [mm]\subseteq[/mm] - Zeichen mit Strich "/" durch das "Gleich"_)
> zu zeigen ist, dass d(V) = dim (V) gilt.
Die Aussage ist aber schon klar, oder? Wenn V jetzt endlich dimensional ist, dann gibt es eine endliche Basis - mit welcher Länge? Kannst du nun eine Folge von Unterräumen angeben, die üassend mit der Dimension endet? Jetzt hast du eine Folge gegeben, die immer echt größer wird, jetzt sind alle Unterräume endlich-dimensional und verschachtelt, also kannst du, falls du für k-1 schon eine Basis hast, diese zu eienr Basis von [m]U_k[/m] ergänzen. Was ist also die Minimalanzahl der Elemente der Basis von [m]U_n[/m]?
> 2. Sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und seien
> [mm]U_{1},[/mm] ..., U{k} Untervektorräume von V. Zeigen Sie:
>
> dim [mm](U_{1} \cap[/mm] ... [mm]\cap U_{k}) \ge \summe_{i=1}^{k}[/mm] dim
> [mm](U_{i})[/mm] - (k-1) dim (V).
Diemnsionssatz und Induktion.
> Ich weiß, dass man eigene Vorschläge machen müsste... würde
> ich ja auch gerne tun, aber ich habe wirklich KEINE Ahnung,
> was ich machen soll. Ich hoffe, mir hilft trotzdem
> jemand!!
Setz dich mal mit oberen auseinander - und lies auch Sachen im Skript nach, Dimensionssatz vor allem.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Sa 19.11.2005 | | Autor: | Niente |
Hallo,
vielen Dank für deine Antwort. Ich weiß leider trotzdem nicht, wie ich weiter vorgehen soll. (zu1.)
Wenn V endlich ist, dann gibt es eine Basis, bestehend aus unabhängigen Vektoren [mm] (v_{1}, [/mm] ...., v{n}) mit der Länge (Dimension) dimV=n.
Zu dieser Basis gibt es dann zu jedem v [mm] \in [/mm] V ein ( [mm] \lambda_{1}, [/mm] ... [mm] \lambda_{n}) [/mm] für das v= [mm] \lambda_{1}v_{1}, [/mm] ... [mm] \lambda_{n}v_{n}) [/mm] gilt. [mm] L(v_{1}, [/mm] ... [mm] v_{n}) [/mm] ist dann ein Untervektorraum. Von diesem Untervektorraum kann man nun weiter ausgehen und einen neuen "zeugen"... Die Länge der zeugbaren Untervektorräume ist doch dann auch dimV=n, oder? Ich verstehe das alles nicht:(, was sagt mir das - wenn das überhaupt stimmen sollte, was ich geschrieben habe... ich verstehe leider gar nicht, was du mir sagen willst;(
> Wenn V jetzt endlich dimensional ist, dann gibt es eine endliche Basis - mit
> welcher Länge? Kannst du nun eine Folge von Unterräumen
> angeben, die passend mit der Dimension endet? Jetzt hast du
> eine Folge gegeben, die immer echt größer wird, jetzt sind
> alle Unterräume endlich-dimensional und verschachtelt, also
> kannst du, falls du für k-1 schon eine Basis hast, diese zu
> eienr Basis von [m]U_k[/m] ergänzen. Was ist also die
> Minimalanzahl der Elemente der Basis von [m]U_n[/m]?
Ich hoffe, es kann mir jemand helfen
Vielen Dank schon einmal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Sa 19.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> vielen Dank für deine Antwort. Ich weiß leider trotzdem
> nicht, wie ich weiter vorgehen soll. (zu1.)
Nur bei der 1? Wie gehen die Lösungen für den Rest genau?
> Wenn V endlich ist, dann gibt es eine Basis, bestehend aus
> unabhängigen Vektoren [mm](v_{1},[/mm] ...., v{n}) mit der Länge
> (Dimension) dimV=n.
Ja.
> Zu dieser Basis gibt es dann zu jedem v [mm]\in[/mm] V ein (
> [mm]\lambda_{1},[/mm] ... [mm]\lambda_{n})[/mm] für das v= [mm]\lambda_{1}v_{1},[/mm]
> ... [mm]\lambda_{n}v_{n})[/mm] gilt. [mm]L(v_{1},[/mm] ... [mm]v_{n})[/mm] ist dann
> ein Untervektorraum. Von diesem Untervektorraum kann man
> nun weiter ausgehen und einen neuen "zeugen"... Die Länge
> der zeugbaren Untervektorräume ist doch dann auch dimV=n,
> oder?
Was willst du hier wie machen? Du hast im ersten Schritt schon ganz V - nicht was du willst.
> Ich verstehe das alles nicht:(, was sagt mir das -
> wenn das überhaupt stimmen sollte, was ich geschrieben
> habe... ich verstehe leider gar nicht, was du mir sagen
> willst;(
Du sollst aus der Basis ao eine Folge konstruieren, wenn du partout nicth draufkommst: [m]\{\}\subset \{v_1\}\subset \{v_1,v_2\}[/m]. Wie geht's weiter? Was sind die erezuehten Unterräume?
SEcki
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